你好！这一次呢我们讲罗素

关于逻辑和数学悖论解决的一个建设性方案

究竟怎么样去避免悖论，逃脱悖论，解决悖论等等

好，它说经过分析

它认为啊，罗素悖论呢经过分析呢，我们的分析吧，罗素悖论基于如下前提或假设之上

就是素朴集合论的原则，概括原则，就是由任一性质

可以决定一个集合，任一性质决定一个集合。

你比如，我们说这地毯上的东西

这是一个集合，这是前面地毯上的东西，这是一个性质，它也可以决定一个集合

桌子上的东西，或者黑色的东西白色的，聪明的

愚蠢的等等等等，任一性质可以决定一个集合第二，对任一集合

S，S 属于 S 是一个有意义的命题。

就是 S 作为 S 的元素，这个是一个有意义的命题。

任何集合 S 可作为元素属于另外的集合 S' 或者属于 S 自身。

一阶逻辑呢是集合论的基础逻辑一阶逻辑是集合论的基础逻辑。

由这四个前提可以推出呢康托尔悖论赖以产生的另外两个前提

那就是第五，存在大全集，即由所有集合组成的集合，这叫大全集

第六，由任一集合可以生成其幂集，即由该集合的所有子集构成的集合

那样呢，那结合的深层你想啊，就没完嘛

一切集合组成的集合，如果这个集合又可以作自身的元素

那这个，这个集合就处于永远的构造过程中没完没了。

而任一集合可以生成的幂集等等等等。

一般认为作为集合论的基础逻辑的一阶逻辑，不可动摇

你要修改逻辑呢，那会导致很严重的后果这个不可接受。

于是呢，要摆脱悖论就只能至少否定前三个前提中的

前三个前提或假定中的一个或多个

前三个前提就是什么？素朴集合论的概括原则，任一性质决定一个集合任一集合

S，S 属于 S 有意义任一集合 S 可以作为元素属于另外的集合 S' 或者属于 S 自身。

这仨，至少要否定一个或者多个。

从哲学上来讲呢

类型论的基础就是所谓的"恶性循环原则" 禁止恶性循环嘛。

没有一个整体能够包含，只能借助于这个整体才能定义的元素。

从技术上说它所否定的是罗素悖论呢赖以产生的前提三

即任一集合 S 可以作为元素属于另外的集合

S' 或属于 S 自身。

这是类型论呢分为简单类型论和分支类型论，branch,

simple theory of type branch, branch theory of type

在简单类型论中，每一个类或者集合都有一个确定的类型。

0 型的对象为个体 1 型的对象是个体的类

2 型的对象呢是个体的类的类依次类推。

个体是 0 型对象，由个体所组成的类是 1

型对象由个体的类所组成的类是 2 型对象。

由个体的类的类所组成的类那是 3 型对象，依此类推

对象呢，类和集合、个体类、集合分为不同的类型。

好，这是第一个，第一步。

在这个理论中没有不属于确定类型的对象

没有任何对象呢它没有类型的划分没有。

人们不能泛泛谈论所有的对象如何而只能谈论属于某一类对象的

所有对象如何，某一类型对象的所有对象如何你比如，所有

0 型的对象，那就是个体怎么样。

所有 1 型的对象，那就是个体的类怎么样所有 2

型的对象，那就是个体的类的类怎么样。

在这一理论的语言中变项都要加下标 0, 1,

2, 3, 表示它们属属于相应的类型。

对于任一变项 xi, yj 要小写，xi,

yj，xi 下标 i 是下标，yj,

j 是下标，表示类型。

是合式公式当且仅当 j = i +

1，也就是 x 属于

y 要求 y 的类型比 x

的类型要高一个类型高一个类型。

如果 x 是个体 0 型对象，那 y 就是 1 型对象，个体的类。

如果 x 是个体的类，1 型对象那 y 就是个体的类的类，2

型对象等等，以此类推，这是一般的。

对于任一变项 x下标 i，y下标 j xi 属于

yj 是合式公式，当且仅当 j = i +

1 并且一个类的元素必须属于同一类型

不允许属于不同类型的东西成为它的元素你比如，个体的类

它的元素只能是个体，不能是有别的类。

