0:00
На примере следующей задачи рассчитаем основные динамические характеристики,
теперь для случая твердого тела.
Задача следующая.
Цилиндр радиуса R, массы m катится
без проскальзывания по горизонтальной плоскости таким образом,
что скорость его геометрического центра, точка O, задана и равна V0.
Необходимо найти положение, центр масс для цилиндра,
момент импульса относительно центра масс,
момент импульса относительно точки A, где точка A на одной линии со скоростью,
импульс пропустили и кинетическую энергию для цилиндра при его движении.
Давайте начнем с самого начала.
Найдем радиус центра масс.
По определению, радиус от точки O до центра масс
вычисляется по следующей формуле: 1/m всего твердого
тела ∫ от радиус-вектора от точки
O до произвольной точки с массой dm и проинтегрировать нужно по всему цилиндру.
Что мы видим для нашего цилиндра?
Что для любой точки в нижней половине цилиндра у нас
всегда есть симметричная ей точка с такой же массой в верхней половине цилиндра.
А значит, в силу симметрии этот интеграл равен нулю.
Что это означает?
Что центр масс для цилиндра совпадает с геометрическим центром цилиндра.
То есть точка C совпадает с точкой O.
Теперь, чтобы вычислить импульс цилиндра,
необходимо массу цилиндра умножить на скорость центра масс.
Теперь мы знаем, что точка O — это центр масс цилиндра,
поэтому импульс цилиндра — это масса цилиндра умножить на скорость
точки O — импульс нашли.
Теперь, момент импульса.
Момент импульса в случае, если мы вычисляем его для точки центра масс,
либо неподвижной точки мгновенно, вычисляется по формуле: момент инерции
относительно этой точки, относительно оси, проходящей через эту точку,
параллельную угловой скорости, на вектор угловой скорости.
На примере следующих задач, мы покажем, что момент инерции цилиндра относительно
центра масс для оси, проходящей параллельно вектору ω, равен mR² / 2.
Угловую скорость для цилиндра мы тоже уже умеем вычислять.
В проекции на ось x и на ось y она равна нулю,
в проекции на ось z она равняется минус скорость точки O,
которая является центром масс, разделить на радиус цилиндра.
Если подставить в формулу для момента импульса относительно точки C,
то получим, что момент импульса относительно точки C равен
00 − m RV0 / 2.
Теперь нужно найти момент импульса относительно точки A.
По теореме о переносе полюса момент импульса относительно точки A вычисляется
таким образом: как момента импульса относительно центра масс плюс импульс
системы умножить на радиус-вектор от точки C к точке A.
Что мы наблюдаем для нашей картинки?
Что импульс и радиус-вектор от точки A к точке C,
где точка C у нас вообще совпадает для геометрии с точкой O,
это слагаемое равно нулю.
Поэтому получаем, что момент импульса относительно
точки A равен моменту импульса относительно точки C.
Момент импульса мы нашли и осталось вычислить кинетическую энергию.
Кинетическую энергию давайте вычислим по формуле Кёнига, по теореме Кёнига.
Кинетическая энергия — это 1/2 масса всего цилиндра
* скорость центра масс в квадрате плюс 1/2 момент инерции
относительно центра масс умножить на угловую скорость цилиндра в квадрате.
У нас все эти величины уже найдены, нам осталось только подставить.
Давайте подставим: 1/2 масса на скорость точки O,
так как точка C совпадает с точкой O, плюс 1/2,
момент инерции — это mR² / 2 и умножить на квадрат угловой скорости.
Это V0² / R².
Преобразуем выражение и получим ответ, что кинетическая энергия
равна 3/4 масса цилиндра на скорость центра масс в квадрате.
В результате, мы для нашего твердого тела получили основные динамические
характеристики: импульс, момент импульса и кинетическую энергию.
Спасибо за внимание!
Задача решена.
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
