Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Aplicación: Y para terminar…volvamos a la vaca.
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5.- Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Y muchas más aplicaciones
Este último módulo se retoma la problemática original de predicción aplicada a nuevas situaciones reales en las que la aplicación de los procesos de derivación e integración en Cálculo resultan de utilidad para analizar el comportamiento de las magnitudes involucradas.
与讲师见面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues estamos viendo estas imágenes en donde tenemos edificios, edificios altos.
Y déjenme comentarles que ahora los edificios se construyen con cierta
oportunidad de, de ser flexibles, ¿no?
Hay sistemas como para que en el caso de, pues no se, fuertes ráfagas,
terremotos o algún otro fenómeno natural el, el edificio tenga la oportunidad
de oscilar un poco, oscilar y recuperar su posición inicial eh,
y que con toda las cargas dinámicas se, se absorban en la, en la estructura, ¿no?
Entonces esa es una aplicación muy real, una aplicación muy útil obviamente, ¿no?
Y bueno pues ahí la matemática también tiene mucho que ver.
Eh, realmente me gustaría que en este último video eh, tengamos oportunidad
de volver sobre ese procedimiento numérico que ha sido nuestra estrategia
desde un principio para transmitirles cómo el cálculo es el estudio, ¿no?
Del cambio, ¿no?
Del cambio que experimentan diferentes magnitudes
con respecto a otra magnitud en particular.
¿Cuál sería nuestra magnitud, digamos, en este caso?
¿No? Si estuviéramos tratando de analizar,
osea lo que está pasando con la, con el edificio, ¿no?
Pues hay algo que está cambiando, podríamos pensar en el en una vertical y
que se está moviendo oscilatoriamente, ¿no?
Entonces qué les parece si ya sobre el papel empezamos a eh,
meterle números y letras, ¿no?
Y a ver qué pasa, okey.
Entonces vámonos aquí abajo.
Yo les estoy presentando una expresión que se conoce como
un sistema de ecuaciones diferenciales y que está modelando, ¿no?
Como, lo que ocurre, ¿no?
Con el, con el, con esta situación que les comentaba ante la fuerza del viento,
de un terremoto, etcétera, ¿no?
Estamos viendo que necesariamente hay una magnitud y,
esa magnitud y es como si yo se las pusiera por aquí.
O sea piensen en este edificio, ¿no?
Y piensen que el movimiento va a ser así y hacia acá y hacia acá.
O sea como que hay un eje aquí y podríamos decir que habrá valores positivos de y,
valores negativos de y hacia el otro lado.
Y ese valor de y vendría siendo como lo que se aleja de la vertical, ¿okey?
Entonces la derivada, la razón de cambio de esa longitud, ¿no?
Esa variación con respecto a la vertical eso es precisamente lo que
llamaríamos nuestra velocidad, nuestra razón de cambio.
Pero observen como en esta expresión, en la de abajo, la variación de la
velocidad es algo que está afectado por la posición que tiene el,
el edificio y también por la velocidad que tiene en ese momento, ¿no?
Entonces aquí nos faltan algunos datos,
aquí los traía yo por abajo, necesita uno pensar en un valor inicial.
Vamos a pensar si digo que y de cero es igual a cero estoy considerando entonces
que el edificio estaba en la vertical, en el equilibrio ahí, ¿no?
Si v de cero es igual uno punto uno quiere decir que ya hay ahí
la presencia de una fuerza que está haciendo que el edificio se esté moviendo
hacia los valores positivos que fijemos, ¿no?
En nuestro sistema si lo estuviéramos viendo desde arriba, ¿no?
El edificio, ¿no?
Los valores positivos estarían ya digamos predeterminados hacia, hacia un lado, ¿no?
En esa horizontal, okey.
Entonces nosotros hemos aprendido, ¿no?
Que cada vez que tengo una razón de cambio esa razón de cambio
provoca un cambio en la magnitud original de la cual es razón de cambio, ¿no?
Y uno puede aproximar ese cambio a través de una simple multiplicación.
La multiplicación de la razón de cambio por el intervalo de tiempo o de la
magnitud de la que depende, que uno esté considerando.
En este proceso estamos considerando que la razón de cambio se mantenga constante.