个体的类的类个体的类的类，它的元素是个体的类

不能包括个体，不能包括个体。

这个呢这个是，那就是每一个对象有确定的类型

没有对象没有确定的类型。

这个呢只有这个呢，如果 x,

y 呢，x 属于 y 当且仅当 y 的类型呢比

x 要高 1 并且任何类的元素必须是同一个类型

不能，同一个类型并且比它低但是呢只能比它低 1，也不能比它低 2,

3, 4，那也不行这样呢，这个

通常把如此构成的简单类型论称为 T，Type Type theory。

除一阶逻辑的公理和推理规则外 T 还包括外延公理、概括公理、

乘法公理、无穷公理在如此构成的 T

中只能说某一类对象构成的类

某一类型的所有对象构成的类等等。

一个类是否为自身的分子所有的类组成的类等说法都是无意义的。

因为一个类是否为自身的分子，不可能一个类只能包括比它类型低的元素，低的

类型的对象为元素，不可能包括它自身，更不能包括比它高的。

这个呢，所有的类组成的类那一个类只能包括一个类型的对象。

所有的类，那类呢，那类分成很多不同的类型那不行。

甚至像 x ∈ x 不行，x 不属于 x，因为 x ∈ x 它是属于同一类型。

x ∈ x 呢，x ∈ y，必须要求 y 比 x 高一个类型。

所以这个 x ∈ x，x ∉ x，x ∈ y ∧

y ∈ x 这样的公式都，都是

不合法的公式，没有意义，没有意义 T

排除了已知的集合论悖论，如罗素悖论康托尔悖论和布拉里 • 弗蒂悖论。

根据 T，一个类的元素必须属于比 S 低的，一个类 S 的元素必须属于比

S 低的逻辑类型因此呢就不会有这样的类，它的定义能够跨越和囊括所有的类型

相反，对于每一类型 a，对于每一类型 n

只存在一个类 Sn，它的元素属于 n 型的对象但 Sn

本身却属于 n+1 型，它不可能再成为 S 的一个自身的一个元素。

这样，罗素悖论就不会再产生了。

关于康托尔悖论只需要注意到，在 T 中不存在所有的类，的类当然也就不存在由所有基数组成的类

这样呢就没有康托尔悖论了布拉里-弗蒂悖论的情形与此类似

但是呢，简单类型论呢不能排除像说谎者悖论

理查德悖论这样的语义悖论，因为这些悖论呢涉及到语言表达的意义、指称、

真假等概念由此，罗素呢进一步发展了分支类型论

后者的要旨是，在区分对象的类型的基础上

同一类型的谓词，又叫命题函项再分成不同的阶

其目的是为了避免恶性循环，消除不合法的总体

这个呢有必要说一下命题函项这个概念

所谓命题函项呢，按我的理解是与谓词、

开公式、开语句类似的用语指至少含有一个自由变项的公式或句子

这个呢都叫命题函项，那你比如 F(x) R(x,

y)，∀x(R(x, y) →∃zS(x,

y, z)) 这里面都含有自由变项。

那个，刚才这个公式，它的自由变项有 y

嘛这个呢这是开公式，开公式呢还有

这个这个这个这个空位，还有空位

因此它相当于，这个弗雷格所讲的概念

弗雷格说，概念是什么呢？概念是从个体

到真值的函数，概念呢是从个体到真值的函数

那什么意思啊？你把那个不确定的变项，自由变项 y

带进某个个体，某个特定的个体那个公式呢就有确定的真值，真或者假

所以，弗雷格把概念呢定义为从个体到真值的函数这个是深刻的。

命题函项呢就是与这些，基本上是一个意思吧，谓词、

开公式、开语句弗雷格意义上的概念，等等。

你比如用自然语言来表示吧我们不用公式了。

x 是一位哲学家，x 和 y 是一对夫妻，等等它就是一命题函项，也是开语句

也是开公式，也可以叫做谓词，x 是一个哲学家，就是一个谓词等等。

把这些公式或句子中的变项呢换成某些具体对象

如某个或者某些自然数，某个或者某些人之后相应的公式或句子会具有确定的真值，真或假

所以可以用来替换命题函项中的变项呢，从而使它变成真或假的

命题的那些对象的集合，构成该命题函项的意义域也就是类型。

