Это стандартный курс линейной алгебры, содержащий все необходимые для статистики и многомерного анализа приложения и алгоритмы, но не всегда содержащий подробные доказательства. Данный курс пригодится вам для того, чтобы изучить азы линейной алгебры и ознакомиться с базовыми определениями, понятиями и алгоритмами, научиться решать задачи, в которых необходим данный инструментарий. Многие пространственные задачи требуют знания линейной алгебры, а так же ряд задач экономики находит более простое решение, если владеть механизмами решения таких задач; эта наука находит себе применение во всех направлениях математики и ее приложениях, которые только можно представить. После прохождения данного курса вы научитесь корректно использовать понятия вектора, базиса, линейного пространства и линейной зависимости, оператора и матрицы, а так же овладеете несложными инструментами для решения и анализа задач линейной алгебры, научитесь оперировать матрицами и находить максимально подходящие условия для поиска ответа; ознакомитесь с классическими теоремами и узнаете красивые задачи данной науки, а также научитесь проверять свои решения на корректность, а результаты на адекватность, а еще мы обсудим теорему Перрона-Фробениуса и ее приложение к индексированию страниц в интернете. Внимательно смотрите лекции и вовремя выполняйте все необходимые задания. Удачи!
10.4. Ортогональные преобразования
Loading...
来自 国立高等经济大学 的课程
Линейная алгебра (Linear Algebra)
116 评分
从本节课中
Квадратичные формы и процесс ортогонализации
В этом модуле разговор пойдёт про квадратичные формы - ещё один вид преобразований, про то, почему они удобны, за какие изменения пространств отвечают, и как приводить их к самому красивому виду путём замены координат.
与讲师见面
Irina KhovanskayaSenior Research Fellow, Lecturer
International Laboratory for Institutional Analysis of Economic Reforms
[ЗАСТАВКА] Хорошо,
если у нас есть критерий Сильвестра — критерий, позволяющий
определить сигнатуру квадратичной формы, по крайней мере, определить,
является ли она положительно определенной или отрицательно определенной,
нужно ли нам вообще приводить квадратичную форму к виду суммы квадратов?
Нужно ли это вообще в задаче или, может быть,
с появлением критерия Сильвестра необходимость этой задачи исчезла?
Нет, не исчезла.
Все-таки такую задачу решать достаточно часто нужно,
эта задача часто возникает во всяких приложениях.
И нам довольно часто приходится приводить квадратичную
форму к сумме квадратов, и даже для этого выражения есть специально...
для этой операции есть специальное выражение — «привести квадратичную форму к
главным осям».
Ну хорошо, мы умеем выделять полный квадрат, и этого, наверное, хватит,
для того чтобы привести квадратичную форму к виду суммы квадратов.
Ответ такой: нет, этого недостаточно.
Довольно часто бывает нужно не просто привести,
представить квадратичную форму в виде суммы квадратов.
Бывает нужно так заменить координаты в пространстве, чтобы,
во-первых, квадратичная форма стала...
предстала в виде суммы квадратов, а во-вторых,
замена координат обеспечивалась каким-то специальным преобразованием,
преобразованием каким-то хорошим, таким преобразованием, которое нам нужно.
Что такое хорошее преобразование?
Каким нам может быть нужно преобразованием привести квадратичную форму к
главным осям?
Обычно — ортогональным.
У нас понятие ортогональной матрицы — матрицы ортогонального преобразования
или матрицы ортогонального базиса — уже возникало и именно
возникало в контексте замены базиса в квадратичной форме.
Мы будем говорить, что базис является ортогональным,
если длина каждого вектора, а именно скалярное произведение этого
вектора на себя равно единице и если любая пара базисных векторов, когда векторы
не совпадают, ортогональна — если любые два вектора между собой ортогональны.
Что такое ортогональный?
Для того чтобы себе представить ортогональные векторы, совершенно не нужно
представлять себе угольник, как между ними устроен прямой угол.
Дело совершенно в другом.
Нам просто нужно,
чтобы скалярное произведение двух базисных векторов всегда было нулевым.
