那么我们如果在实验室希望在一小的区域里面能够得到一个均匀磁场
那你像我们中学告诉你都是均匀磁场中如何如何,
那么这均匀磁场怎么得来呢?是不是都要在无限长螺线管
里边去做实验?那么你想这个无限长螺线管对你来讲
你什么情况算无限长?如果螺旋管很长
比较细,然后你把东西从一头伸快伸到中间 那也不太好观察。所以实验室非常需要一个
局域的,而且呢又比较可以有利观察实验的这么一个区域
有这样一个装置如果能来产生均匀磁场那是最好
那么我们说呢下面一个问题就是亥姆霍兹线圈 就可以提供这样一类的磁场
这个呢装置很简单,我们刚才说要无限长
很多很多那个线圈密绕拼在一起可以得到一个无限长螺线管,现在呢
这个装置就两闸 两闸同样的电流然后半径是r的线圈
它呢就可以呢制造出一个局与区域里面是均匀的磁场
我们来看一下。那么为什么呢?我们 当然现在也只能用轴线上的磁场来说明
如果对于一个单匝线圈那么它的轴线上的磁场
基本上是这样一个分布,就按这个结果我们去画出
它的曲线来,是这样的一个,峰值是这么样,在中心
两边越来越少,那么每一线圈的磁场分布都是这样的
然后我把两个线圈同轴的去叠加在一起
它们之间距离啊如果相对大一些
那么叠加了以后轴线上的磁场呢叠加玩了以后的比
会出现一个安点,这是不是在数学上叫安点,是吧? 是不是啊?那么如果它
挨得比较近,啊,那么就会出现一个什么啊,峰值
那么也就说你这个两个线圈单匝线圈的磁场叠加起来
可能有个极小值也可能有个极大值 啊,但是如果我把这两匝线圈凑的刚好
因为极大和极小之间总有一个什么啊
一个是你们按求极值应该这叫什么啊,还记得吗数学上说
我数学上求极值把这函数求极值怎么求啊?
讲过吗?求极值怎么求啊?求导数吧
一阶导数等于0有极值,二阶导数等于0怎么样 啊,那就说它有一个什么啊,有一个过渡
你就可以二阶导数大于0如何小于0如何一定有一个等于0 等于0是什么啊,就是这个切线为0
对吧?是切线是水平的。这个就是数学里求极值的方法我们用到这里来
我们把轴线上的两个线圈的磁场叠加起来,我们就看轴线
那么我们可以说一对间距等于半径的 同轴载流圆线圈可以构成一个亥姆霍兹线圈
那么为什么它的间距要等于半径呢?
这就是求极值求来的。所以下面的事情啊物理上讲我觉得
载流线圈的磁场按同一个坐标下 写出来叠加在一起构成一个函数
这是物理上的,下面事情都是数学 所以你们一定要知道,我是物理上不明白还是数学上不明白
数学上不明白回去补数学 把数学搞明白了这也搞明白了,所以我们可以看看这就是
它的用处很简单可以用来在磁场范围不太强的时候
常常用来产生均匀磁场,那么我们的命题就是证明
这些线圈在距离为a的地方,就是两个距离是a 的时候 中心区产生磁场是最为均匀的
就是这个啊,那么我们只要把两个单匝的线圈轴线上的磁场去叠加
那么去求极值,书上99页写着呢,我呢再给你们 叙述一遍,你们自己回去推一遍。
好,那么我们怎么写呢? 这两个线圈各自在自己中心写磁场很容易
但是如果你统一一个坐标,那么就要取这两个中心的位置作为原点
那么于是呢这个x就不再是简单的x了,就是一个
要么x+a/2还有一个是减a/2 所以你把b1
b2都是在 两个线圈距离的中心位置相对于这个坐标下来写的
这是第一,那么写出来很容易叠加 然后呢求导,很简单啊
求一阶导数,求吧。这个大家都会算自己去算啊
求了一阶导数已经挺复杂了 那么再去求二阶导数
啊,再求二阶导数
再求,就是烦一点,但是总
没有热血里面求偏来偏去烦吧?啊,你们在热学里热力学啊
二元函数求了一阶导数还求二阶导数偏 偏到最后自己偏糊涂了偏x偏y常常要算错
但是这是对你们计算功底最好的训练,一定得偏对
啊,否则的话你以后对自己的计算结果不相信就有问题,要建立对自己计算
