Este curso es una introducción a las metodologías fundamentales para la gestión, planificación y evaluación de sistemas de transporte de pasajeros. Se aprenderán técnicas usadas en la práctica para estimar la demanda, modelar la operación y realizar análisis económicos de proyectos de transporte. Algunos temas estudiados incluyen: modelo clásico de transporte de cuatro etapas, modelo de distribución de viajes gravitacional, modelo de elección discreta logit, teoría de colas, análisis de redes, paradoja de Braess, tarificación por congestión y evaluación social de proyectos de transporte.
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Teoría de colas
El objetivo de este módulo es que comprendas el concepto de variabilidad y los efectos que tiene sobre los sistemas y servicios. Al final de este módulo serás capaz de construir el diagrama de curvas de flujos acumulados para cualquier situación dada y, a partir de él, inferir información relevante. Esto te dará la información necesaria para resolver problemas de teoría de colas utilizando el Teorema de Little e identificar otro tipo de sistemas Markovianos.
Profesor Asociado Ingeniería de Transporte y Logística, Centro de Desarrollo Urbano Sustentable (CEDEUS, www.cedeus.cl); Centro de Excelencia en BRT (www.brt.cl); Centro de Gestión de Desastres Naturales (CIGIDEN, www.cigiden.cl)
Felipe Delgado
Profesor Asistente Ingeniería de Transporte y Logística, Centro de Desarrollo Urbano Sustentable (CEDEUS), All Latitudes and Cultures BRT Centre of Excellence (www.brt.cl)
Juan de Dios Ortuzar
Profesor Emérito Departamento de Ingeniería de Transporte y Logística, Centro de Desarrollo Urbano Sustentable (CEDEUS), All Latitudes and Cultures BRT Centre of Excellence (www.brt.cl)
[AUDIO EN
BLANCO] Hola.
En esta sesión de sistemas de espera y teoría de cola estudiaremos la
notación de Kendall y sistemas D/D/1.
Entonces veamos cuál es la notación de Kendall.
Los sistemas de espera pueden tener distintas características dependiendo del
proceso de llegada, el proceso de atención y cuántos servidores hay.
Para resumir todas estas características, la notación de Kendall nos permite
de una manera más o menos abreviada manejar todos estos términos.
Un sistema de espera en la notación de Kendall resumida,
que es la que revisaremos en el curso, se puede resumir en 3 indicadores.
El primer parámetro, A, es la distribución de tiempos de llegadas.
El segundo, S, corresponde a la distribución de tiempos de servicio.
Y K, el número de servidores.
Luego A, S, y K nos van a definir rápidamente cuál es el proceso de llegada,
cuál es el proceso de servicios, y cuál es el número de servidores.
¿Cuáles son los valores más comunes, y para los cuales existen resultados?
En general son poner como A y S, D, en el caso que sean determinísticos.
Si llega un usuario cada un minuto entonces esto es un proceso D, o si llega
cada n segundos, esto también va a ser un proceso D, determinístico, conocido.
O si nos demoramos exactamente lo mismo con cada uno en atenderlo,
este es un proceso D, determinístico, conocido.
Si el proceso de llegada es Markoviano, o exponencial,
tenemos un proceso de iii de llegadas, vamos a denotar todo eso como M.
Y eso indica que el tiempo entre llegadas distribuye exponencial.
La distribución exponencial es la que va a gobernar ese proceso y se conoce con
la M de Markoviano porque es un proceso sin memoria.
Lo mismo va a ocurrir con el tiempo de servicios.
Si el tiempo de servicios distribuye exponencial entonces
vamos a ocupar la letra M para distinguir ese proceso.
En general se pueden ocupar otras letras.
En algunos casos vamos a ocupar G para definir tiempos que tienen una
distribución general.
Y entonces cuando uno quiere denotar un resultado que es general,
que sirve con cualquier distribución de tiempo entre llegada y cualquier
distribución entre tiempo de servicios, vamos a hablar de sistemas G/G con M,
por ejemplo, servidores o con un servidor.
Y para eso vamos a notar que el sistema es G/G/1.
Vamos a partir por el sistema más sencillo de analizar,
que es el sistema donde los tiempos entre llegadas son determinísticos y conocidos,
los tiempos de atención son constantes, determinísticos, y hay un solo servidor.
Este es el sistema D/D/D que estudiaremos en esta sección.
Todo es determinístico en este caso y tenemos un solo servidor.
¿Qué casos podríamos tener?
Supongamos que la tasa de llegada es lamnda,
y la de servicio es mu, que son las que comúnmente se utilizan para esto.
Si las llegadas son menos que la capacidad de atención, por lo tanto
la tasa de llegada es menor que mu, landa es menor que mu no se va a formar cola.
