Это стандартный курс линейной алгебры, содержащий все необходимые для статистики и многомерного анализа приложения и алгоритмы, но не всегда содержащий подробные доказательства. Данный курс пригодится вам для того, чтобы изучить азы линейной алгебры и ознакомиться с базовыми определениями, понятиями и алгоритмами, научиться решать задачи, в которых необходим данный инструментарий. Многие пространственные задачи требуют знания линейной алгебры, а так же ряд задач экономики находит более простое решение, если владеть механизмами решения таких задач; эта наука находит себе применение во всех направлениях математики и ее приложениях, которые только можно представить. После прохождения данного курса вы научитесь корректно использовать понятия вектора, базиса, линейного пространства и линейной зависимости, оператора и матрицы, а так же овладеете несложными инструментами для решения и анализа задач линейной алгебры, научитесь оперировать матрицами и находить максимально подходящие условия для поиска ответа; ознакомитесь с классическими теоремами и узнаете красивые задачи данной науки, а также научитесь проверять свои решения на корректность, а результаты на адекватность, а еще мы обсудим теорему Перрона-Фробениуса и ее приложение к индексированию страниц в интернете. Внимательно смотрите лекции и вовремя выполняйте все необходимые задания. Удачи!
6.4. Смысл и свойства определителя
Loading...
来自 国立高等经济大学 的课程
Линейная алгебра (Linear Algebra)
117 评分
从本节课中
Операции над матрицами
В этом модуле мы расскажем, почему матрица и линейное отображение - это почти одно и то же, какие в мире бывают матрицы и как с ними обращаться.
与讲师见面
Irina KhovanskayaSenior Research Fellow, Lecturer
International Laboratory for Institutional Analysis of Economic Reforms
[ЗАСТАВКА] Удивительная теорема,
удивительный факт заключается в том, что определитель
произведения матрицы равен произведению определителей матрицы.
На самом деле этот факт значит вот что — то, что верна эта теорема,
это вот что значит: значит мы хорошо определили определитель, значит мы
определили какой-то хороший объект как-то хорошо и интересно связанный с матрицами.
Это действительно так, мы это увидим впоследствии,
но пока что такая теорема дает нам...
намекает на то, что это именно так.
Доказывать эту теорему мы не будем, мы впоследствии увидим почему она
выполняется, но подробного доказательства не проведем.
Хотя, конечно, проверить что эта теорема верна, обязательно нужно.
Какие матрицы мы не будем перемножать,
у которых определитель можно посчитать всегда — это будет верно.
Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц.
Давайте посмотрим теперь — мы говорили,
что обратная матрица существует не у всех матриц.
Давайте посмотрим, какое мы увидели ограничение.
На самом деле мы уже видим некоторое ограничение,
которое не позволяет некоторым матрицам иметь обратные.
Давайте представим себе, что определитель какой-то матрицы равен нулю.
Пусть определитель матрицы A равен нулю.
Давайте попробуем поискать обратную к ней матрицу.
Давайте умножать ее на разные матрицы B и подбирать такую матрицу,
чтобы в произведении получилась единичная матрица.
Я вот что хочу сказать — на какую матрицу B мы не умножим эту матрицу A,
определитель произведения этих матриц всегда будет нулевым.
потому что мы будем определитель матрицы B умножать на определитель матрицы A,
то есть на 0.
Определитель произведения матриц AB всегда будет равен нулю, всегда.
Однако мы хотим, чтобы в произведении получилась единичная матрица,
а определитель единичной матрицы равен единице.
Так не получится.
Итак мы видим, что если только определитель матрицы равен нулю,
то у нее не существует обратной матрицы.
Хороший факт состоит в том, что если только определитель квадратной матрицы
не равен нулю, то у нее обязательно существует обратная матрица.
Я обещала рассказать, в чем физический смысл определителя,
что такое за штуку мы определили.
Для того чтобы понять, что именно мы определили, что такое...