Y cuando estamos haciendo eso implícitamente
estamos suponiendo que nuestra magnitud se comporta muy bien.
O sea se comporta suave, es una función que tiene su derivada, que la derivada es
continua y que nada aquí de caos ni de cuestiones de fractales.
O sea ahorita la, la, digamos, la hipótesis es que esa magnitud
se puede modelar adecuadamente con el cálculo diferencial e integral.
Entonces vamos a hacer nuestro ejercicio de recordar,
¿qué es lo que podríamos nosotros predecir sobre valores de esta magnitud?
Les voy a enseñar, les voy a mostrar esta hojita en donde ustedes recordarán
esta manera de organizar nuestro razonamiento acerca de la magnitud.
Tenemos la columna del tiempo.
Van a estar pasando segundos, medio segundo, un segundo.
Vamos a considerar ahorita que el intervalo de tiempo sea de medio segundo.
Aquí tendremos nuestra magnitud y de t donde habrá un valor inicial.
Vamos a poner el edificio estaba en la, en la vertical, ¿no?
Vamos a tener un dato del valor inicial de la velocidad, ¿no?
Por causa de ese fenómeno natural y bueno pues vamos a empezar a calcular valores,
¿no?
Cada vez que hacemos esto estamos repitiendo una misma idea.
Una idea muy simple, ¿no?
Que nos diría, vamos a recordarlo con esta parte de aquí, ¿no?
Si yo quiero calcular, ¿no?
El siguiente valor de una magnitud lo que tendría que hacer es al valor anterior
agregarle su cambio.
Y el cambio está eh, digamos calculado
a través de la razón de cambio multiplicada por el intervalo de tiempo.
Entonces yo podría ahorita calcular este valor de y de punto cinco.
¿Por qué?
Porque ya tenemos el valor de y en cero y a eso le vamos a agregar
la derivada en cero multiplicada
por el delta t, o sea por el punto cinco, ¿no?
En nuestro caso el valor de y en cero es un cero.
Y este valor de y prima en cero no es más que nuestro valor inicial de la velocidad,
¿cierto?
La velocidad es la derivada de aquí de la posición.
Entonces pondríamos el valor uno punto uno
que se va a multiplicar por un punto cinco, ¿no?
Y eso nos va a dar el valor de la nueva posición, ¿no?
De lo que se movió el edificio pasado medio medio segundo, ¿no?
Entonces esto, ¿cuánto nos va a dar?
Un uno punto uno por un punto cinco estaría tanto como un, ¿qué?
Cinco por una cinco, cinco por una cinco y tendríamos aquí un punto 55.
¿De acuerdo?
¿Qué serían esos?
¿Metros?
Podríamos pensar en metros, ¿no?
En este momento y entonces ahorita estaríamos poniendo en la situación
de la posición a los punto cinco segundos.
¿De acuerdo?
Cuando ahora nos movemos a la columna de la velocidad vamos a predecir el
siguiente valor de la velocidad y para eso necesitaría conocer su valor anterior y
sumarle lo que eh, su razón de cambio que está en esta columna, ¿se fijan?
Multiplicada por el delta t pero esta razón de cambio nos la está
dada por la ecuación diferencial que teníamos justamente abajo, ¿no?
Aquí la tenemos.
Y en esta columna de aquí tendríamos nosotros que hacer este cálculo, ¿no?
Y entonces aquí tendríamos que la expresión para v prima en cero es
v prima en cero es igual a menos cero punto, dos, cuatro,
ocho por y de cero menos cero punto uno,
nueve por v de cero, ¿cierto?
Y entonces lo que estaríamos haciendo con esto es
meter los números para encontrar el valor.
O sea. ¿qué vamos a poner en y de cero?
En y de cero vamos a poner un cero.
Este va a estar muy fácil.
Y entonces esto nos va a quedar menos cero punto 19 por un uno punto uno, ¿cierto?
Un uno punto uno que podríamos entonces hacer simplemente la multiplicación.
Vamos a hacerlo para hacer un, este, un ejercicio más.
Vamos a poner aquí en nuestra calculadora
que nos haga la multiplicación de, ¿cuánto?
De cero punto 19 para no irnos a equivocar ahorita
por un uno punto uno y nos va a quedar un punto dos cero nueve, ¿no?
