Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
8.1.7. Множественность решений уравнения AR(1) процесса [+доска]
Loading...
来自 国立高等经济大学 的课程
Эконометрика (Econometrics)
303 评分
从本节课中
Стационарные временные ряды
Даты, встаньте в ряд! :)
与讲师见面
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
Следует отметить один важный момент.
Из одного только уравнения yt = 2 + 0,5yt
– 1 + εt автоматически стационарность никак не следует и не выводится.
На самом деле давайте на примере поймем, что это уравнение,
у которого есть бесконечное количество решений.
Давайте подчеркнем на примере, что на самом деле,
записи, что yt = 2 + 0,5yt – 1 + εt вовсе не достаточно для того,
чтобы утверждать является ли этот процесс стационарным или нет.
А именно, надо рассматривать вот эту запись как уравнение,
то есть, ну на самом деле даже много уравнений для любого t.
Но на самом деле это всего лишь уравнение, у которого есть много разных решений.
Часть этих решений стационарная, а часть этих решений нестационарная.
Например, возьмем, например, y0 = 0.
Вот как такая особая случайная величина, которая равна нулю, константа,
случайная величина константа.
Соответственно, что я получу по этой формуле?
Что y1 = 2 + 0 + εt2 + εt.
Да, а εt у нас будет белый шум, и, соответственно,
для удобства расчетов давайте считать, что он будет нормальным с
нулевым математически ожиданием и единичной дисперсией, уточним максимально.
Соотвественно, y2 будет равен 2 + половина от
этого 2 + (1 тут
вот единичка + 0,5ε1) + ε2.
И так далее.
И соответственно, что у нас будет получаться?
Что y1 имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 2,
а дисперсия такая как у ε1, а у ε1 дисперсия 1.
А в данном случае я вижу, что математическое ожидание от y0 = 0,
дисперсия от y0 = 0.
То есть y1 у него уже другое математическое ожидание и другая
дисперсия, хотя подчиняется этому уравнению.
А y2, соответственно, будет распределен нормально,
математическое ожидание накопится 3,
а дисперсия будет определяться ε.
Соответственно, дисперсия y2 — это будет
дисперсия ε2 + 0,5ε1 и
это будет 1 + 0,25,
квадрат 1/2,
соответственно, будет получаться 1,25 и так далее.
Получается, что хотя y0, y1, y2,
y3 и так далее удовлетворяют этому уравнению,
однако это явно процесс нестационарный.
У него меняются и математическое ожидание: сначала 0, потом 2,
потом 3, и дисперсия: сначала 0, потом 1, потом 1,25,
и поэтому данное решение, вот это вот,
это начало решения этого разностного уравнения, оно не является стационарным.
Однако, у этого процесса, у этого уравнения, точнее,
есть и стационарное решение.
Давайте его найдем.
Ну мы знаем, что если предположить, что оно стационарное,
то мы знаем, что получается, что математическое ожидание от yt = 4,
а дисперсия yt мы получаем,
что это 4/3 помножить на дисперсию εt,
ну в нашем случае это 4/3 просто на единичку.
Соответственно, если я предположу,
что y0 имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 4
и дисперсией 4/3 и не зависит от ε1,
ε2 и так далее, то у меня все начнет совпадать.
Смотрите, y1 будет равняться
2 + 0,5 * y0 + ε1.
Чему будет равно математическое ожидание от y1?
Математическое ожидание от y1 будет 2 +
0,5 на математическое ожидание от y0
и это будет равняться 2 + 0,5 * 4, это будет 4.
Чему будет равняться дисперсия y1?
Дисперсия y1 будет равняться 0,25 дисперсии
y0 + дисперсия ε1.
И это будет равняться 1/4 * 4/3 + единичка будет получаться 4/3.
Отсюда я получаю, что y1 тоже нормально распределено с
математическим ожиданием 4 и дисперсией 4/3.
И если я применю эту же самую формулу только со сдвигом на 1 по времени,
то есть я напишу, что y2 = 2 + 0,5 * y1 + ε2.
То по аналогии, воспользовавшись тем, что я уже знаю результат про y1,
я на выходе получу результат, что y2 тоже нормален с
математическим ожиданием 4 и дисперсией 4/3.
И стало быть я получаю следующий вывод, что в этом
разностном уравнении на самом деле не хвататет какого-то начального условия.
И если взять одно начальное условие, например взять y0 = 0,
то получится нестационарный процесс, у которого
математическое ожидание сначала 0, потом 2, потом 3, да и дисперсия тоже меняется.
А если взять некое особое решение этого разностного уравнения,
а именно: взять y0 нормальную случайную величину с математическим ожиданием 4 и
дисперсией 4/3, то y1 выйдет с таким же математическим ожиданием
и такой же дисперсией, y2 выйдет с таким же математически ожиданием и
такой же дисперсией, и окажется что получится стационарное решение.
Естественно, у этого процесса есть и другие решения.
Я могу, например, взять и сказать, что y0 — это
χ квадрат распределение с 15-ю степенями свободы, независимое от будущих ε,
и получить еще одно тоже нестационарное решение этого разностного уравнения.
То есть мысль состоит в следующем: это разностное уравнение,
у которого много разных решений, среди которых много очень нестационарных,
но вот можно найти и стационарное.
