Эконометрика – наука, позволяющая исследовать закономерности в реальных данных. К концу курса мы научимся отвечать на два вопроса. Как одна переменная, y, зависит от другой переменной, x? Как спрогнозировать переменную y? Мы будем подробно изучать линейные регрессионные модели, рассмотрим наиболее частые отклонения от предпосылок классической линейной регрессии. Изучим базовые модели (логит и пробит) для качественных зависимых переменных. Наряду с теоретической основой мы будем работать с реальными данными, используя статистический пакет R. Необходимые знания: Теория вероятностей и математическая статистика. Линейная алгебра опционально.
9.1.6. Метод инструментальных переменных [+доска]
Loading...
来自 国立高等经济大学 的课程
Эконометрика (Econometrics)
301 评分
从本节课中
Эндогенность
Проблема, которую можно найти почти во всех исследованиях :)
与讲师见面
Boris DemeshevSenior Lecturer
Department of Applied Economics
Одним их возможных решений проблемы
эндогенности является использование так называемых инструментальных переменных.
Итак, мы хотим оценить состоятельно коэффициент β2 в модели,
представленной в следующей форме: yi = β1 + β2xi + β3di + εi.
И у нас нарушена одна из предпосылок, а именно: есть эндогенность,
то есть есть ковариация ну, скажем, между xi и ошибкой εi.
Соответственно, один из возможных выходов состоит в нахождении
специальной новой так называемой «инструментальной» переменной zi.
Это новая «инструментальная» переменная zi,
— она должна обладать двумя принципиальными свойствами: во-первых,
она не должна быть коррелирована с ошибкой εi и, во-вторых,
она должна быть связана, то есть коррелирвана с проблемным регрессором,
который связан с ошибкой, то есть Cov(zi, xi),
наоборот, нулю равняться не должна.
Соответственно, как использовать эти самые инструментальные переменные?
Их использование не просто подмена и регрессия y
на z и d вместо регрессии y на x и d, — использование чуть-чуть сложнее.
Итак, у нас есть модель: yi = β1 + β2xi + β3di
+ случайная ошибка εi, и эта случайная ошибка коррелирована с x.
Соответственно, мы построим не одну регрессию,
мы построим две вспомогательных регрессии.
Метод называется: двухшаговый метод наименьших квадратов,
или метод инструментальных переменных.
На первом шаге мы построим регрессию проблемного регрессора,
— в нашем случае x, — на инструментальную переменную,
то есть мы построим регрессию xi на zi.
И из этой регрессии мы получим спрогнозированные значения x,
— xi с крышечкой.
Это обычные прогнозы, полученные обычным методом наименьших квадратов.
И на втором шаге мы оценим ещё одну модель,
а именно: мы оценим исходную модель, в которой вместо регрессора xi мы будем
использовать прогнозы из регрессии предыдущего шага, то есть xi с крышечкой.
То есть в данном конкретном примере мы построим регрессию yi
= β1 + β2xi с крышечкой + β3di (если di не был проблемным регрессором,
не был коррелирован с εi, то ничего с ним менять не надо) плюс,
соответственно, новая ошибка ui.
И мы тут получим новые оценки коэффициентов.
Естественно, эти оценки коэффициентов, — они, поскольку получены двухшаговым
методом, — они не совпадают просто с оценками метода наименьших квадратов,
и эти новые оценки называются оценками инструментальных переменных,
то есть мы получим новые β1 с крышечкой, β2 с крышечкой, β3 с крышечкой.
Соответственно, мы используем слова «метод инструментальных
переменных» или «двухшаговый метод наименьших квадратов» как синонимы,
и оценки иногда называют β с крышкой 2OLS, ordinary least squares,
либо их называют β с крышкой instrumental variables, то есть метод,
оценки метода инструментальных переменных: это для нас абсолютные синонимы.
Давайте на примере посмотрим,
что произойдёт в случае применения оценок метода инструментальных переменных,
или оценок метода двухшагового наименьших квадратов,
к задаче парной регрессии, а именно: оказывается, что в этом случае,
если у нас модель имеет вид yi = β1 + β2xi + εi,
то метод наименьших квадратов, его формулу мы помним, — это β2 с крышкой равняется
выборочная ковариация между x и y делить на выборочную дисперсию x.
А можно доказать, что оценки метода инструментальных переменных
в этом простом случае будут иметь довольно простой вид, а именно: β2 с крышкой,
полученное методом инструментальных переменных, равняется выборочная
ковариация между z и y делить на выборочную ковариацию между z и x.
Давайте на простом примере посмотрим,
как оценки метода инструментальных переменных спасут ситуацию,
то есть дадут состоятельные оценки в случае пропущенного регрессора.
Посмотрим, как наличие инструментальной переменной может помочь исправить проблему
пропущенного регрессора.
Итак, я хочу оценить модель в форме β1
+ β2xi + β3di + εi,
но di — регрессор не наблюдается,
у нас нет данных по di.
Соответственно, я могу представить эту модель в эквивалентной форме,
объявив вот эту составляющую новой ошибкой и сказав,
что yi = β1 + β2xi + ui.
И мы предположим какие-нибудь
конкретные значения дисперсий и ковариаций, то есть мы предполагаем,
что Var(xi) = Var(di)
= 9; Var(εi) = 1;
Cov(xi, di) = ‒ 6.
И мы предполагаем, что в исходной форме эндогенности не было,
то есть xi и di не были коррелированы с ε.
То есть мы предполагаем, что Cov(εi,
di) = 0 и Cov(εi,
xi) = 0.
Как мы видели, если я буду просто
использовать оценки метода наименьших квадратов в этой модели,
то мы получим несостоятельные оценки и смещённые оценки.
Давайте посмотрим, что произойдёт,
если мы будем использовать оценки метода инструментальных переменных.
Предположим, что нам нашлось каким-то чудесным образом найти zi,
инструментальную переменную,
при этом эта самая zi как инструментальная переменная
коррелирована с xi, и пусть эта корреляция равна 1.
Однако эта инструментальная переменная zi некоррелирована с ошибкой,
то есть с ui, — эта корреляция равна 0.
Ну давайте посмотрим.
β2 с крышкой метода инструментальных переменных
выглядит как выборочная ковариация между z и
y делить на выборочную
ковариацию между z и x.
В силу уже применявшегося закона больших чисел,
закон больших чисел утверждает,
что это стремится к ковариации zi и yi делить
на ковариацию между инструментальной переменной и xi.
Подставим yi и получим, что это есть ковариация
между zi и β1 + β2xi
+ β3di + εi
делить на ковариацию
zi и xi.
И смотрим: наша инструментальная переменная zi
некоррелирована c ui, по условию.
Вот это есть не что иное, как ui.
И константа β1 тоже никак не влияет на ковариацию.
У нас в числителе, таким образом, остаётся
β2 помножить на ковариацию zi с xi
и в знаменателе у нас находится ковариация zi с xi.
И мы видим, что, собственно, вне зависимости от этих показателей,
чему равнялась дисперсия, чему равнялась конкретно дисперсия ε,
какая конкретно была ковариация, главное, чтобы она не была нулевая,
мы получим, что результат в пределе равен β2.
То есть с введением и использованием инструментальной переменной
мы получили способ
состоятельно оценить неизвестный коэффициент β2.