Vamos a ponerlo aquí.
Sería negativo menos punto dos cero nueve, ¿okey?
Entonces este valor, estos serían, ¿qué?
Metros por segundo por segundo, ¿no?
Metros por segundo cuadrado.
Y entonces esto vendría siendo como la aceleración, ¿no?
La aceleración que está eh, percibiendo, ¿no?
El edificio, ¿no?
En esa oscilación Este valor nos va a permitir calcular este otro, ¿no?
Porque la velocidad en punto cinco la vamos a calcular,
si a la velocidad que ya conocía, si al valor inicial le sumo el cambio, ¿no?
Y ese cambio es el producto de su derivada
por el incremento acá en el tiempo en este caso es punto cinco.
Entonces nos va a quedar tanto como la velocidad en cero que es un uno punto uno.
Luego le vamos a decir menos, porque aquí esta derivada es negativa menos
punto dos cero nueve por el punto cinco, ¿no?
Vamos a hacer estas operaciones para tenerlo aquí en nuestro,
en nuestro lugar, ¿no?
Déjenme abrir la calculadora.
Y entonces vamos a poner aquí un, ¿qué?
Vamos a hacer la multiplicación del punto dos cero nueve por un punto cinco
y luego le decimos a eso cámbiale un signo y ahora
le sumamos un uno punto uno y nos va a dar un punto
nueve nueve cinco cinco cinco, ¿no?, metros por segundos diríamos ahí, okey,
tenemos este nuevo dato y con este nuevo dato ya es suficiente para
que podamos encontrar el valor de la posición al un segundo, ¿no?
¿Por qué?
Porque lo que tendríamos que hacer es al valor anterior que es este,
¿no?, le vamos a sumar
la derivada y por el delta t, ¿no?, ya voy a cubrir
esos renglones porque ahora sí se los quiero poner como usando las otras leteas,
o sea y prima no es más que la velocidad de 0.5, ¿no?, por el delta t.
Todos estos datos los tenemos por qué, porque el valor anterior está aquí y es un
0.55 la velocidad en 0.5 ya la calculamos y es un
0.9955 y el delta t es el 0.5, ¿no?
Entonces con estos datos vamos a volver acá en la calculadora este valor
0.9955 lo multiplicamos por 0.5 nos da
ese valor que se lo vamos a sumar, si aquí nos quedó positivo al 0.55
y nos quedó un 1.0475,
1.0475 que sería
775, perdón, 775 que serían metros digamos, ¿no?, en este
momento diríamos que dado un segundo ya se movió hacia la parte positiva que fijamos,
un metro y un poquitito, ¿no?, el centro del edificio, okey.
Estos valores, o sea realmente ahorita con la tecnología se puede optimizar
la manera de representarlos.
Yo quise recordarlo con ustedes porque este video ya también es un
digamos final feliz en donde vamos a ver todo lo que hemos aprendido,
entonces me gustaría que en este momento que ya recordamos la estrategia,
¿no?, numérica, volvamos a nuestro compañero excel,
en este caso la hoja de cálculo en donde vamos a meter los valores, yo ya tenía ahí
algo preparado, ustedes van a poder ver bueno pues tengo los intervalos
de 0.5 también, tenemos aquí metido el dato inicial de el, de
la posición inicial, el de la velocidad que era el 1.1 que dijimos,
el dato de la, como se llama la ecuación diferencial,
ahí está tecleada, acuérdense que cuando hicimos la multiplicación,
digamos no en la multiplicación se tiene que poner el asterisco,
¿no?, en este caso no se multiplica por el delta t porque esto es realmente el
meollo del asunto, ¿no?, con la ecuación diferencial que teníamos acá.
Pero después aquí en donde estamos hablando del siguiente valor de la y lo
que hice es que lo que hicimos en el papel con la notación matemática,
si lo ven acá arriba, al valor anterior que es b sub dos,
le estamos sumando c sub dos por f signo de pesos dos,
el signo de pesos acuérdense es para que no se nos altere el valor
de 0.5 en cada ocasión que se haga el cálculo.
Finalmente para la velocidad otra vez la fórmula es la misma,
es nuestra misma idea de todo el curso,
al valor anterior le sumo el cambio, ¿no?, y ese cambio se calcula con
la derivada que está dada con la columna d ahora por el intervalo de tiempo.
