Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
5.1.2. Условная гетероскедастичность [доска]
Loading...
来自 国立高等经济大学 的课程
Эконометрика (Econometrics)
302 评分
从本节课中
Гетероскедастичность
В древнерусском Разноразбросие :)
与讲师见面
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
Рассмотрим другой закон совместного
распределения ошибок ε и регрессоров x.
Случай B.
Случай B.
Опять же у нас есть пара ε₁ x₁ и ε₂ x₂.
Совместный закон распределения пары случайных
величин ε₁ x₁ мы задаем следующей табличкой.
x₁ принимает значения 1 и 10, ε₁ принимает те же самые значения,
-10, -1, 1 и 10, а вероятности на
этот раз равны 0, 1/4,
1/4, 0, 1/4, 0, 0 и 1/4.
Как и положено, сумма всех вероятностей равна 1, то есть что-то да произойдет.
С вероятностью 1/4 x₁ оказывается равным 1, а ε₁ в это время – -1.
И я опять предполагаю независимые одинаковые распределенные наблюдения,
поэтому закон распределения связки ε₂ x₂, этой пары, будет точно такой же.
Давайте я его даже не буду дублировать, а напишу здесь просто то же самое.
1 и 10.
И меня интересуют те же самые вопросы: имеет ли здесь место условная
гетероскедастичность, имеет ли здесь место безусловная гетероскедастичность?
То есть нужно посчитать для этого следующие вспомогательные
характеристики: условное математическое ожидание,
условное математическое ожидание квадрата ε при фиксированном x,
условную дисперсию ε₁ при фиксированном x,
безусловное математическое ожидание ε₁ и
безусловную дисперсию ε₁.
Опять же в силу того, что закон распределения пары ε₂, x₂ точно такой же,
как закон совместного распределения пары ε₁ x₁, то поэтому аналогичные
характеристики для ε₂ будут полностью совпадать с характеристиками для ε₁.
Ну, а теперь давайте посчитаем.
Опять же, чтобы посчитать условное математическое ожидание,
рассмотрим все возможные значения x₁, которые могут быть.
Соответственно, какие значения может принимать ε₁,
если известно, что x₁ = 1, а внизу напишем вероятности.
Вероятности.
Если x₁ = 1, то ε₁ может принимать значения,
равные, вероятно, -1 и 1; 10 и -10 невозможны.
Соответственно, ε₁ принимает значения -1 и 1,
а поскольку сумма всех вероятностей должна в табличке выходить на 1,
то здесь мы масштабируем так, что вероятности оказываются 1/2 и 1/2.
И, стало быть, математическое ожидание от ε₁ при условии,
что x₁ = 1, равно -1*1/2 + 1*1/2 = 0.
Аналогично считаем условные законы распределения ε₁ при условии, что x₁ = 10.
На этот раз ε₁ принимает значения
-10 и 10, судя по второй строчке исходной таблички.
И значения были 1/4 и 1/4, но мы масштабируем их так,
чтобы сумма вероятностей равнялась 1, значит, получается 1/2 и 1/2.
И математическое ожидание от ε₁ при условии, что x₁ = 10,
тоже оказывается равным -10*1/2 + 10*1/2 = 0.
Соответственно, мы получаем, что если мы знаем x₁, то неважно,
знаем ли мы, что x₁ = 1 или знаем ли мы, что x₁ = 10,
вне зависимости от этого получается,
что наше мнение, то есть условное среднее ε₁ при условии,
что я знаю x, вне зависимости от того, что я знаю про x, оказывается равным 0.
Соответственно, мы посчитали первое условное математическое ожидание.
Теперь считаем условное математическое ожидание ε₁ в квадрате, если я знаю x₁.
Опять же возможно 2 варианта.
Чему равно ε₁ в квадрате, если я знаю,
что x₁ = 1, а тут вероятность.
Если x₁ = 1, то возможен только вариант, что ε₁ в квадрате равно 1.
ε₁ в квадрате равно 1.
И вероятность этого равна 1.
