Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Simbolización: Regla de la cadena para derivar y Cambio de variable para integrar
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5.- Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Derivando e Integrando
Este Módulo será dedicado al reforzamiento de aspectos algorítmicos en el cálculo de derivadas e integrales. El énfasis en la manipulación de la simbología algebraica permitirá minimizar dificultades. El uso de tecnologías digitales actuales permitirá valorar su potencial como herramienta en el proceso.
与讲师见面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues en este video simbología, pues,
tendremos que seguir trabajando algebraicamente con nuestras expresiones.
Eh, tengo en mi cuaderno ahorita, en la imagen que ya hemos visto anteriormente,
donde hemos conectado en este curso la derivación con la antiderivación y
ya hemos también hablado de lo que es la antiderivada como la integral indefinida.
Entonces, ahorita, en esta ocasión, vamos a tratar de utilizar esta notación Limes,
la notación de la integral que también le corresponde para hacer una
álgebra en el cálculo de derivadas y antiderivadas o de integrales
utilizando la regla de la cadena.
Yo se que en el video anterior ya hicimos derivadas con regla de la cadena.
Pero, en este video mi intención es conectarles la regla de la cadena con la
integración.
Que no es más que lo que ustedes pueden haber conocido en algún curso de cálculo
integral como la técnica o el método del cambio de variable.
Quiero convencerlos que el cambio de variable en la integración no es más que
la versión en la integral de la regla de la cadena para las derivadas.
Entonces, ahorita tengo aquí mi barajita con el modelo potencia y me gustaría
ser clara con ustedes en que ahorita estaríamos manejando esta parte de aquí.
O sea, tener la expresión de x a la n y esa expresión
se deriva poniendo en este paréntesis cuadrangular la expresión.
Aquí está la fórmula de la derivada y por otro lado la vamos a integrar
y aquí esta la fórmula de la integral, ¿no?
X a la n más uno y entre n más uno, todo esto ¿por qué?
Porque como les he dicho en la fundamentación de la
matemática ganaron las funciones
y son las funciones como que el personaje al que se le deriva y se le integra.
Aún y cuándo,
como hemos visto nosotros en este curso y gracias a nuestra interpretación
del teorema fundamental del cálculo, lo que se integra son derivadas, ¿no?
Para dar solución a esta problemática de la
predicción del comportamiento de magnitudes que están cambiando.
Entonces, ahorita,
voy a recordarles una de las derivadas que hicimos en el video anterior.
O sea, podríamos decir nosotros que tenemos la función y igual
a x cuadrada más uno a la diez, ¿se acuerdan?
¿Sí? Entonces, ahorita,
la derivada con respecto a x, estoy usando esta notación, ¿no?
De x cuadrada más uno a la diez es igual, usamos la regla de la cadena, ¿no?
Y esto fue igual a qué.
Se baja el diez se deja x cuadrada más uno a la nueve y se multiplica por
la derivada de x cuadrada más uno que es un dos x, ¿no?
Esa expresión, entonces, ahora nos quedó acomodada como 20 x, ¿verdad?
Por x cuadrada más uno a la nueve, ¿okey?
Cada vez que tengo una derivada, tengo resuelto un problema de integración.
¿Cierto?
Por que si yo integro esta expresión lo que obtendría sería la función original,
¿no?
Eso es otra vez, nuestro teorema fundamental del cálculo, ¿no?
Pero, entonces, ahorita, lo que estaríamos integrando es esta expresión.
No voy a integrarles esta, ¿no?
Porque para integrar esta, se necesitaría otra cosa.
Lo que les voy a ilustrar es el cambio de variable.
Entonces, la integral que les propongo realizar
sería una integral como esta, ¿no?
Vamos a integrar Si pongo este 20, ¿se fijan?
Por x por x cuadrada más uno a la nueve, la respuesta es la de arriba, ¿no?
O sea, si pongo aquí la derivada dy, voy a ponerla así, dy con respecto a x
dx, o sea, lo que voy a obtener es la y, la y de x, ¿cierto?