Aquí es en donde que estamos haciendo que esa razón de cambio se mantenga constante,
¿no?, hay muchos fenómenos en la naturaleza en los que podemos utilizar
estos modelos, ¿no?, diferenciales, habrá otros fenómenos en donde las
cuestiones nos rebasan y tendríamos que utilizar otro tipo de teorías.
Pero igual esto es realmente aplicable.
Vemos ahora la siguiente celda que lo único que hice copiar la fórmula,
ya me preparé con el archivo para haber hecho ya
el arrastre de todas las fórmulas y mejor mostrarles, no llegar hasta el uno,
fíjense aquí habíamos llegado a este valor, si ustedes pueden ver mi hojita
aquí en la mesa, van ustedes a poder comparar los valores que tenemos
en la mesa, este 1.047755 está aquí, se fijan donde estoy
poniendo ahora el cursor, entonces ese es el valor al que habíamos llegado nosotros,
¿no?, con nuestra hoja, acá tenemos también este valor anterior
el 0.9955 que lo teníamos en la hoja de este lado y acá lo tenemos también,
o sea esto era paso, uno de los pasos en el proceso, ¿no?
Entonces vean ustedes como todas las cosas corresponden, lo único que estamos
haciendo nosotros es que nos facilitemos los cálculos numéricos,
que eso es algo que la tecnología nos ha venido a resolver perfectamente, ¿no?
Entonces ahora sí veamos en excel el gráfico, yo les voy a poner acá
el gráfico que ya lo tenemos hecho de antemano y entonces pueden ustedes ver
lo que está pasando con los valores de la,
en la oscilación que está percibiendo el edificio.
Ven como se parece esto a lo del amortiguado que ya hemos estudiado en este
curso, o sea realmente eso puede ser una combinación de una función exponencial
con una función senoidal y bueno pues en esa sensación de ese vaivén,
¿no?, estamos viendo de que afortunadamente el edificio va a llegar,
bueno si las cosas se comportan así, va a llegar a su estabilidad nuevamente en qué,
aproximadamente 120 segundos, ¿no?,
120 segundos que serían 60 segundos es un minuto,
en dos minutos las cosas van a prácticamente a estar estables nuevamente.
Bueno ya con eso hemos repasado nuestro método de Euler,
nuestra estrategia numérica, hemos visto como los gráficos otra vez son una rica
información matemática aunque no es suficiente, siempre lo numérico y lo
algebraico van a tener que participar en ese análisis que hagamos,
el análisis matemático que llamamos de cada situación particular,
y en particular para despedir este curso me gustaría
mostrarles una situación como la que iniciamos,
¿no?, o sea una situación que no es nueva pero que ahora vamos a recordar
y a ampliar un poquito más con todo lo que hemos tenido ocasión de aprender.
Entonces pues nos preparamos con los videos para presentarlo nuevamente.
Pues aquí las escenas que estamos viendo, ya recordarán pues vamos en un coche,
y nos estamos moviendo rápidamente y bueno algunas sorpresas
pudieran pasar si se recuerdan o sea la situación que hemos puesto es qué tal si
por ahí van a andar algunas vacas pastando y entonces de repente
se puedan mover y se les antoje ir a la carretera, sobre todo porque
allá encuentren en las orillas que hay un buen pasto, pudiera pasarnos a cualquiera,
le puede pasar y tan es así que ya hasta imágenes tengo,
¿no?, de señalamientos donde hay cruce de vacas,
ahí tenemos esta vaca tan tranquila, que padres imágenes estamos teniendo aquí.
Y bueno pues la idea sería que es posible que una
vaca se nos atraviese o tal vez un elefante, ¿no?, incluso
el elefante sería el que puede andar en las carreteras, se dan cuenta de eso, ¿no?
Bueno pues con eso vamos a cerrar con broche de oro nuestros,
nuestros videos en este curso,
me gustaría que bueno, no tenemos el problema de rebasar a ese elefante,
mejor vamos a rebasar acá, lo que tenemos que hacer en el papel para acabar con
este cálculo diferencial e integral unidos por el teorema fundamental de cálculo.
