В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Задача о равнодействующей системы переносных сил инерции для стержня, вращающегося вокруг вертикальной оси
Loading...
来自 莫斯科物理科学与技术学院 的课程
Динамика
9 评分
从本节课中
Основные теоремы динамики
与讲师见面
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Решим следующую задачу.
Есть стержень массой m, стержень однородный, длины l, и известно,
что он вращается вокруг вертикали с угловой скоростью ω константа.
Необходимо доказать,
что для сил инерции, сил переносных, действующих на этот стержень,
существует равнодействующая и необходимо найти точку ее приложения.
Как мы это будем делать?
Для начала, так как у нас неинерциальная система отсчета, то давайте ее введем.
Что за неинерциальная система отсчета?
Это система отсчета, которая вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикали.
То есть ось y направлена всегда вертикально вниз, а ось x лежит
в той же плоскости, что и стержень, и ось y.
Эта система вращается с угловой скоростью ω, как мы и говорили.
Теперь, давайте выпишем силу переносную, действующую на каждую точку.
Например, выберем на стержень элемент
длины массой dm.
На эту точку действуют силы переносные
следующие: она равна минус масса этого
кусочка dm умножить на ускорение переносное этого кусочка.
[БЕЗ_ЗВУКА] При этом ускорение
переносное этого элемента массы равно осестремительному
ускорению этой точки стержня и равно
ω² * x * орт ex, и со знаком минус,
так как осестремительное ускорение направлено к оси.
В результате получаем, что сила переносная,
действующая на элемент массы dm,
равна dmω² * x * орт ex.
Действует она параллельно оси x,
и в каждой точке она равна своей величине, своему значению,
и на картинке ниже нарисовано распределение этих сил.
Видно, что величина силы зависит линейно
от расстояния от точки O до изучаемой точки.
Вы знаете, что главный вектор переносных
сил равен сумме всех сил
переносных, действующих на тело.
И вы знаете, что он равен, в свою очередь,
масса всего тела умножить на ω² умножить на x-вую
координату точки C умножить на вектор на орт ex.
[БЕЗ_ЗВУКА] Так.
Подставим теперь конкретное значение для xc, получим,
что главный вектор сил переносных — это масса на ω²
* l / 2 *sin φ * ex,
где φ — это угол между вертикалью и стержнем.
Теперь заметим,
что все силы переносные лежат в одной плоскости — в плоскости xy.
Если мы будем считать момент переносных сил относительно точки O,
то все плечи тоже будут лежать в этой плоскости xy, а это означает,
что момент переносных сил относительно точки O перпендикулярен плоскости xy.
И он перпендикулярен вектору,
главному вектору сил переносных.
То есть момент относительно точки O переносный в
скалярном произведении с силой переносной дает 0.
Что это означает?
Если скалярное произведение главного момента и главного вектора равно 0,
это означает, что система сил сводится к равнодействующей.
Нам осталось найти плечо этой силы.
Для этого необходимо вычислить момент переносных сил относительно точки O.
Давайте вычислим момент переносных сил относительно точки O.
Момент переносных сил — это интеграл по всему стержню,
векторное произведение плеча от точки O до точки приложения силы переносной
умножить векторно на элемент массы
на ω² на координату x точки приложения умножить
на ex.
Теперь, чтобы пользоваться этим интегралом,
давайте введем координату вдоль стержня.
Вдоль стержня — координата ξ.
Тогда элемент массы при помощи этой координаты выражается как
масса разделить на длину стержня на элемент длины dξ.
Давайте обозначим здесь элемент массы.
Подставим в интеграл.
Не забудем, что плечо также выражается через компоненты x и y.
И получаем следующий интеграл.
От 0 до l, так как мы уже перешли к интегрированию по стержню,
ξ cosφ, напомним,
что угол φ — это угол между вертикалью и стержнем, умножить на элемент массы,
который равен масса разделить на длину на dξ умножить на ω².
x-вая координата элемента массы — это ξ умножить
на sinφ и умножить на вектор ez,
и знак минус.
Так как в векторном произведении у нас было ey * ex, что дает ez со знаком минус.
Теперь давайте интегрировать.
Вынесем все переменные, не зависящие от параметра ξ, за знак интеграла.
Остается минус масса ω² /
l * ez * cosφ sinφ.
И под знаком интеграла остается интеграл от 0 до l, ξ² dξ.
Этот интеграл посчитать очень легко.
Получим в результате mω²
/ l * ez cosφ sinφ
l в кубе / 3.
Получим, что момент переносных сил равен минус масса
* ω² * l² / 3
cosφ sinφ ez.
Момент относительно точки O сил переносных мы нашли.
Осталось найти точку приложения.
Как найти точку приложения?
Плечо от точки O до точки приложения
при векторном умножении на главный вектор переносных
сил должно давать момент переносный относительно точки O.
Отсюда, подставив все найденные выражения, вы можете получить,
что OX = 2/3 от длины стержня, 2/3 l.
То есть равнодействующая сил переносных приложена на расстоянии
2/3 от длины стержня.
Таким образом.
И этот факт вы могли получить, и исходя из того, что силы
переносные распределены по стержню по треугольнику, то есть по линейному закону.
Где находится центр масс у треугольника?
Как раз на расстоянии 2/3 от вершины, от точки O, если вычислять.
И для того чтобы найти центр масс треугольника,
вы бы на самом деле посчитали точно такой же интеграл,
как мы вычисляли здесь для получения момента внешних сил относительно точки O.
В результате, что мы получили?
Мы нашли главный вектор сил переносных, мы нашли момент
переносных сил относительно точки O и нашли точку приложения
равнодействующей и доказали, что система сил сводится к равнодействующей.
Задача решена.
Спасибо за внимание.
