0:00
Вот еще одна задача на колебательный контур 9.27.
Давайте на нее посмотрим.
Опять надо схему сначала: емкость,
эта емкость вначале заряжена, вот здесь положительный,
отрицательный заряд, емкость C и начальный заряд у нее был q0.
Дальше надо нарисовать ключ и вот такую цепочку.
Здесь идеальный диод,
резистор с сопротивлением R и вот
здесь катушка.
Итак, это диод,
это ключ и катушка с индуктивностью L.
Вот такая цепь.
Сначала замыкают ключ.
Конденсатор был заряжен до заряда q₀.
И ключ K сначала замыкают и конденсатор начинает разряжаться.
И в момент, когда максимален ток разряда, ключ снова размыкают.
Значит первое: замыкают ключ,
ключ K, вот,
начинается разряд емкости C ну вот через эту цепочку.
Надо еще установить как все это течет.
Значит, второе: в момент I максимального,
ключ K
снова размыкают.
Вот я условия написал словами.
Какой заряд q протечет через сопротивление R?
q через
сопротивление R при этом, в этой процедуре.
Итак, еще раз повторяю.
Сначала замыкают ключ K и начинает разряжаться вот этот конденсатор C.
И в момент, когда ток разряда становится максимальным, ключ K снова размыкают.
Вот в дальнейшем какой заряд протечет через сопротивление R в этой цепи?
Ну вот все условие.
Как вот тут понимать то, что здесь нарисовано?
Понятно, что сначала, вот когда мы замкнем этот ключ,
вот я процедуру замыкания и ток
потечет только через емкость, через катушку.
Сюда он не пойдет, потому что вот здесь потенциал выше потенциала здесь.
То есть диод, а диод идеальный, он закрыт для этого тока,
как бы вот этой цепочки пока не существует, резистор отключен.
И поэтому у нас просто емкость, идеальная,
можно сказать, и катушка индуктивности L.
То есть уравнение колебаний, вот оно.
Значит уравнение колебаний, колебаний
на первой фазе решения этой задачи, что тут происходит?
q с двумя точками + (1 / LC)q для заряда = 0.
Совершенно понятно, что частота колебаний собственных 1 / LC,
это на корень из LC.
Вот что мы получили.
Ну вот, правда, надо теперь написать как бы решение этого уравнения,
вообще говоря q(t) = A косинус
ωt + B, допустим,
все таки не очень хорошо, я напишу синус ωt,
как бы более стандартно,
на B косинус ωt, вот.
И из начальных условий найду эти коэффициенты.
Итак, q(0) = 0.
Но если заряд вначале был q(0),
простите, опять ошибаюсь, q₀ вот,
начальный заряд, у нас емкость была заряжена, q₀.
То тогда, это не 0,
то тогда при t равным 0 сразу ясно, что вот B = q₀.
B = q₀, вот эта константа,
а ток равен, в смысле вот этот коэффициент A = 0,
то есть получается, что q(t) меняется
по закону q₀ косинус ωt.
Это можно было и сразу понять,
исходя из этих начальных условий, но мы вот учимся,
поэтому делаем все как-то вот последовательно, аккуратно.
Теперь напишем ток, как он меняется во времени.
Это есть q с точкой, то есть надо дифференцировать по времени.
Что у нас получается: − q₀ω синус
ωt это закон изменения тока, отсюда сразу следует,
что максимальное значение тока равно какое?
q₀ω.
Вот в этот момент ток
направлен вот сверху вниз через эту катушку,
вот в этот момент снова размыкают конденса...
этот самый, ключ.
Значит, следующий этап: размыкают ключ,
ну и в этот момент,
кстати говоря, когда ток максимален, совершенно понятно, что емкость разряжена.
Вот здесь емкость
разряжена, в этот момент.
Вот именно в этот момент потом размыкают этот ключ.
Значит, что дальше, а дальше этот ток,
он уже, поскольку мы цепь разомкнули,
он уже не может идти в эту емкость, ему деваться некуда, он идет вот через...
а здесь все готов, для того чтобы он шел через сопротивление R.
Диод, конечно, это дело пропустит, и дальше вот идет
процесс по существу затухания этого тока,
в какой же цепочке, LR цепочке.
То есть это нужно, идет ток через...
вот этот максимальный ток он дальше потихонечку затухает.
Значит, пишем этот процесс.
LI с точкой + RI = 0,
ну что я написал?
Ну можно было сразу написать,
например, − L dI / dt = чему?
RI, это правило Кирхгофа
для этого контура, включающего катушку и сопротивление.
− L dI / dt = RI, ну вот, собственно, это я и переписал вот в таком вот виде.
Ну решение этого дифференциального уравнения без проблем мы напишем.
Это будет что такое?
I(t)?
Это есть I максимальная * e в степени −Rt / L.
Я его не решаю, это прям вот, вот это решение.
Ну а заряд, конечно, надо находить интегрировано, это тот заряд,
который мы ищем, тот заряд, который протечет через резистор R.
Значит что нужно сделать?
Проинтегрировать этот ток от 0 до бесконечности.
Значит, I(t)dt.
Ну просто подставим, получается I максимальная
интеграл от 0 до бесконечности e в степени
(− Rt / L) dt, ну можно
немножко и поупражняться в интегрировании.
Значит, I максимальная L / R, здесь я вот
так напишу: e в степени − Rt / L,
а здесь d от этого самого (Rt / L).
Ну то, что у нас есть в показателе, ну от 0 до бесконечности.
Ну совершенно понятно, что ответ будет таким: I максимальная L / R.
Вот.
Ну можно подставить выражение для этого I максимальное,
оно у нас есть, q₀ω, ну я так и
напишу: q₀ω (L / R),
частота колебаний, ну какая она, вон написано 1 / корень из LC,
окончательно получается: q₀ / R корень из L / C.
Вот это будет окончательный ответ в этой задачке.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