Удивительное дело, что именно при ортогональном преобразовании,
оказывается, матрица оператора меняется так же, как матрица квадратичной формы.
Смотрите, если мы будем пользоваться ортогональным преобразованием и окажется,
что есть, существует в природе подходящее нам ортогональное преобразование,
приводящее к хорошему виду, скажем, квадратичную форму,
это же преобразование приведет к хорошему виду,
к диагональному виду и матрицу линейного оператора, которая в первоначальных
координатах имела такую же матрицу, как матрица квадратичной формы.
Потому что при ортогональной замене координат матрица линейного
оператора преобразуется точно так же, как матрица квадратичной формы.
Итак, если мы делаем замену координат при помощи ортогональной матрицы,
то есть мы переходим к такому базису, что длина каждого вектора равна единице и все
векторы базисные друг другу ортогональны,
тогда матрица квадратичной формы и матрица линейного оператора меняются одинаково.
Если при помощи матрицы A у нас записывалась квадратичная форма в первом
базисе и какой-то линейный оператор также записывался при помощи этой
матрицы в первоначальном базисе, то когда мы заменим координаты,
у нас в новом базисе и матрица A (матрица билинейной формы) заменится
на другую матрицу, и матрица линейного оператора заменится на другую матрицу,
но опять эти матрицы совпадут.
Там была матрица A и матрица A, здесь будут какие-то новые матрицы:
матрица B и матрица B — но эти матрицы снова совпадут.
Матрицы будут изменяться одинаково при ортогональной замене координат.
Наш план звучит хорошо — менять координаты при помощи ортогональных
преобразований, тогда матрицы квадратичной формы будут меняться так же, как матрицы
линейного оператора, а про линейный оператор мы кое-что знаем — мы умеем
приводить матрицы линейных операторов к диагональному виду и так далее.
Но может быть, ортогональным преобразованием невозможно привести
матрицу оператора ни к какому хорошему виду.
Может быть, ортогональное преобразование меняет матрицу только как-то по-дурацки,
и никакая хорошая матрица в результате ортогонального преобразования получиться
не может.
Теорема заключается вот в чем: если матрица линейного оператора симметрична,
значит у этого линейного оператора обязательно существует ортогональный
собственный базис, существует набор собственных векторов этого оператора,
такой что все собственные векторы ортогональны друг к другу.
Вообще говоря, у любого оператора, мы видели,
даже не обязательно существует хотя бы один собственный вектор.
Мы видели, например, если мы рассмотрим такой оператор,
действующий в плоскости — поворот плоскости на 60°.
У вещественной плоскости нет никакого собственного вектора,
вот такого оператора.
Совершенно не так обстоит дело, если матрица линейного оператора симметрична.
Если матрица линейного оператора симметрична,
то у него обязательно существует n собственных векторов и обязательно можно
их выбрать так — иногда есть свобода в выборе собственных векторов,
— что эти векторы будут ортогональны, будут образовывать ортогональный базис.
Первый случай,
самый простой — если все собственные значения этого оператора различны.
Мы не будем доказывать теорему, мы просто обсудим, что это значит,
как пользоваться этой теоремой.
Ну смотрите, все собственные значения различны, значит,
направление собственных векторов выбираются однозначно.
Поскольку теорема верна, поскольку существует ортогональный
собственный базис, этот собственный базис более или менее единственный с
точностью — мы только каждый собственный вектор можем просто умножать на число,
от этого не меняется ортогональность.
Значит, если мы выберем базис,
какой-то собственный базис — он уже будет ортогональным.
Как выбрать такой базис, чтобы при переходе к нему матрица линейного
оператора и матрица квадратичной формы будут меняться по одинаковому закону?
Очень просто.
Давайте сначала найдем все собственные значения.
Давайте найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным
значениям — мы получили базис, состоящий из n векторов.
Все почти хорошо, нам важно только, чтобы длина каждого вектора была равна единице.
А что делать, если она не равна единице?
Если базис состоит из векторов, не равных единице?