для того, чтобы понять, что такое определитель,
надо вспомнить что такое матрица.
В каком контексте у нас возникла матрица?
Например, когда мы говорили о переходе от одного базиса к другому,
мы матрицу изготовили из набора векторов.
Мы взяли координаты векторов, и записали эти векторы по столбцам.
Мы получили набор векторов такой склеили, и получилась таблица n х n.
Мы брали n векторов в n-мерном пространстве,
вот и получили таблицу n х n и назвали ее матрицей.
Что такое будет определитель этой матрицы?
Определитель этой матрицы будет почти что равен n-мерному
объему параллелепипеда, натянутого на эти векторы, порожденного этими векторами.
Смотрите — если мы возьмем два вектора на плоскости,
мы можем построить параллелограмм на этих векторах.
Если мы возьмем три вектора в пространстве,
мы уже можем построить параллелепипед.
Если мы возьмем четыре вектора в четырехмерном пространстве,
на них можно построить четырехмерный параллелепипед.
Я обещала, что это не нужно себе представлять — ну и не надо,
не представляйте себе.
Однако два вектора на плоскости хорошо и легко себе представить.
Определитель матрицы почти что равен в случае плоскости —
площади этого параллелограмма,
в случае трехмерного пространства — объему получившегося параллелепипеда.
Мы будем говорить про n-мерный объем получившегося n-мерного параллелепипеда.
Почему я говорю, что он равен почти что объему?
Что за странное выражение?
Дело в том, что мы уже видели что определитель может быть отрицательным.
Объем никогда не бывает отрицательным.
Объем, площадь — это по существу положительные функции.
Это функции, которые всегда положительные, и у этого есть строгая причина.
Мы так определяем объем, мы так определяем площадь, что они всегда больше нуля.
И тут, пожалуйста — мы определили определитель, говорим,
что определитель равен объему n-мерному, и он у нас запросто бывает отрицательным.
Мы будем говорить, что он равен ориентированному объему Это значит,
что модуль определителя равен настоящему объему.
На плоскости — настоящей плоскости, настоящей площади,
в трехмерном пространстве — настоящему объему.
Однако у определителя есть еще знак.
Этот знак тоже не пустое место.
Этот знак тоже кое-что значит.
Определитель меняет знак, например, если поменять местами два вектора в системе.
Как два вектора меняют ориентацию?
Если мы меняем местами две точки, то путь переориентируется.
Шли от одной точки к другой, а пошли теперь в другом направлении.
Точно так же объем у нас тоже ориентированный — зависит от порядка
векторов.
От того в каком порядке записаны векторы в матрицу будет зависеть
какой будет знак у определителя, а модуль определителя от этого зависеть не будет.
Мы говорим о некоторой теореме как о факте.
Мы опять же не будем ее доказывать.
Но снова не сложно увидеть на примере, что это так.
Если мы возьмем какие-нибудь два целочисленных вектора на плоскости,
нарисуем связанный с ними параллелограмм, а потом посчитаем площадь этого
параллелограмма и определитель матрицы, составленный из этих векторов,
мы увидим, что эти вещи равны или равны с точностью до знака.
Может быть определитель получился отрицательный,
но модуль этого определителя обязательно равен площади.
Теперь, когда мы знаем так много про определитель,
мы можем назвать довольно много формальных свойств определителя.
Первое что нам нужно,
это то, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
Опять же, это свойство несложно доказать, но в него также и несложно поверить.
Мы просто меняем сомножители местами во всех слагаемых.
Получим то же самое выражение.
Определитель действительно транспонированной матрицы будет равен
определителю прямой матрицы.
Кстати, если посмотреть на этот факт с точки зрения площади,
если мы сравним площадь двух параллелограммов,
получится довольно забавная картинка — не входит в лекцию,
но вы можете порисовать такие картинки, посмотреть, что получается.
Что произойдет, если мы один столбец матрицы умножим на какое-нибудь число.
Давайте посмотрим на это с точки зрения определителя объема.
