0:00
В качестве примера вычисления индуктивности, рассмотрим систему с тором.
Это вот такой вот бублик, так сказать свитые провода,
которые навиты на некоторый сердечник, либо воздушный,
либо металлический и представляют собой вот такую вот бубликообразную конструкцию.
Значит радиус вот этого бублика R, мы будем считать,
что он много больше чем r, где r — это радиус одного вот такого вот колечка.
Такое соотношение упростит наше вычисление и кроме того,
мы будем пренебрегать разницей между внутренней частью тора и внешней,
и просто считать, что есть вот некоторое центральное такое вот колечко радиуса R.
Давайте посмотрим как посчитать индуктивность.
Запишем для начала теорему о циркуляции.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Я напомню,
как она выглядит в общем виде.
[ПИШЕТ НА
ДОСКЕ] Выбираем контур,
замкнутый L и смотрим по нему циркуляцию магнитного поля H,
вот циркуляция по такому контуру равна с точностью до коэффициента 4π / C,
току протыкающему этот контур.
Значит данная формула приведена в системе СГС
и ее конкретное приложение для случая с тором, представлено выше.
Значит 2πR — это длинна вот этого контура, поле H на протяжении
всей этой линии одно и тоже у нас в силу симметрии и 4π / C NI,
NI — это суммарный ток, N — это количество витков тора.
Таким образом мы можем вычислить поле H.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] И
пользуясь связью между полем B и полем H,
сразу же посчитаем индукцию магнитного поля.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Значит еще раз, все расчеты происходят в системе СГС,
а μ — это магнитная проницаемость вот сердечника, который здесь находится.
Либо это какая то металлическая, ферритовая там или еще
какая-нибудь конструкция,
то есть какой-то металлический сердечник например, или это воздушная прослойка.
То есть, либо μ порядка 10 в третьей, либо μ единичка, если речь идет о воздухе.
Значит теперь, зная магнитное поле,
давайте вычислим поток вот этого магнитного поля через соленоид.
Что у нас получается?
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] S
* N — это полная площадь, которую протыкает магнитное поле B.
То есть φ – это суммарный поток через тор.
Учитывая, что площадь одного виточка у нас πr²,
получаем, что полный поток = B * πr² * N.
Дальше подставляем выражение для поля B и вспоминаем,
что по определению коэффициента самоиндукции может быть записано
вот такое выражение, и отсюда определяем коэффициент самоиндукции.
Выражение получится следующим.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] [ПИШЕТ
НА ДОСКЕ] Таким образом,
мы вычислили коэффициент самоиндукции для вот этого тора.
Хочу обратить внимание, что кроме геометрических размеров,
выбранных нами вот таким вот удобным образом, мы сделали еще одно приближение.
Мы сказали следующее: что если рассмотреть тор,
вот я сейчас внимательно смотрю на маленький кусочек этого тора,
то мы приняли с вами во внимание ток,
который ходит по колечку вот таким вот образом.
Но я хочу сказать, что если ток втек вот в этот кусочек тора,
то дальше он по нему тек, тек, тек и должен из него вытечь.
То есть, есть составляющая тока не только по колечку,
для которой мы все с вами посчитали,
но и вдоль образующей вот этого самого тора.
Вот такой вот составляющей тока, вот такой компонентой тока, мы с вами пренебрегли.
Ну, так сказать, более подробное рассмотрение вычисления индуктивности
выходит за рамки данного курса, и поэтому мы с вами вполне можем ограничиться
такой вот модельной ситуацией, когда рассматриваем тор как идеальный,
по которому течет только кольцевые токи и пренебрегаем вот составляющей вдоль.
Если потребуется более точный и корректный расчет, ну это тоже можно будет сделать,
а в реальной жизни, в частности, иногда реализуют и такие вот схемы намотки.
То есть возвращают провод внутри самого
соленоида ну или тора, для того чтобы как раз скомпенсировать
составляющую тока вдоль вот этого самого тора или соленоида.
Теперь посмотрим энергию, которая сосредоточена вот в торе.
Давайте запишем формулу, которая вам уже хороша известна.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Воспользуемся
полученными соотношениями и немножечко преобразуем это выражение.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ]
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] А
вот теперь давайте разделим это на следующие
множители: [ПИШЕТ НА ДОСКЕ]
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] вот такой
вот множитель [ПИШЕТ
НА ДОСКЕ] и вот такой вот множитель.
Что такое обведенное выражение?
Это — квадрат магнитного поля.
А вот эта величина — объем тора,
внутри вот такой вот выделенной части.
Внутри вот этой вот части, где собственно и сосредоточено магнитное поле.
Теперь давайте посмотрим,
как это можно записать более компактно.
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ]
[ПИШЕТ НА ДОСКЕ] [ПИШЕТ
НА ДОСКЕ] То есть мы видим,
что энергия оказывается сосредоточена в магнитном поле
и может быть представлена вот таким вот образом.
Это общий случай, то есть здесь вот частная иллюстрация этого важного,
так сказать глобального факта, что энергия находится непосредственно в магнитном
поле и объемная плотность энергии – это вот такая вот величина.
Это общий факт, а вовсе не только, так сказать,
он верен для нашего, только что разобранного частного случая,
и вот этот момент является очень важным для вычисления ну вообще энергии,
которую необходимо затратить на то, чтобы создать в некотором объеме магнитное поле.
Значит, хотелось бы обратить внимание, что если связь
между полем B и H не может быть в каком-то приближении рассмотрено как линейное,
то существует более общее выражение, получение которого выходит за рамки нашего
курса, но тем не менее, я его здесь приведу.
Значит вот выражение
для объемной плотности энергии в более общем случае,
может быть получено при помощи вот такого соотношения.
Здесь, как следует его понимать?
dB – это небольшое изменение магнитного поля,
ну которое может быть вызвано, например, небольшим изменением тока.
Это изменение приводит, так сказать, к изменению поля H и вот когда такими
маленькими шажками мы дойдем от 0 до поля B, то у нас во всем объеме будет создано
магнитное поле и его объемная плотность будет задаваться вот таким вот выражением.
В случае линейном, когда B пропорционально H,
мы будем получать с вами вот такое выражение.
Спасибо за внимание.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