Стало быть, математическое ожидание от ε₁ в квадрате,
если я знаю, что x₁ = 1, равно 1.
Второй случай.
Что я могу сказать про ε₁ в квадрате, если я знаю, что x₁ = 10?
Чему равно ε₁ в квадрате?
Но если я знаю, что x₁ = 10, то ε₁ равно либо -10, либо 10.
Соответственно, ε₁ в квадрате равно 100,
и вероятность этого события равна 1.
Соответственно, математическое ожидание от ε₁
в квадрате при условии, что x₁ = 10, равняется 100.
Здесь мы видим, что на этот раз появилась зависимость.
Разная информация об x₁ приводит
к разному математическому ожиданию, условному ε₁ в квадрате.
И мы можем это кратко записать в виде одной компактной формулы,
что математическое ожидание от ε₁ в квадрате, если я знаю x₁.
Ну, видим, что когда мы знаем, что x₁ = 1, получаем 1.
Когда знаем, что x₁ = 10, получаем 100.
Можно записать это в виде компактной формулы, например, как x₁ в квадрате.
Поскольку случайная величина дискретная, здесь, конечно, однозначного ответа нет,
и можно придумать много вариантов, ну, пожалуй, вот этот самый простой.
Переходим к условной дисперсии.
Что такое условная дисперсия
ε₁ при условии x₁?
Условная дисперсия ε₁ при условии x₁ – это есть математическое
ожидание от ε₁ в квадрате при условии x₁, минус квадрат математического ожидания.
То есть сначала считается математическое ожидание, потом возводится в квадрат.
Поскольку у нас уже все посчитано, первое – это x₁ в квадрате,
второе – это 0 в квадрате, мы получаем, что это x₁ в квадрате.
Найдем безусловное
математическое ожидание и безусловную дисперсию.
Безусловное математическое ожидание от ε1.
Можно внутри без каких-либо последствий написать лишнее взятие условия.
Математическое ожидание от ε₁ при условии x₁, стало быть,
это математическое ожидание от 0, и это есть 0.
И аналогично мы поступаем с безусловной дисперсией.
Безусловная дисперсия ε₁ равняется дисперсии
условного математического ожидания
плюс математическое ожидание от условной дисперсии.
Поскольку вспомогательные объекты у нас уже посчитаны,
то это дисперсия 0 плюс математическое ожидание от x₁-квадрат.
Ну, дисперсия константы, в том числе и 0, равна 0,
и осталось математическое ожидание от x₁-квадрат.
Ну, давайте посмотрим, чему оно равняется.
Нарисуем маленькую табличку,
какие значения может принимать переменная x₁ в квадрате.
x₁ может принимать значения либо 1, либо 10.
Стало быть, x₁ в квадрате может принимать значение либо 1, либо 100.
А какие вероятности?
Вероятность того, что x₁ = 1,
это 1/4 + 1/4, это 1/2.
И вероятность того, что x₁ = 10, именно в этом случае x1 в
квадрате будет равно 100, она равна 1/4 + 1/4 = 1/2.
Стало быть, математическое ожидание от x₁ в квадрате – это 1*1/2
+ 100*1/2 = 50,5.
Соответственно, мы нашли, что безусловное
математическое ожидание ε₁ = 0 и безусловная дисперсия равно
50,5 Поскольку закон распределения пары ε₂,
x₂, то все аналогичные характеристики для ε₂ и x₂ полностью совпадают.
Что мы в результате получили?
С одной стороны, мы видим, что у нас имеет место условная гетероскедастичность.
Мы видим, что дисперсия ε₁,
если я знаю x₁, не равна константе.
В нашем случае это есть функция от x₁, это есть x₁ в квадрате.
Это условная, условная гетероскедастичность.
Однако если я смотрю на безусловные характеристики,
то безусловная дисперсия ε₁ равна 50,5 и,
соответственно, равна автоматом безусловной дисперсии ε₁.
И, стало быть, у нас имеет место
безусловная гомоскедастичность.