La imagen que tengo ahorita es de esta vaca curiosa, ¿no?,
que se está atravesando en el camino, que tenemos nosotros unos datos de velocidad,
¿no?, unos datos muy discretos, o sea son datos, uno, dos, tres, cuatro datos,
estos datos de tiempo y de velocidad me están diciendo que en el momento en que
veo la vaca yo freno, en ese momento son los cero segundos y voy a una velocidad de
18 metros por segundos y que pasados dos segundos sigo viendo a la vaca pero volteo
el velocímetro y ya tengo 9.6 metros por segundo y al siguiente cuatro segundos,
o sea seguía viendo la vaca ahí que no se quitaba a una velocidad de 2.73 metros
por segundo porque ya estaba metido el freno y a los seis segundos ya, llegué
a la velocidad cero mi coche ya se paró y bueno cuál es el destino de la vaca,
bueno pues siempre va a ser muy afortunada, no se preocupen por eso.
Ahorita lo que me preocupa es que seamos capaces de calcular el valor
aproximado del cambio acumulado que significaría
bueno estar suponiendo que cada vez que volteo a ver al velocímetro mantengo
ese dato de velocidad constante, aunque no lo es así, realmente al meter nosotros el
freno la velocidad está disminuyendo de una manera continua, ¿no?,
pero ahorita voy a suponer que mantenemos la velocidad constante y otra vez si
uno piensa en el tiempo en esta en esta representación matemática
a los cero segundos yo voy a suponer que tengo una posición cero, o sea mi primera
posición es cero, o sea estoy partiendo de donde empecé a meter el freno, ¿no?
Y después bueno, pues habrá una posición a los seis segundos,
¿no?, que esa es la que queremos aproximar y que dado que empezamos en cero
y que siempre vamos, ¿no?, justo hacia la vaca pues entonces podemos
hacer o pensar que la distancia recorrida por el coche coincide
con la posición del coche a los seis segundos, ¿no?, y estamos
hablando entonces de esa distancia como el cambio entre estos dos valores, okey.
Para calcular ese valor de y en seis entonces lo que haríamos nosotros es
pensar cada dos segundos, entonces si pasaron los dos segundos de cero hasta
dos, yo podría calcular o poner el valor de la velocidad a los
cero segundos y mantener esa velocidad durante los dos segundos que están aquí,
que estoy señalándolos con mi dedo, de cero a dos segundos ponemos aquí el número
dos, velocidad mantenida constante multiplicada por el tiempo transcurrido.
Y después le agregamos este otro dato de la velocidad que se mantiene
constante por el otro intervalo de tiempo de dos segundos, estaría aquí
un dos un finalmente lo que haríamos es multiplicar el 2.73 que es
el nuevo valor de la velocidad que se va a mantener constante, y eso va a ser durante
los dos últimos segundos que tenemos aquí, aquí ya casi no nos cupo este número dos,
¿no?, pues se los voy a mostrar ahora y pues entonces realmente
qué les estoy enseñando yo, que el cálculo es qué, sumas con multiplicaciones, ¿no?,
realmente son sumas y multiplicaciones llevadas a sus últimas consecuencias.
Al hacer ste| cálculo, bueno entonces nos va a salir el valor de esa posición
que antes de hacerlo ahorita con una calculadora, preferiría
yo que volviéramos sobre nuestro software de la hoja de cálculo para hacer
los cálculos de una vez ahí y reproducir las cosas a sus últimas consecuencias.
Entonces si ustedes me acompañan ahorita en el software tendrán ustedes,
verán ustedes que justamente tenemos los datos que teníamos en la hoja de papel,
si pudiéramos tener las cosas juntas sería lo ideal, para poder comparar, ¿no?,
yo lo que hice fue poner vamos a poner aquí en nuestra baja, aquí está el cero,
está tecleado cero, está tecleado en dos, pueden ver ustedes que está
tecleado en la parte superior donde tengo el cursor, tecleo el cuatro y el seis,
también están tecleados los valores numéricos que tenemos acá en esta tabla,
y metí una columna en el centro para hablar de esa posición,
¿no?, y entonces el dato inicial es un cero y aquí qué es lo que haríamos para
calcular en este valor de dos, ¿no?, cuál es la distancia recorrida.