有信心的系统。啊我给你们说,有一年我教到一个
启东中学的一个物理竞赛的学生我到现在都记得那学生叫毛伟
启东中学的,他是一个,后来得了国际的女生金牌嘛
她,我给她们上热学啊,她发烧
发烧考试,结果人家发烧考试还考100分
我站在旁边我看她,因为她发烧我很注意她,脸涨的通红,但是人家做题的时候 一步一步特别清楚
做完了以后用另一种办法再一步一步核对,用两种办法核对最后正确
你改她卷子挑不出毛病,这就是习惯 啊,这是一个非常好的习惯
所以我们学习当中要养成好的学习习惯和计算习惯 有的,我们有好多同学都是毛毛躁躁毛毛躁躁我知道了我知道了结果都算的不对
这个要好好养成习惯,好习惯对你的成功是一个助推器
这特别的重要啊。好那么我们再做二阶导数
最后让x=0的地方db
dx等于0。那么这时候是最均匀的因为x=0是
两个线圈中心这个位置,所以我们说在o点附近磁场最均匀
它的条件,虽然求导很复杂,但是 两阶导数x=0的地方
这个表达式很容易,最后得到的结果也是很简单 很简单,A等于±r
那么当然在这中间把负的去掉 所以我们说最后我们得到的a=r就是两个线圈中间的距离是r
是r,那么这个就是亥姆霍兹线圈 一般来讲亥姆霍兹线圈中心附近达80%左右
我们原来做过一个软件,西安交大的老师就拿那个电动力学
去算过,因为我们现在给的这个只是轴线上的磁场,非轴线上的磁场计算是比较麻烦的
所以呢他们把扩展到非轴线上的磁场 最后算出来叠加出来一个区域是80%左右的区域
是均匀的,所以我们实验室里都应该有这种亥姆霍兹线圈,你一般在做均匀磁场的实验的时候
这个就可以给你提供很大的方便,又好观察。所以这个作为一个例子
跟大家讲一下。所以说我们对前面几道例题做个总结
用iii定律加上叠加原理求磁感应强度
原则上讲远远地不止这一点
但是这几个例题是一个基础 我们说原则上iii定律
再加上叠加原理可以求任何载流导线在空间某一处的B,原则上
但实际上是不是都能求呢? 也不一定。因为我们所有的武器有限,所以
说呢实际上呢只在电流分布具有一定对称性,能够判断磁场方向
并且可以简化为标量积分的时候才容易求解
啊,所以我们能求的东西也是有限的 但是已经可以求一部分了,啊
那么这里边我们通过几个例题我们都可以看到
为了完成积分需要利用几何关系,需要统一积分变量
这个里边统一积分变量比求电场更
麻烦一点。但是这是必须的,三角函数啊
几何啊,微分啊,积分啊全都要用上
所以你们过去积累的东西在这里都要表现出来
哪有漏洞,自己去补,查数学手册 查了以后把这些漏洞给它补上就完了,好
那么一些重要的结果应该牢记备用 比如说无限长载流导线
距离为a的地方的磁感应强度,无限长螺线管中心轴线上的磁场
这些都应该记住,因为以后还是很有用的
那么另外我们还可以看到,如果对称性有所削弱 求解呢就会比较困难
比如说这个是单匝线圈轴线上一点的磁感应强度
那么如果你要求的是偏离轴线一点的磁感应强度
那就是电动力学的问题,求出来它也不是一般的简单的函数
是球鞋,就是那个椭圆函数
就是一个特殊函数。所以说
稍微对称性有所削弱,求解会困难得多。所以我们目前让你们求轴线上一点
那偏离轴线的有的在竞赛的题里说
偏离一点,它用什么磁高斯定理去做,那是偏离一点点
假定这个小范围里边磁场还是均匀的,那么还可以用,所以呢总是来讲
对称性对于我们求不求的出积分来讲很重要
对于圆电流非轴线上一点的磁场要借助特殊函数才能求解啊,还有
我们讲的逻辑忽略,那么逻辑如果不可忽略
螺线管的电流既有环向分量又有轴向分量,如果除去密绕条件
更复杂,这种问题我们可以在习题课上进一步讨论一下
所以总之呢我们现在遇到的问题还是简单。
好这个是关于iii定律加上它的应用我们就讲到这。