Cada usuario va a ser atendido en el tiempo de servicio,
1 partido por mu y cada 1 partido por landa va a llegar un nuevo usuario.
Por lo tanto si ustedes escribieran, y les recomiendo hacer el ejercicio,
en el diagrama de llegadas y salidas acumuladas pongan subidas, llegadas,
cada 1 partido por landa,
y salidas, una vez que ocurrió la primera llegada en 1 partido por mu.
Verán que la salida se produce
antes de que haya ocurrido la siguiente llegada y por lo tanto el servidor
queda vacío cuando llega el nuevo usuario y así va a suceder indefinidamente.
Este sistema no tiene gran complejidad, el tiempo de espera en cola es 0 y el
tiempo de servicio es 1 partido por mu y no se forma cola.
¿Qué pasaría si la tasa de llegada es exactamente igual al tiempo de servicio?
En un sistema completamente determinístico, no se formaría cola.
Nuevamente vayan a sus diagramas de llegadas y salidas acumuladas descrito,
y podrían hacer el dibujo y ver que cada 1 partido por landa unidades de tiempo llega
un usuario, que es atendido en 1 partido por mu unidades de tiempo,
sale del sistema y ustedes van a ver que justo cuando sale un usuario del sistema
llega otro que ve el servidor vacío.
En este caso es un sistema ideal,
en el que el servidor está siempre ocupado y los usuarios no esperan en cola.
Tiempo de espera en cola,
tiempo de servicio 1 partido por mu y el servidor completamente ocupado.
¿Qué sistemas conocemos que funcionen así?
La línea de producción.
En una línea de producción los elementos van llegando
a una tasa constante y van saliendo justo cuando sale uno entra el otro.
Esa es la idea.
Que los servidores estén todo el tiempo siendo ocupados.
¿Qué ocurre si la tasa de llegada es mayor que mu?
Mientras haya una tasa mayor que la tasa de salida, se va a formar cola.
Si esto se prolonga en el tiempo,
la cola se va a ir haciendo infinita y el sistema no va a estabilizarse nunca porque
siempre va a llegar más de lo que sale porque entonces podría acumular infinito.
Entonces ese no va a ser un sistema estable y tampoco tendría mucho interés.
Lo que si nos va a interesar, y para eso son útiles los diagramas de llegada y
salida acumuladas, son sistemas donde eventualmente en algunos períodos la tasa
de llegada es mayor que la tasa de salida, pero en otros períodos la tasa de llegada
es menor que la tasa de salida y por lo tanto lo que a vamos a ver es que la cola
que se forma en un determinado instante de tiempo, luego se va a ir disipando en la
medida que nuestra tasa de salida es mayor que la tasa de llegada.
Esto ocurre en muchos sistemas, en períodos punta,
donde vemos más llegadas que la capacidad de atenderla
y que luego son las colas se disipan en la medida que somos capaces de atender.
Cuando cargamos un avión, por ejemplo, uno ve que la tasa de atención,
el tiempo que demora cada persona en subir al avión es mayor, y normalmente uno
acumula a todos los usuarios en un instante y tenemos una gran tasa que se
va disipando hasta que el avión finalmente está cargado, está listo para partir.
Y esto va a ocurrir en muchos otros sistemas de transporte.
Si las tasas van cambiando en el tiempo lo que podemos ir viendo es que las colas se
van formando y disipando en el tiempo.
Y luego, si somos capaces de predecir bien cuáles son las características
de las tasas de llegada y cuáles son las características de las tasas de atención,
podemos ir analizando con nuestro diagrama de llegadas y salidas acumuladas,
cuál va a ser la evolución del sistema.
También nuestro diagrama nos permitiría diseñar el sistema de mejor manera porque
podríamos evaluar si somos capaces de controlar cuál es la tasa de atención,
tal vez programar turnos para poder atender más a usuarios en las horas que
hay más llegadas, y tal vez proponer descansos de los servidores en horarios
donde hay menos llegadas podemos minimizar las esperas de los usuarios en el sistema,
programando mejor nuestra capacidad para los horarios críticos.
En resumen, en esta sesión,
estudiamos la notación de Kendall, que nos permitía resumidamente, con 3 parámetros,
proceso de llegada, proceso de atención y número de servidores,
indicar cuál es la característica del sistema.
Y luego estudiamos un sistema más sencillo que en notación de Kendall, D/D/1,
que significa que los tiempos entre llegadas son determinísticos,
que el proceso de atención es determinístico, que nos demoramos lo mismo
con cada usuario y que hay un solo servidor haciendo las atenciones.
Ricardo GiesenProfesor Asociado
Felipe DelgadoProfesor Asistente
Juan de Dios OrtuzarProfesor Emérito