Pues lo que le diríamos a excel es toma el valor de esta velocidad,
mantenlo constante y multiplícalo por el intervalo de tiempo que ha transcurrido
que en este caso lo voy a teclear ahorita directamente y va a ser un dos,
verdad, ya lo mantuve constante, es que puse un signo de más disculpen,
voy a poner el por y le ponemos un dos y entonces ya no salió el número,
no salió y por qué, porque quiere más espacio, el número 36 que es el primer
dato de nuestra hojita que sería este 18 por dos, después en esta
celda que les estoy señalando lo que haríamos sería decirle a excel, igual.
qué le vamos a decir, pues toma el dato anterior,
este que tenías aquí y le vamos a agregar, verdad,
qué le vamos a agregar, pues el dato de la velocidad que tenemos acá,
solamente que esta velocidad la vamos a multiplicar por, por cuánto, por dos,
también porque pasaron dos segundos y entonces el nuevo dato sería un 55.20.
No es 9.6 por dos, es esto más es esto, se fijan,
o sea ya se me están juntando aquí los dos datos para tener un dato nuevo para
la distancia a los cuatro segundos o la posición a los cuatro segundos.
Finalmente a los seis segundos le diríamos nosotros otra vez, le decimos igual
toma el valor anterior y le vas a sumar el valor de la velocidad
pero multiplicado por dos, ¿no?, y entonces el nuevo dato
es un 60.66 que seguramente es el dato que deberíamos poner
aquí, 60.66 lo obtuvimos a través de el archivo de excel
pero ahora la ventaja es que excel me va a permitir frente a ustedes hacer cosasmucho
mejores si nos proponemos algo que primero les muestro en esta hojita.
Les voy a proponer que con esta imagen, ¿no?,
para recordar nuestro problema, sí, veamos ahora las cuestiones
pensando en que la velocidad esté modelada con esta expresión matemática, sí,
realmente esta expresión matemática da valores como los que están aquí,
nada más que aquí los valores eran cuatro, ¿no?,
y acá lo que vamos a hacer es que con ayuda de la hoja de cálculo podremos
calcular muchos más valores, no para irnos más allá de los seis segundos,
eso no tiene sentido, ya sabemos que a los seis segundos nos paramos.
Lo que vamos a hacer es calcular más valores intermedios porque eso hará
que nuestra aproximación sea mejor, aproximación a la distancia recorrida
antes de que la vaca se haya salvado, vamos a decirlo así.
Entonces vayamos a excel, porque en excel lo que les voy a mostrar
en este archivo es los mismos datos que teníamos antes salvo de que
ya cambié la hoja, miren estaba aquí y me cambié para acá, y entonces ahorita
observa los mismos datos que teníamos salvo que aquí había un dos por qué,
porque el delta t era antes un uno, pero si yo pongo aquí el dos en delta t
se ponen los mismitos datos que teníamos en la hoja anterior, okey.
Entonces, qué va a pasar ahora, al haber metido aquí en el delta t un dos,
puedo cambiar ese dos por un uno y como ya tengo aquí dentro de la velocidad,
vean ustedes la fórmula que está tecleada, bueno ahí se ve así toda separadita
pero la pueden ver acá arriba, acá arriba dice 108 menos
tres por A2 al cuadrado entre A2 al cuadrado más seis.
Me gustaría que ahorita pudiéramos ver la imagen acá también en el papel simultáneo
para que ustedes vean como este 108 menos tres t cuadrada entre t cuadrada más seis
se va a traducir acá en excel como el 108 menos tres por A2
al cuadrado, por qué, porque A2 es justamente la t, entre,
aquí hay un slash un entre, luego diría qué, A2 al cuadrado más seis,
es este t cuadrada más seis que ahora se escribe como A2 al cuadrado más seis,
cierto, entonces como ya metimos esa fórmula en excel, tenemos la oportunidad
de hacer un arrastre y ya con eso tenemos nuevos valores, sí.
