0:00
Какой спектр?
Периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Ну здесь, наверное, можно всё уничтожить, и я сейчас напишу,
мы рассмотрим с вами вот эту задачу
о спектре периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Значит, мы предположим, что вот есть эта ось времени t, вот такой вот
прямоугольничек, амплитуда которого есть A какая-то, да?
Длительность тут τ, ну здесь мы поставим τ / 2 и здесь − τ / 2,
то есть длительность прямоугольника τ.
А период следования этих прямоугольников есть t.
Вот я здесь нарисую какой-то следующий прямоугольничек, вот он такой вот, да?
Ну и здесь есть такой же прямоугольник.
Вот, а период, значит, ну давайте, скажем, между центрами этих
вот соседних прямоугольников вот это будет время, интервал времени равен периоду.
Вот это есть t.
Значит, нужно вычислять коэффициенты Cn вот по этой формуле, да?
То есть нужно подставить сюда эту функцию и на интервале периода,
но, поскольку на интервале периода, на части этого интервала функция равна нулю,
то нужно брать интеграл от − τ / 2 до + τ / 2.
То есть интеграл у нас, который как, который будет описывать,
выражать коэффициент Cn, будет вот такой: Cn = ∫ от
− τ / 2 до + τ / 2.
Ну давайте здесь умножим на A, на амплитудное,
ну на значение, ну на высоту этого прямоугольника.
И здесь будет дальше e в степени − i ну будет nωt.
Я эту формулу просто переписываю nωt,
и здесь нужно проинтегрировать по времени на dt.
Ну вот, собственно, вся задача.
Если мы такой интеграл возьмём, а это, конечно, очень простая задача,
ну получится − A / inω, так?
t, конечно, не забудем.
И, а дальше будет e в степени − inωt,
и − e в степени inωt.
Ну и в знаменателе у нас окажется обязательно, ну всё,
я, собственно говоря, не очень аккуратно написал,
но это вот всё, что здесь получится при интегрировании.
Так вот, давайте я сюда перепишу: inωt.
Ну понятно, что здесь стоит, если поменять здесь знак в числителе,
а здесь уже минус свой есть, и приписать ещё двойку в знаменателе,
то это получится, это получится косинус, какой-то косинус, только, вернее,
получится, я прошу прощения, здесь же стоит мнимая единичка в знаменателе,
поэтому этот, это выражение можно привести к синусу.
Ну и вот окончательно эта формула будет иметь такой вид.
Давайте я её напишу.
Так, она будет иметь такой вид: 2A,
а здесь будет sin ну вот здесь
nω * τ / 2, поделённый, только здесь,
конечно, не t, ребята, стоит, я это неправильно, здесь стоит τ / 2, да?
τ / 2, и здесь, конечно, стоит тоже τ / 2.
Ну вот, а здесь в числителе, в знаменателе будет стоять nωt.
Вот такая формула.
Ну и путём совсем уж простых преобразований можно это написать
таким вот образом.
Это будет просто A *, что здесь будет?
τ / t, вот такая вот вещь.
Ну я хочу сделать так, чтобы внизу появилось, появился аргумент этого синуса.
Тогда будет sin x * x, такая функция, вот она здесь получается.
Здесь получается sin, sin, вот такое выражение,
nπ, а здесь (τ / t),
ну а в знаменателе получается n * π * (τ / t).
Вот такая вот, это есть спектр вот этого процесса,
и для каждого значения n мы получим,
вот анализируя эту функцию типа sin x * x,
получим амплитуду соответствующей гармонической составляющей.
Ну понятно же, есть функции типа sin x * x и, если нарисовать график,
её изобразить графически, то получим мы следующую картинку.
Давайте вот мы изобразим эту картинку для спектра этой функции.
Вот она получится вот такая.
Значит, вот это ось частот.
Ну ось частот давайте вот Ω напишем, вот это Ω = 0.
Давайте я уже везде пишу большие Ω — вот такие, да?
Я здесь буду откладывать [Cn] по модулю.
Тогда получится функция вот такая, вот, вот огибающая,
ну дальше идёт вот такая какая-то, ну следующий
всплеск этой функции, а здесь будут вот такие компоненты.
Вот такой частокол, такой будет спектр этого процесса.
Вот я его изобразил.
Вот эта точка, ребята, вот в физике
очень часто бывает проблема, оценка,
оценки ширины вот какого-то, какой-то функции.
Ну когда функция ограничена, так эта проблема тут не возникает.
Ну очень часто вот приходится как-то говорить о ширине,
ширине функции, которая ширины-то не имеет.
Она уходит в бесконечность.
И вот такого вида функция, по договорённости считается,
что ширина этой функции — это,
это интервал между первыми нулями вот слева и справа.
Если это вот облако отрицательных частот, значит вот по положительным частотам,
вот это есть ширина этой функции.
Это первый максимум, первый такой максимум этого распределения.
Ну так вот, как найти соответствующую ширину этой функции?
Чему будет равняться вот в этой точке значение Ω?
Ну, очевидно, в этой точке вот nπ * (τ / t) это равняется,
вот какая, какой номер приходится вот на эту точку?
Ну напишем nπ * τ / t =,
очевидно, = просто π, да?
Ну так вот, тогда отсюда следует, что вот ну а n,
ну, в общем, вот номер гармонии, которая,
которая вот приходится на эту точку,
будет = π * t /, то есть простите, пожалуйста,
π уходит, просто = t к τ, будет = просто t / τ.
Вот такой вот номер гармоники,
который укладывается вот в этом главном максимуме этой функции.
Ну вот, это такое распределение.
Ну и ещё один, наверное, стоит об этом сказать, что,
если б вы хотели бы перейти к действительному представлению,
вот перейти вот к такой записи ряда Фурье,
тогда нужно было бы сделать вот что, нужно бы такой переход сделать.
Нужно было бы An =
2 [Cn], вот такое выражение, да?
А A0, вот A0, 0 — это постоянная составляющая,
это вот центральная компонента, она равнялась бы просто C0.
Вот это переход из одного представления к другому.
Вот такая вот ситуация.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