У нас есть какой-то параллелепипед, мы одну сторону увеличили в несколько раз,
а все остальные оставили как были.
Конечно, объем увеличится ровно во столько раз, во сколько мы увеличили сторону.
Ну что же, это свойство верно и для определителя.
Если мы один столбец умножим на некоторое число,
даже может быть отрицательное, то и определитель умножится ровно на это число.
Ну, кстати, это несложно увидеть и когда мы расписываем определитель
как сумму некоторых сомножителей.
Точно такое же свойство верно и для строчки.
Если мы умножим строчку на какое-нибудь число, то и определитель снова
умножится на это число, и неважно, было число положительным или отрицательным.
Необязательно считать определитель по формуле, чтобы увидеть,
что определитель равен нулю — бывает необязательно считать.
Иногда это видно невооруженным взглядом.
Например если два столбца в матрице совпадают,
значит определитель этой матрицы точно равен нулю.
Обратное неверно — бывает, что определитель матрицы равен нулю,
и никакие два столбца не совпадают.
Такое бывает запросто.
Но если два столбца совпадают, то конечно определитель этой матрицы равен нулю.
Почему?
Почему так происходит?
Давайте посмотрим на примере трехмерного пространства.
Мы взяли три вектора.
Если два из них совпадают, какой параллелепипед натянется на два вектора?
У нас получится просто параллелограмм,
а трехмерный объем этого параллелепипеда конечно будет равен нулю.
Просто размерность параллелепипеда которая порождает n − 1 вектор, не равен n...
не равна n.
Это будет меньшая размерность,
и конечно n-мерный объем этого параллелепипеда будет равен нулю.
То же самое верно если в матрице совпадают две строчки.
Если две строчки в матрице совпадают,
то определитель этой матрицы тоже будет равен нулю.
Что происходит с определителем, если мы немножко преобразовываем матрицу?
Скажем, если мы прибавляем к одной строке матрицы другую строку умноженную на λ.
Что произойдет с определителем?
Я хочу сказать, что определитель при этом не изменится.
Действительно, мы же доказали, что такое преобразование
матрицы эквивалентно просто умножению этой матрицы на другую матрицу,
где в каком-то в одном месте вне диагонали поставлено число λ.
Мы уже обсудили, что определитель верхней треугольной матрицы, нижней треугольной
матрицы, матрицы, где над диагональю или под диагональю стоят только нули,
равен произведению чисел на диагонали,
а именно в нашем случае определитель будет равен единице.
Таким образом добавление строки умноженной на число не меняет определителя матрицы.
Абсолютно аналогичным рассуждением доказывается, что если мы к одному
столбцу добавим другой столбец умноженный на λ, определитель снова не изменится.
Но действительно, когда мы добавляем к одному столбцу другой,
умноженный на λ, мы снова умножаем матрицу на некоторую измененную единичную матрицу,
на некоторую матрицу, очень похожую на единичную, но чуть-чуть испорченную.
Определитель этой матрицы снова равен единице, значит определитель произведения
матриц будет равен просто определителю матрицы A, а значит он не изменился.
На самом деле мы получили еще один способ посчитать определитель.
Действительно, мы теперь знаем что происходит с определителем,
когда мы производим все действия, необходимые для метода Гаусса.
Мы умножаем строку на число — определитель умножается на число, мы добавляем
к строке другую строку умноженную на число — определитель не меняется.
Мы можем проводить все эти операции следя за тем, что происходило с определителем.
В конце концов, мы получим единичную матрицу.
Мы будем знать на какие числа умножался определитель,
чтобы мы эту матрицу получили.
Действительно, эти подсчеты произвести совершенно несложно.
Мы постепенно уничтожаем сначала то, что написано под диагональю, потом то,
что написано над диагональю, получаем единичную матрицу, и каждый раз мы видим,
что именно происходило с определителем.
Вот мы и получили ответ.
Мы посчитали определитель матрицы, используя метод Гаусса.
[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