Y todos están calculados con esa misma fórmula, de acuerdo,
entonces ahora qué es lo que tendríamos que hacer en nuestro archivo de excel,
ahora sí podemos regresar aquí ya para que puedan observar,
¿no?, lo que le quiero transmitir que en este caso
para el valor de la y, recuerden ese valor de la y el siguiente le vamos
a tener que decir a excel como lo calcule, pero ahora sí utilizando nuestro delta t,
entonces le vamos a decir esto es igual y toma el valor anterior, por eso nada más
voy y doy clic en la celda anterior y le vas a sumar el aprox del cambio,
y ese aprox del cambio se calcula si tomamos el dato de la velocidad,
por eso voy a dar clic en este 18 y le decimos que multiplique
eso por por cuánto, por el delta t, cierto.
Pero al hacer ese delta t tenemos la precaución que entre la letra t y el dos
nos tenemos que meter un signo de pesos, ¿no?, para que no se altere la expresión.
Aquí nos quedó este cálculo del 18,
si arrastramos ahorita la fórmula, pues nos van a quedar, no quedó nada pero
le abrimos un poquito y ya se ven las expresiones numéricas, de acuerdo.
¿Qué nos está faltando en nuestro archivo?
Que ya metí un delta de t de uno, sí, y al meter el delta t de uno pues llegamos aquí
hasta tres segundos y realmente tenemos que llegar hasta los seis segundos,
entonces vámonos para abajo, cuatro, cinco, seis,
y ya tenemos aquí entonces un nuevo dato, la velocidad llegó a ser cero aquí
y el dato de lo que tendríamos ya a los seis segundos no sería ese porque ese
sería el correspondiente cuando ya pasaron esos seis segundos.
Nos quedaríamos con el dato del 50.73 porque este dato sería,
no es cierto, ahorita estamos calculando los valores de la y de t.
Entonces ahorita sería este 51.79 el correspondiente justo a los seis segundos,
¿no?, el valor anterior cuánto fue, era un 60.66
aquí sería un 51.79 y la ventaja de nuestro excel es que le podemos
decir calcula estos datos pero no cada segundo,
cada medio segundo entonces le ponemos un punto 0.5 que sería como que el
equivalente nada más que aquí necesito decirle que me ponga los decimales verdad,
que sería el equivalente de haber estado volteando a al
velocímetro pero cada medio segundo y mantener ahí la velocidad constante.
Entonces vamos a hacerlo nosotros con nuestros datos,
con 0.5 tendríamos que bajar aquí desde el 3.0 que teníamos antes,
nos vamos a otra vez hasta el seis, yo creo que aquí llegamos,
¿no?, ya hasta me pasé, por eso sale negativo se fijan acá.
Ya la velocidad ahí es negativa o sea como si el coche ya se paró y se regresó ya se
va de reversa, entonces hasta aquí sería un 47.35 este sería digamos
el lugar en el que tendríamos nuestro nuevo cálculo, nuestro nuevo cálculo para
la posición del coche a los seis segundos que es justo cuando ya quedó parado.
¿Cuál es la última consecuencia?
La última consecuencia es irnos al papel para que les muestre lo que puede pasar.
Podemos tomar estos valores de la velocidad constantes
pero en intervalos infinitesimales y eso sería tanto como pensar en una integral,
entonces aquí lo que haríamos es en lugar de calcular esa y en seis,
¿no?, con sumas y multiplicaciones pensamos en una
suma infinita de cantidades infinitamente pequeñas, ¿no?,
entonces lo que vamos a hacer es sumar las velocidades por el diferencial de
tiempo y entonces tendríamos una integral de 18 menos
7.35 t a la un medio pues es raíz de t verdad,
dt, y entonces esta es la integral que nos tendríamos que resolver.
La podemos hacer, por qué, porque el 18 se integra fácilmente,
el 18 es un 18 t en su integral y
este 7.35 y el raíz de t es un t a la un medio que se integra como t a la tres
medios entre tres medios que es lo mismo que decir por dos tercios, ¿no?
Entonces aquí, bueno más la c,
¿no?, porque estoy haciendo una integral indefinida.
Aquí estaría dandoles yo la fórmula ya, dije aquí seis ahorita le estaríamos
haciendo en general, la fórmula de la posición en cualquier instante t,
de acuerdo, claro que nos va a interesar en seis porque esta función que les puse
aquí es una función que si la evalúan ustedes en seis les va a salir en cero,
está dentro de toda la misma lógica,
miren aquí está ya la el señalamiento de que aquí está vacas cruzando,
todo esto es posible, es bien real una situación bien real.