一个类型被定义为一个命题函项的意义域

即这个函项对其有真值的变目的集合 x 是一位哲学家

那它的意义域呢那就是人的集合，人的集合 x

和 y 是一对夫妻这个 x 和 y

都在，那个夫妻是指人的那 x，y

这个是一命题函项它那个，那，x，y

是一对夫妻是命题函项它的意义域呢就是人的集合，人的集合

这个呢，它被定义为，这个这个，也叫类型也叫类型。

它的类型呢那就是 0 型个体，0

型个体，一个一个的人分支类型论呢构造如下

首先，给定一个确定的论域由个体变项

x，y 和个体常项 a，b 所指称的个体所组成的个体域

以及其中的一些基本谓词 F，G，H 等等。

在这个论域上使用一阶谓词演算，得出一阶理论。

一阶谓词是一元或多元的函数它由基本谓词借助于并非、合取、

析取、蕴涵、等值、全称、存在等组合而成。

量词只涉及原有的论域，个体域。

把一个谓词的个体变项用论域中的个体来替换，或者把个体变项全都用量词来约束起来

便得到一阶命题。

不包含约束变项的一阶谓词称为一阶母式。

简单地说，一阶谓词就是除约束或自由的个体变项之外

不包含其他变项的谓词，如，等等等等。

那些都是一阶谓词。

F(x) ∀yR(x,

y) 它是一阶谓词，因为什么？它里面含有自由变项

这个，x，这个给 x

取定特定的值以后，这个公式就有真值了所以呢，它也是从个体到真值的函数，所以它是谓词，它是命题函项

它是弗雷格意义上的概念，等等这个是这样。

在一阶理论的基础上可以构造二阶理论我们把一阶谓词和命题当作一个新的域

加到原来的个体域上面去，便得到一个扩大的论域为此，我们引进一阶谓词变项

Φ1 大 Φ1，小 φ1 等等。

1 都是下标这里没显示出来。

哦，这里是上标，上标这个代表谓词的阶，代表谓词的阶，下标代表类型

一阶命题变项 p1，q1 等等这也是上标。

因此，新论域包含 Φ1，上标，1 是上标啊。

小 φ1，上标 p1，1 是上标，q1 上标，x，y

等等呢以这个论域为基础，我们便能够建造出，构造出二阶谓词和命题

它们与一阶谓词和命题的区别在于，谓词的变目呢，以及全称量词和存在量词

不但涉及原有的个体，而且涉及一阶谓词和命题。

例如，Φ上标 1(x) 是含变项 Φ1

和 x 两个变项的函数是一个二阶函项。

∀xΦ1(x) 是含变项 Φ1 的函项，是一个二阶函项等等。

依照此办法可以构造三阶甚至更高阶的理论

由此可见，如果在一个谓词和命题中出现的最高阶数为 n 那么，当有一个约束

n 阶变项的量词出现时该谓词或命题的阶数为 n+1。

对于谓词的阶数，还要看该谓词的变目的阶数而定

谓词的阶数必须高于所有变目的阶数当确定一个谓词的阶数时，还要计算在作为缩、

缩写引进的记号的定义式中，去所出现的阶数

例如 f(Φ1,

x) 是缩写，表明这是 Φ1 和 x

函数，因此该函数呢是二阶函数实际上

以上做法是把同一类型的集合分为不同的阶高阶的集合不能再当作低阶的集合看待

最低阶的集合称为直谓的，决定它的性质或谓词也称为直谓的性质或谓词

其他层次的集合和性质称为非直谓的例如，一个

n+1 型集合 Sn+1 如果对于 n 型对象

xn，必须考察 n+1 型整体方能断定

xn 是否属于 Sn+1，则称 Sn+1 是非直谓的非直谓的。

非直谓的是高阶的，根据概括公理

由任一性质可定义一个集合，于是非直谓的集合可借由定义它的性质来说明。

直谓、非直谓直谓与非直谓，例如，你说

这个这个这个这个，一个个体，一个人是聪明

的，是美丽的，是善良的，是好人，嗯，好人这个呢，这都是直谓的性质、

直谓的性质，这个呢但是你说一个集合，这个集合你问

这个集合是不是以它自身为元素

这个呢，这个呢，或者这样吧

一个集合，所有不以自身为元素的集合

是否以自身为元素，这样的问题呢是非直谓的，因为你看啊，你要问

你把所有不以自身为元素的集合