Pero, ahorita, lo que les voy a poner es la integral de casi, casi, la derivada.
O sea de un x por x cuadrada más uno a la nueve dx.
¿Okey?
O sea, estoy poniendo casi, casi, lo que tengo acá, les estoy poniendo esta parte.
Ustedes dirán, a pero no más le falta un 20, ¿verdad?
Y con ese 20 ya es la derivada de la de arriba y la respuesta es la de arriba.
¿Okey?
Bueno, pues, sí, eso es el cambio de variable.
O sea, el cambio de variable es una manera de visualizar una integral
en donde uno reconoce ahí una U, es la u del cambio de variable, ¿no?
O sea, si yo se los ilustrara de alguna manera,
yo les pondría aquí, vean aquí una u, ¿sí?
O sea, esa u si la ponemos como x cuadrada más uno.
El diferencial du con respecto a x es dos x, ¿sí?
O en otras palabras, si paso este dx para acá me quedaría que
el diferencial du es dos x dx ¿De acuerdo?
Cuando uno ve un cambio de variable, pero ¿cómo les diré?
Después de que ya tiene tiempo de haber visto la regla de la cadena,
pues, a lo mejor causa algo de sorpresa que uno tenga que escoger
una u y ver que ahí está casi, casi, ¿no?
El diferencial du, ¿no?
Sin embargo, si uno lo ve, ahorita, seguido con la regla de la cadena,
pues a lo mejor esto invita a que uno haga las cosas un poquito más, más rápido, ¿no?
Por ejemplo, ¿qué vamos a hacer ahorita?
Vamos a pensar que hacemos el cambio de variable, ¿no?
Entonces, al hacer el cambio de variable, la integral que nos va a quedar aquí
sería la integral de esta u elevado a la nueve.
Y el x con el dx es algo que despejaríamos de acá.
X por dx es justamente la mitad de du.
Entonces, la expresión nos quedaría aquí como un medio de du.
O sea, en la integral que les acabo de escribir está todo lo que teníamos arriba.
Está x por dx, porque x por dx es la mitad de du.
X por dx aquí está abajito, la mitad de du, la mitad de du.
Y luego está la u a la nueve, u a la nueve.
Y cuando tenemos esto, entonces, podríamos dejar, sacar el un medio de la integral,
y nos va a quedar en la integración un u a la nueve du, ¿no?
Y esta integración, bueno, pues es directa, ¿no?
Esa integración nos daría ¿qué?
Como lo tenemos aquí en nuestra hojita, ¿no?
La integral de x a la n es x a la n más uno entre más uno.
Y eso es lo que vamos a aplicar acá.
Entonces, nos quedaría aquí, un medio de u a la diez entre diez, ¿no?
Más la constante seno de integración.
Finalmente, entonces, nuestra expresión nos quedó.
Voy a pasarme para la parte de acá.
En esta parte de acá, la integración que nos quedó para x
por x cuadrada más uno a la nueve dx es igual a un veinteavo
de x cuadrada más uno a la diez.
O sea, copié este x cuadrada más uno a la diez.
Y dos por diez me dió el 20, ¿no?
Más la c.
En este momento a mi me gustaría
observar esta expresión en naranja que les estoy poniendo porque, realmente,
el proceso algebraico que nos enseñan para el cambio de variable es algo que
podríamos economizar si fueramos capaces de visualizar la regla de la cadena.
Ustedes vean aquí cómo tengo una expresión elevado a una potencia.
Y eso recuerda la regla de la cadena.
Si estuvo la nueve y esta es la derivada, pues acá tendría que ser a la diez, ¿no?
O sea, la función que voy a derivar.
Ahora, lo único que nos está faltando es que aquí aparezca casi,
casi, o que aparezca justamente la derivada de x cuadrada más uno.
No apareció completa, porque la derivada de x cuadrada más uno es dos x, ¿no?
Lo único que le faltaba a la expresión era poner por ahí un medio, ¿no?
Un medio para que me multiplicara aquí con este dos.