Ну какие-то векторы разной длины есть в этом базисе.
Мы помним, что под длиной вектора мы имеем в виду корень из
скалярного произведения его на себя.
Ну, нам нужно,
чтобы скалярное произведение вектора на себя равнялось единице.
Что сделать, чтобы все длины векторов стали равны единице?
Для этого просто вектор нужно поделить на корень из скалярного
произведения этого вектора на себя.
Если мы вектор E1 умножим на такой коэффициент — единица делить
на скалярное произведение E1 на E1, направление вектора не изменится,
получится снова вектор, идущий вдоль той же самой прямой.
Что изменится?
Давайте этот вектор новый, полученный при помощи такой операции,
умножим скалярно на себя.
Что за число получится?
Это будет скалярное произведение E1 * E1 / скалярное произведение E1 * E1.
Мы получили,
что скалярное произведение этого вектора на себя станет равно единице.
Итак, как мы будем действовать?
Давайте возьмем вектор E1.
Сейчас мы сделаем так, что длина этого вектора будет равна единице, что скалярное
произведение вектора E1 на него же — на вектор E1 — станет равно единице.
Давайте поделим вектор E1 на такое число:
корень из скалярного произведения вектора E1 на себя.
Скалярное произведение вектора любого на себя не может быть
отрицательным числом и может быть нулевым числом, только если этот вектор нулевой,
ведь скалярное произведение вектора на себя — это сумма квадратов его координат.
Итак, из суммы квадратов координат векторов всегда можно извлечь квадратный
корень, только если этот вектор был нулевой.
Но поскольку это у нас базисный вектор — базисные векторы не бывают нулевыми,
— это был ненулевой вектор.
Итак, мы поделили вектор E1 на корень из скалярного произведения
вектора E1 на себя.
Я хочу сказать, что вот этот новый вектор, E1',
его скалярное произведение на него же, на E1', будет равно единице,
а значит, длина нового вектора E1' будет равна единице.
Действительно, E1' * E1' скалярно — что будет?
В числителе будет стоять скалярное произведение вектора E1 * E1,
а в знаменателе будет стоять квадрат корня из скалярного произведения E1 * E1.
Квадрат корня положительного числа равен самому числу, значит,
у нас числитель и знаменатель сокращаются — получается единица.
Итак, длина вектора E1 равна единице.
Так же мы можем поступить с каждым базисным вектором.
Итак, домножив каждый базисный вектор на некоторое число, мы изготовили базис из
ортогональных векторов, и длина каждого вектора равна единице.
Как теперь поменять матрицу оператора?
Как устроить матрицу перехода для матрицы оператора и матрицы билинейной формы?
Ну очень просто.
Нужно составить матрицу перехода,
матрица перехода составляется из базисных векторов,
мы запишем координаты базисных векторов по столбцам — получится матрица перехода.
Нам нужна будет обратная матрица к этой матрице.
Поскольку мы помним, что для ортогональной матрицы C в −1 равно C транспонированная,
найти обратную матрицу очень просто.
Итого мы получили, найдя вот эти базисные векторы, длины которых равны единице,
мы получили способ привести одновременно и матрицу
линейного оператора к диагональному виду,
и матрицу соответствующей квадратичной формы к диагональному виду,
а значит, форму привести к главным осям, к сумме квадратов.
Например, вот симметричная матрица 2 × 2.
Если эта матрица симметрична, значит,
обязательно ее собственные векторы будут ортогональны.
Давайте посмотрим.
Действительно, мы нашли собственные значения этой матрицы,
по собственным значениям нашли собственные векторы, и мы видим, что эти собственные
векторы действительно ортогональны — скалярное произведение их равно нулю.
Нам осталось только нормировать собственные векторы — умножить на такое
число, чтобы длина каждого собственного вектора стала равна единице.
Мы получили матрицу перехода,
которая переводит матрицу A к диагональному виду, и в смысле того,
что это матрица линейного оператора, и матрицу квадратичной формы тоже
— при помощи этой замены квадратичная форма тоже перейдет к сумме квадратов.
[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