搜集起来构成一个集合，就是所以不以自身为元素的集合的集合

然后你再问，这个集合本身是不是它自身的一个元素

所以呢，那元素身份啦要靠那个由这个元素

所构成的集合来说明、来定义它非直谓的、

非直谓的，使用罗素原来的例子一个典型的英国人具有大多数英国人所具有的性质

这里"具有大多数英国人所具有的性质"也是一种性质但它涉及个体性质的全体，是一非直谓的性质

一般地说，凡涉及某一类型的全体而又是此类型的性质的性质

叫做直谓性质，否则叫做非直谓性质，否则叫做

直谓性质，体现上述思想的分支类型论记为 RT

branch type theory，分支类型论它是由对 T 中的概括公理做某种限制而得到的

通过以上办法我们可以得到两个结果：我们可以把每个命题、

性质或关系作为被判定的对象因为我们只允许依次构成的各个阶的谓词

和命题，又因为对于某个阶的理论它涉及的对象的总体时候，总体总是明确限定于某一论域之外

所以，我们就能避免"所有命题"，"所有谓词"这种"不合法的总体" RT

呢可以消除不仅可以消除罗素悖论，还、

罗素，以罗素悖论为代表的逻辑数学悖论，还可以消除语义悖论

以说谎者悖论为例：为了用符号表示它，我们把它改成："我在某一时刻所说的一切命题

都是假的"，记为 p p，B(p)

呢表示"我在某一时刻断定 p" 这样呢，p 就等于对于 ∀q

这个呢，与 ∀q，如果我在

某一时刻断定 q，那么非 q，q

是假的 q 为一阶命题，则

p 为这个呢，∀q

如果断定 p 这个一阶命题

q 那么这个一阶命题 q 是假的，根据

RE RT 分支类型论，p 是一个二阶命题，则即

它是二阶命题，叫 p2，它不能作为 q1

的元素，一个二阶命题不能作为一阶命题的元素，一个值。

换句话说，如果 q 具有一阶的真或者假则 p 就具有二阶的真或假

我们可以认为，"我在某一时刻所说的一阶命题，所有一阶命题是假的"这句话为真

而不会引起悖论，因为它是一个二阶命题等等，可以消除

这个，但为了消除语义悖论，RT 也付出了很大的代价

对于一个集合，人们不能笼统地说此集合的所有元素那它必须是较低类型

并且只能低一个类型，低一个类型，较低类型的集合

这个这个这个，不能说此集合的所有元素都有某种性质，而只能说，这个

而必须区分阶才能作出断定实际、实数就是这样的一个集合，于是对实数就不能作出一个单一的断定

这样一来，分支类型论就不能作为描述数学命题的恰当工具为了弥补这一缺陷

RT，罗素又给分支类型论引入了还原公理

相当于说：每一非直谓性质都有一个直谓性质与之等价

而这等于取消了直谓和非直谓的区分，也就取消了分支类型论

所以分支类型论啊实际上是不成功的、

不成功的，一般认为、一般认为啊类型论呢在哲学上的问题就是它的特设性

它禁止任何形式的"恶性循环"，也就是禁止任何形式的自我指称或自我相关

但是，并非一切形式的循环都是恶性的也并非一切形式的自我指称都导致悖论

有不少循环或自我指称的命题相当自然丝毫不会导致悖论，例如

我正在说的这句话是用中文说的数

1 是什么数呢？数 1

是使得对一切数 x 而言都有 x × 1 =

1 的数，这就叫数1 这个当然里面呢这个

定，被定义一下这个要定义的是 1，数 1

但是呢定义项里面就有 1 这个

但是我们都明白，也说明了 1 的一个某种性质 1

呢就是使得对一切数 x 而言，都有 x × 1 = 1

的数，而你对 2 就不能这么说噢说 2 是对一切 x

而言， x × 2 = 2 这个这个这个这个，2×2

就等于 4 了，不等于 2 所以这个只对于 1 成立。

更有人这样断言若禁止一切形式的循环或自我指称，则会牺牲掉大部分数学

或至少是使得许多数学表述呢极其复杂冗长累赘等等

27．罗素的类型论（二）

悖论：思维的魔方

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