O sea, se los voy a hacer, yo creo, en otra hoja para que lo veamos más claro.
Yo he encontrado que hay quienes vienen habituados a este tipo de integración.
Con este tipo de expresiones, sin
tener que hacer el cambio de variable así directo como lo hicimos algebraicamente.
Tendríamos, entonces, aquí la integral de x por x cuadrada más uno
a la nueve dx, ¿no?
Si tengo una buena intuición, digamos,
en cuanto a derivadas y usando la regla de la cadena,
yo tenía acá en mi mente, pensando x cuadrada más uno a la diez.
¿Por qué?
Porque al derivar x cuadrada más uno a la diez queda x cuadrada más uno a la nueve.
Claro que al derivar esto también me va a quedar el factor dos x por la regla de
la cadena y aquí solamente tengo un número dos y el dx.
Podríamos hacer lo siguiente,
podríamos poner un número dos de este lado y poner un medio, justamente aquí
de tal manera que no alteramos la cantidad que teníamos originalmente.
Y entonces, al hacer la integración, podríamos reconocer que dos x por x
cuadrada más uno a la nueve es justamente, u a la nueve, ¿no?
Que se integraría como u a la diez entre diez, o sea,
se integraría como un veinteavo de x cuadrada más uno a la diez, ¿no?
Que es justamente la respuesta que obtuvimos acá.
Entonces, nada, bueno, me faltó agregarle la constante.
O sea, los invito a que hagamos otra expresión
en donde volvamos a reconocer esto mismo, ¿no?
Claro que ahora valdría la pena que lo hiciéramos recordando nuestras
reglitas para la función exponencial.
¿Se acuerdan?
Ya sabíamos nosotros que si tuviera la función, vamos a ponerlo con otro color.
Si tuviera la función y igual a e a la
x cuadrada más uno ¿verdad?
La derivada de esto es e a la
x cuadrada más uno por un dos x, por la regla de la cadena, ¿no?
Ahora, lo que les invito es a que reconozcamos la integral
con el cambio de variable.
¿Cuál sería la integral que estaríamos tratando de resolver?
La integral sería una integral del tipo, vamos a ponerla aquí,
integral de x por e a la x cuadrada más uno dx, ¿no?
¿Sí?
Entonces, en este caso, cuando vemos esta integral y estamos pensando en el
método de cambio de variable pero tenemos en mente nuestra regla de la cadena
seríamos capaces de decir, lo único que le está faltando aquí es un número dos, ¿no?
Para que sea la derivada de lo que tengo acá arriba, ¿no?
Entonces, lo que les propongo es poner un número dos.
Claro, que habrá que poner un medio detrás.
Y entonces, le integral nos va a quedar igual a un medio de integral
de e dos x por e a la x cuadrada más uno, o sea, un medio de la integral
de e a la u por du, vamos a ponerlo así, e a la u por el du.
Donde nuestra u fue x cuadrada más uno, ¿no?
¿Cierto?
Aquí estaría e a la u, e a la x cuadrada más uno por el du, que es dos x dx.
Donde el dos x dx estuvo completo por este dos que pusimos aquí.
Y entonces, la integración nos quedaría como un medio de e a la u.
¿no?
Más c.
O sea, nuestra respuesta sería, finalmente,
de un medio de e a la x cuadrada más uno, ¿no?
Más la c.
Otra vez, vamos a ponerla en limpio, pensando en que hubiera sido,
qué se yo una expresión como, vamos a ponerla en esta hoja.
Y igual a e a la x cuadrada más x, ¿no?
¿Sí?
Si esta fuese mi expresión la derivada de y con respecto a x es
e a la x cuadrada más x por dos x más uno ¿sí?
Esta sería la derivada con la regla de la cadena.
Esta derivación con la regla de la cadena me enseña a hacer una integración, ¿no?
Pero la integral de quién.
La integral de dos x más uno por e a la x cuadrada más x, dx.
¿No?
En este caso, se está viendo que estoy integrando justamente
la derivada de esto que está arriba.