Entonces a los seis segundos nos vamos a parar, aquí estamos construyendo la
función que nos da la posición de nuestro coche durante seis segundos,
y bueno pero este es una integral indefinida, okey.
Realmente para calcular la posición de los cero a los seis segundos,
lo que tenemos que hacer es una integral definida, verdad,
y esa integral sería pues ponerle aquí un cero y un seis,
cierto, y esto nos va a llevar en nuestro teorema fundamental
independiente de cuanto valga esta c, a ponerle así, ¿no?, de cero a seis,
y estaríamos evaluando todo esto en cero, perdón en seis y quitándole el
valor en cero que es realmente cero porque así empezó nuestro problema.
Pero en lugar de hacérselos aquí en el papel, los invito a que lo veamos con este
otro recurso tecnológico que tenemos a la mano todos,
¿no?, y que se llama wolfram alpha.
En wolfram alpha ahorita yo lo tengo abierto en mi computadora,
vean ustedes lo que hice, le dije integrate, sí, ahí se está viendo,
déjenme acomodárselos un poquito, dice integrate 18 menos
7.35 t a la 0.5, ¿no?, no quise poner un medio,
puse 0.5 porque el lo entiende perfectamente sin ninguna dificultad,
entonces ahí tenemos la integral que está ahí interpretada ustedes están viendo
como se está haciendo aquí el 18 menos ahí les estoy poniendo el cursor,
7.35 que bueno que nos acerquemos para que se vea más,
raíz de t, ven lo interpreto ahí perfectamente,
nos dio la respuesta 18 t menos 4.9 por t a la tres medios,
ya hizo la operación que yo no hice acá en el papel, pero no importa, ya estamos
viendo que esa integral está calculada ahí y bueno pues ahorita yo me preguntaba
como le hago para que sea definida la integral, simplemente esa es la facilidad
también de estas tecnologías, como que nos entienden el lenguaje cotidiano,
o sea están tratando de que estos recursos matemáticos sean muy transparentes,
o sea yo ahorita pensé definite integral,
¿no?, definite integral y creo que así me funcionó, voy
a decirle calcula la integral definida pero le voy a decir from
cero to six, de cero a seis, de cero a seis,
le damos un enter a ver qué pasa, está pensando,
está pensando y entonces nos calculó este valor que dice,
sí, ahí está bien interpretado se fijan, ahí dice integral de cero hasta seis de 18
menos 7.35 raíz de t dt igual a 35.985 metros, ¿no?,
con eso nos hizo el cálculo que yo tenía acá en el papel pero lo tenemos con
wolfram alpha, me gustaría que pudiéramos poner papel y wolfram al mismo tiempo
para que vean como estamos trabajando aquí, ¿no?
Y entonces este valor que me está dando aquí el 35,
este es justamente el valor que podría ahorita yo copiar aquí
y decir 35.985 metros, ¿no?
Entonces haciendo este el digamos, el modelo real, ¿no?,
de lo que pasó llevado a sus últimas consecuencias con una integral definida,
podríamos decir que esta es la distancia recorrida por el coche
cuando metimos el freno y nuestra amiga vaca,
bueno pues mientras encuentra una distancia mayor que eso, pues va a poder
regresar a su lugar a pastar y bueno creo que ya con esto si nos podemos despedir,
hemos llevado el problema también a sus últimas consecuencias y creo que el
momento es para que dentro de esta despedida pongamos a nuestras vacas,
¿no?, nuevamente y despedirnos con las vacas tratando de recordar
que ha sido afortunado, ¿no?, el poder compartir con ustedes este conocimiento.
Un conocimiento en donde la misma vaca,
la palabra vaca me ha servido para recordarles que el cálculo habla de este
valor aproximado del cambio acumulado que puede llegar a una beca,
a un valor exacto del cambio acumulado cuando uno se atreve
a pensar en el infinito, a pensar que las cosas, los modelos
matemáticos tratan de este pensamiento de pensar en lo infinitamente pequeño,
de pensar en sumas infinitas de cantidades infinitamente pequeñas y bueno,
pues ya este ha sido digamos mi panorama, ¿no?, mi perspectiva de la matemática que
he podido compartir con ustedes con mucho, con mucho gusto y placer.
