0:12
А сейчас мы на примере разберем ситуацию,
когда две величины: q — количество товара и p — цена товара,
определяются одновременно.
И посмотрим, как ведет в таком случае себя оценка метода наименьших квадратов.
Итак, предположим, что у нас есть qi.
Давайте, скажем, для определенности, что это — логарифм количества,
чтобы он мог быть свободно отрицательным, и нас это никак не волновало.
pi — это логарифм цены товара.
И предположим,
что у нас эти две величины определяются одновременно из системы уравнений.
Одна система уравнений задает нам функцию спроса,
то есть у нас qi = 3 − pi + εi.
И предложение: у нас qi
= 3 + 2pi + ui.
И, соответственно, мы сделаем какие-то предпосылки, что εi и ui,
эти ошибки, они нормально распределены, стандартно,
то есть с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 и независимы друг от друга.
И в такой модели, где две величины: количество товара и цена определяются
одновременно из системы уравнений, мы зададимся вопросом — а что будет, если...
Что будет, если оценить
модель методом наименьших квадратов
и оценить модель qi с крышечкой = β1 с
крышечкой + β2 с крышечкой на pi.
Вот эти коэффициенты — β1 с крышечкой и β2 с крышечкой,
они будут похожи на 3 и (−1) или на 3 и 2.
Что оценит?
Такой простой подход — применить метод наименьших квадратов к q и p.
Ну давайте разберемся.
Если у меня q и p определяются одновременно из системы уравнений,
то я просто могу решить эту систему уравнений относительно q и p.
Ну, действительно, например,
можно так по-школьному совершенно взять сложить два уравнения.
Нет, не сложить лучше, первое домножить на 2 и прибавить ко второму.
Получится 2qi = 6 − 2pi + 2εi,
и я прибавлю qi = 3 + 2pi + ui.
Ну, естественно, я так специально подбирал коэффициенты, чтобы у меня pi сократились,
получится 3qi = 9 + 2εi + ui.
И отсюда qi
= 3 + 2εi
+ ui, деленное на 3.
И аналогичным образом мы можем найти pi, чему равняется pi.
Соответственно, pi = Ну,
например, можно из первого уравнения перенести pi налево,
qi — направо и сказать, что это — 3 − qi
+ εi и = из 3 вычитаем,
получаем εi − 2εi +
ui на 3 = εi
− ui, деленное на 3.
Что мы видим в этом выражении?
Мы видим, во-первых, что если я хочу оценить спрос,
ну, например, хочу оценить функцию спроса,
то ничего хорошего, если я буду применять mnk, у меня не получится.
Почему?
Потому что имеет место эндогенность.
Действительно, регрессор pi, это εi − ui, деленное на 3.
Если я оцениваю уравнение спроса, то регрессор,
видно, что он коррелирован с ошибкой.
Здесь εi есть, и здесь εi есть, поэтому можно увидеть,
что ковариация pi и εi, она не равна 0.
Ну и, соответственно, что же все-таки произойдет?
Ну мы знаем, что β2 с крышкой в методе наименьших квадратов в линейной модели,
это — выборочная ковариация между x и y, то есть между вектором q и вектором p,
делить на выборочную дисперсию вектора объясняющей переменной, это вектор p.
Соответственно, при росте числа наблюдений,
при большом количестве наблюдений, я получаю ковариацию между qi и pi,
и делить надо на дисперсию pi.
И, соответственно, все это не трудно посчитать,
поскольку у меня есть явное выражение для qi и pi.
В числителе мы имеем ковариацию между 2εi + ui на
3 с εi − ui на 3.
А в знаменателе у нас получается
дисперсия εi − ui на 3.
И, соответственно, здесь мы легко можем посчитать каждую из этих величин.
Дисперсия разности равна сумме дисперсий, поскольку εui и ui у нас
предполагаются независимыми, мы в знаменателе получаем
1/9 помножить на 1 + 1.
И в числителе мы смотрим, кто дает ковариацию.
Ну, во-первых, 1/3 можно вынести из первой случайной величины,
1/3 можно вынести из второй случайной величины, у нас тоже получится 1/9.
Ну и здесь давайте посмотрим: Два εi с εi даст ковариацию: 2.
ui с (− ui) даст ковариацию: (− 1).
εi c ui даст ковариацию: 0 и 2εi с (−
εi) тоже даст ковариацию: 0, по условию они независимы.
Ну, на 1/9 можно благополучно сократить, и получится 1/2.
Соответственно, мы видим,
что если применить метод наименьших квадратов к регрессии q на p,
то получится какой-то павлино-утко-еж, вот этот коэффициент
β2 с крышкой с ростом количеством наблюдений он будет стремиться к 1/2.
И он не похож ни на (− 1),
что давало бы нам уравнение спроса.
И не похож на 2, что давало бы нам уравнение предложения.
И, соответственно, мы видим в данной задаче, что имеет место эндогенность,
а именно наличие ковариации между pi и εi,
и эта эндогенность приводит к тому, что я не могу, применив метод mnk, получить
состоятельную оценку для уравнения спроса или для уравнения предложения.
Boris DemeshevSenior Lecturer