Si vemos esto con el método de cambio de variable nos hubieran dicho,
ve en esta parte de aquí una u, ¿no?
Ese va a ser el cambio de variable, ¿no?
Pero por qué esa u, pues porque su diferencial du
o la derivada du con respecto a x es dos x más uno, y eso está aquí.
Está dentro del integrando, ¿no?
Entonces, el diferencial du es dos x más uno por dx.
Entonces, cuando uno lo ve con estos ojos de la u, entonces,
la integración queda como la integral de e a la u
por dos x más uno dx, que no es más que el diferencial du.
O sea que la respuesta es una e a la u más e; o sea que la respuesta es e a la
x cuadrada más x más la c, ¿no?
Entonces en esta caso otra vez les he ilustrado con una de las reglas que ya
teníamos antes, la exponencial lo que pasa cuando hacemos el cambio
de variable seguido de que hemos aprendido la regla de la cadena.
Vamos a hacerlo con el otro modelo que teníamos ya nosotros presente,
ya se me acabo mi libreta ¿qué tal?
Pero aquí tenemos unas hojas
y en estas hojas vamos a utilizar la integral que nos está faltando, ¿sí?
La integral que nos está faltando sería,
algo que tenga que ver con nuestra función trigonométrica, ¿no?
Entonces, me gustaría proponerles la función que ya habíamos visto antes.
Si tenemos seno de x cuadrada más uno ¿cierto?
Ya sabemos que con la regla de la cadena la derivada de y con respecto a x es,
coseno de x cuadrada más uno por un dos x, ¿cierto?
O sea, sería dos x coseno de x cuadrada más uno, ¿okey?
¿Qué lo que les voy a enseñar a integrar?
Pues, realmente aquí no hay mucho que enseñar, ¿no?
O sea, porque ya está todo ahí.
Vamos a integrar esto de aquí para recuperar seno de x cuadrada más uno.
Fíjense, no les estoy enseñando a integrar seno de x cuadrada más uno no,
eso ya es otra cosa, ¿sí?
Lo que les estoy enseñando a integrar son los resultados de la regla de la cadena.
O sea, qué pasaría si la integral es de x por coseno de x cuadrada más uno dx ¿sí?
Si esta fuese la integral que vamos a realizar en un método de cambio de
variable nos dirían, pues vea aquí, en esta parte una u.
¿Por qué?
Pues porque esa fue la que sirvió cuando se hizo esta derivada ¿no?
Y entonces, al proponer la u como x cuadrada más uno el du sería igual,
du en dx sería dos x y entonces el du sería dos x dx.
Aquí tengo x dx, no tengo dos x dx, ¿no?
Pero es tanto como poner un dos aquí, pasar un medio.
O simplemente, despejar de aquí x dx y aparece el un medio, ¿no?
Y en ese momento, ya podemos reconocer justamente esta derivada.
¿Okey?
De la regla de la cadena.
Entonces, la respuesta va a ser el un medio que está aquí
por la integral del coseno de u du.
El coseno de u, y dos x dx es justamente el du.
Y para integrar un coseno la respuesta es el sen, ¿no?
Seno de u más e y nos va a quedar entonces, un medio del seno
de x cuadrada más uno más c, ¿no?
Recuperamos, entonces, lo que teníamos acá arriba
porque en la integración lo pusimos sin este número dos, ¿no?
Entonces, realmente ahorita, el cambio de variable
viene siendo como una consecuencia de haber practicado la regla de la cadena.
Me gustaría que termináramos aplicándola también en dos casos
especiales en los cuales pareciera que son integrales muy complicadas
y sin embargo son algo que está al alcance de nuestra mano, ¿no?
Entonces, quiero mostrarles ahorita en mi pantalla, un videito, no es un video,
es un software en donde tengo a una expresión matemática
donde también se usa la regla de la cadena.
Vean ustedes la expresión seno de e a la k x.
Esta especie de composición de función es adecuada por,
fíjense el tipo de comportamiento de la curva que se tiene, donde hay una
alteración de la función seno debida a el crecimiento de este exponencial.
Entonces si lo vemos así, ahorita puse un parámetro k donde estamos afectando, ¿no?
esa forma de crecer del exponencial de tal manera que obtenemos un efecto como este,
¿no?
Si ustedes ahorita observan lo que están pasándonos en esta zona azul es de
que son tantas, y tantas las oscilaciones que se están dando ahí que casi, casi,
bueno, pues ya no se puede percibir la diferencia entre las
curvas y nosotros vemos todo relleno, ¿no?
Pero entonces, cualquiera de los puntos en esta curva es un punto,
vamos a poner esta por ejemplo,
es un punto que satisface esta expresión y esta expresión es derivable.
¿Okey?
Y siendo derivable me puedo acercar a alguno de estos lugares, no lo voy a hacer
ahorita, pero al acercarme voy a ver un comportamiento de recta.
O sea, yo puedo derivar perfectamente esa función.
Y tan puedo que lo vamos a hacer, ¿no?
Vamos a derivar aquí en el papel, copiamos nuestra función nuestra función
azul que viene siendo y igual a seno de e a la k x.
Esto se va a derivar con la regla de la cadena.
Tengo seno de una función que depende de x
entonces la derivada de y con respecto a x va a ser, por derivar sen,
es un coseno de e a la k x Y multiplicamos por la derivada de esto, ¿no?
Y la derivada de esto viene siendo e a la k x por k,
eso ya era conocimiento anterior.
Entonces aquí la expresión de toda la derivada la podemos re acomodar como k
veces e a la k x, por el coseno de e a la k x.
¿Sí?
Entonces esta derivada que está aquí es un producto de la regla de la cadena
y eso nos va a permitir también pensar en un tipo de integral,
una integral que se le parezca ¿no?
No que se parezca a esto, yo no estoy integrando esta y,
estoy integrando esto o casi, casi la derivada.
O sea, la integral que necesariamente tendría que ponerles yo para ilustrar el
cambio de variable, sería la integral de e a la k x
por coseno de e a la k x, de x ¿no?
Esta es la misma k.
¿Okey?
En esta integración se ve así complicadísima y uno dice,
¿y ahora qué voy a hacer con eso, no?
Realmente es algo muy simple.
¿Por qué?
Porque estamos recordando esto de acá.
Si ustedes se fijan aquí sería directo que uno pensara en una
u para esta parte, e a la k x.
¿Por qué?
Porque la derivada de esta u es e a la k x por k.
O sea, es lo que tiene que ver con esto ¿no?
O sea, si esta expresión la estoy viendo como para integrarse,
la propuesta que se les haría a ustedes es toma esto como la u ¿no?
¿Y por qué eso como la u?
Pues porque venimos de aquí y aquí sabíamos que cuando teníamos coseno de
e a la k x necesitábamos este factor para completar la derivada de lo de arriba.
O sea, uno ve en una integral de cambio de variable
que observa la función y observa una u cuya derivada está aquí.
O está completa o está casi completa ¿no?
En este caso, está casi completa me atreví a poner la letra k por la
animación también que les mostré en el software ¿no?
Pero pues hagámoslo o sea, no pasa nada.
Si esta es nuestra u, o sea estamos proponiendo u como e a la k x y
el diferencial de u sería, e a la k x por la k, ya paso el diferencial de este lado.
O sea, sería k veces e a la k x por de x ¿no?
Y entonces en este momento,
mi propuesta ha sido que puedan ver ustedes aquí coseno de u,
ya están viendo coseno de u y en el la parte de e a la k x por dx,
es como si vieran esta parte de aquí que le falta una k ¿sí?
para completar el diferencial de u.
Entonces podríamos poner esa letra k adentro y afuera dividiendo
y entonces ya tendríamos todas las de la ley para decir estoy integrando un coseno,
es un coseno aquí voy a tomar el otro marcador, el coseno de ¿quién?
De una u ¿no?
Coseno de u y el k e a la k por dx
es el du, entonces la integración se ve mucho más simple ¿no?
Sería uno entre k, por la integral de coseno de u.
¿Y cuál es la integral del coseno de u?
Pues la integral del coseno es el seno de u ¿no?
más c.
Finalmente, pondríamos nuestra expresión como uno en k,
por el seno de e a la k x más c.
Parecía una integral muy complicada, es una integral muy simple.
¿Por qué? Porque aquí se está viendo esto como una
consecuencia de la derivada que se hizo con la regla de la cadena.
Pasemos al último ejemplo, esta expresión que está aquí, ¿se fijan?
Ya nos está dando las pendientes de la curva en cualquier punto que nos pongamos.
Ahí se puede evaluar nada más diciendo cuánto vale x.
Y les muestro el último ejemplo que les traigo aquí,
para que vean ustedes otro tipo de comportamiento de estos que son tan
útiles en nuestra realidad y que son comportamientos bien derivables.
O sea, ahorita no es una cuestión ahí de gráficas no derivables, son gráficas
muy bien portadas e a la sen k x, esta es la que les estoy mostrando ahora.
Me voy a alejar un poquito para traerla bien.
Allí está la expresión, vean ustedes como queda la expresión
de perdón, e a la seno de k x.
¿Cuál es la que estoy dibujando ahorita?
Sí, e a la seno de k x.
Vean como ahora es la función exponencial pero afectada por seno de k x.
Entonces como que eso hizo que no se fuera ¿no?
al infinito sino que hiciera este tipo de ondas que no son ondas senoidales,
no es una función senoidal el exponente senoidal.
Pero claro que son cosas útiles por este tipo de efectos ¿no?,
que ustedes pueden ver en el gráfico ¿no?
Que también son cosas apropiadas para otro tipo de fenómenos ¿no?,
que no se ajustan propiamente a un modelo senoidal completo.
Entonces esta tipo de representación otra vez gráfica también,
sigue siendo una representación muy bien comportada, derivable, continua de todo,
de todas las de la ley desde el punto de vista del cálculo diferencial
y entonces la podemos derivar y la podemos este integrar.
No bueno, no vamos a integrarla a ella vamos a integrar a su derivada y entonces
los invito acá en el papel, en dónde por último vamos a copiar esta expresión.
La expresión es y igual a e a la seno de k por x.
¿Cierto?
Sabemos derivarla con la regla de la cadena.
La derivada de y con respecto a x es e a la seno de k por x,
por la derivada de seno de k por x, que es coseno de k por x por la letra k ¿no?
Esto que estamos haciendo ahorita es usar la regla de la cadena.
Podemos arreglarlo un poquito y decir k coseno de
k por x, por e a la seno de k x.
¿Okey?
Y ya tenemos nuestra derivada y eso nos da la inclinación de esa
curva que vimos en cualquier punto de ella que queramos, ¿verdad?
Y ahorita lo que vamos a hacer es ilustrar el cambio de variable para la integración
y entonces lo que vamos a integrar es ¿qué?
No estamos integrando esta, tampoco estoy diciendo el cambio de variable es muy
particular, se aplica solamente en algunos casos.
¿En cuáles? En dónde tenemos lo que tenemos aquí,
osea, una consecuencia de la regla de la cadena.
Entonces la integral que les propongo realizar es una integral que dice así,
coseno de k por x por e a la seno de k por x.
Y cualquiera que está en un curso de cálculo integral y le ponen eso enfrente
dice, caray y ahora, ¿qué voy a hacer?
O sea, realmente se ve muy complicado pero es simple.
¿Por qué?
Porque ahorita ya podemos visualizar y aquí tenemos una e a la u,
dónde la derivada de la u aquí esta ¿no?
Está casi, casi completa ¿no?
O sea, si es en un curso de cálculo integral seguramente les
van a proponer que tomen como la letra u el exponente del exponencial.
¿Y por qué?
Pues porque esta práctica ¿no?
de la regla de la cadena así me lo dice.
Si ponemos u como el seno de k por x, el diferencial de u va
a ser coseno de k por x, por una k por diferencial de x.
O sea, k coseno de k por x, dx.
Y entonces tendríamos aquí casi, casi ¿no?
este término como el diferencial de u.
O sea, transformar por el cambio de variable
lo que haríamos es poner integral, ¿de qué?
De e, esta letra e, es esta letra
e que está elevado a la u que es el seno de k por x.
Y el coseno de k x por dx ¿sí?
estaría aquí.
Coseno de k x por dx le faltó una k, se la podemos meter y
sacar o simplemente puedo hacer lo otro que les había propuesto despejar de aquí.
Coseno de k x por dx es uno entre k, esta pasa dividiendo.
Uno entre k por el diferencial de u, que si se fijan es lo mismo que haber
puesto aquí una k y pasar el uno entre k dividiendo acá.
Al final de cuentas me va a quedar uno entre k por la integral de e a la u du.
¿Y cuál es la integral de e a la u?
La integral de e a la u es e a la u, o sea,
es el modelo matemático que ya sabemos nosotros integrar ¿no?
Entonces lo que tendríamos aquí, estoy siguiendo en esta parte ¿no?
Sería igual a uno entre k por la integral de e
a la u que es e a la u más c ¿no?
Y esa u es justamente
seno de k por x más c ¿no?
Entonces nuestra expresión para la integral, o sea,
ahí está la integral completa.
Empezamos aquí, se veía muy complicada realmente es bien simple porque aquí
se ve que este exponente es una u que funciona al derivarse de esta manera ¿no?
Y entonces con esto nos quedaba completa, con este factorcito que estaba aquí en la
integral nos quedaba pero lista como para hacer un un cambio de variable ¿no?
O sea, ¿cómo les podría yo concretar esto del cambio de variable en la integración?
Realmente lo que está pasando es que, uno puede encontrar
en una integral que hay expresiones ¿no?
Hay una expresión, aquí hay una función que depende de x de alguna manera,
una expresión que depende de x.
Pudiera ser que esta expresión el este elevado a una potencia
o que sea una e a la f de x.
Por ejemplo, vamos a suponer que esto estuviera elevado a una potencia n ¿no?
Pero aquí aparece también su derivada ¿okey?
Si esta fuera el caso ya tengo aquí una función elevada a una potencia y su
derivada, ella va a ser las veces de la u ¿okey?
Y entonces la puedo integrar fácilmente como esto a la n
más uno entre en menos uno.
O puede ser como en el caso del exponencial que tengamos una e a la
f de x, pero que notemos que aquí anda un factor
igual a f prima o casi igual a f prima de x.
Y entonces aquí la integración sería de una integral de e a la u ¿okey?,
por el diferencial de u que sería una e a la u la respuesta.
Finalmente podría ser el caso de tener una integral de un seno de algo
que depende de x pero que aquí ande su derivada ¿no?, también metida.
Y entonces aquí lo que haríamos sería considerar la u como el f de x.
O sea, en todos estos casos okey, observen ustedes como hay un candidato
para ser la u el cambio de variable y ahí anda metido o casi,
casi completo la derivada de la u dónde ese casi, casi que me
refiero es por ciertos factores que están multiplicando que son constantes ¿no?
a la expresión.
Como nos paso con los números dos o como en el diez o la letra k cuando les
puse los modelos con uso de los parámetros ¿no?.
Con esto, yo creo que hemos avanzado bastante,
hemos sabemos como derivar usando la regla de la cadena.
Sabemos como integrar usando el cambio de la variable y realmente
hemos visto que esos dos procesos están juntos, nos está faltando algo
que ya empiezo a ver que hoy nos aparece aquí, productos.
¿Ven que aquí hay productos?
Estamos integrando esos productos pero, no hemos hablado de la derivada del producto
aún y cuando yo sé que ya la han visto, creo que es
momento de que en nuestro próximo video la consideremos un poco ¿no?,
ese tipo de expresiones con productos y cocientes de funciones que también tienen
mucho que ofrecernos desde el punto de vista del cálculo diferencial.
