И наш следующий параграф, он состоит вот в чем.

Мы попытаемся применить закон сохранения

энергии в виде...

применив те формулы, которые уже написаны, к вычислению сил.

Значит, представим себе, что у нас есть вот такая схема.

Есть некая катушка, в которой может быть вставлен какой-то намагничивающийся

образец в виде стержня, ну давайте еще подлиннее сделаем катушку.

Значит, вот здесь есть внешний источник, есть резистр,

на котором выделяется джоулево тепло.

Ну вот, собственно, вот такая схема.

И допустим, нас интересует сила, магнитная сила, действующая вот на этот стержень.

Нас интересует магнитная сила, давайте мы нарисуем ее.

Покажем, это вот сила F какая-то,

да, сила F.

Давайте попробуем найти ее из закона сохранения энергии,

применяя метод виртуальных перемещений.

Рассуждения такие, что мы должны мысленно вот этот стержень,

который в данном, в начальном положении погружен на какую-то глубину, скажем x.

Вот глубину погружения через x обозначим.

Значит, переместить еще на некоторое dx.

И вот к этому...

Все это делается, так сказать, никто ничего реально не перемещает,

это делается только в рассуждениях, это наш способ рассуждения.

Значит, на dx мы хотим применить к этому процессу закон сохранения энергии.

А закон сохранения энергии, вот он записан в таком виде.

И мы его сейчас еще раз выпишем.

Давайте, значит, (P − Q) * dt

= dWm

(изменение магнитной энергии) + dA механическое.

Причем это работа, это элементарно работа, совершаемая не внешними,

а внутренними силами, то есть, это магнитные силы такую работу совершают.

Ну вот это вот, так сказать, это вот собственно формула изначально

выражает закон сохранения энергии, но теперь мы уже знаем,

что можно еще одно выражение написать, оно имеет вот такой вид.

Можно представить себе, что разность между работой батарей и джоулевым

теплом может быть представлена вот таким образом.

Это есть работа индукции, ЭДС индукции,

за то же самое время, взятая с обратным знаком.

Вот такая цепочка из двух равенств,

которая выражает закон сохранения энергии.

Можем рассмотреть два случая.

Давайте рассмотрим первый случай.

Допустим, мы предполагаем, что при таком виртуальном перемещении,

это первый будет случай, ток I = const.

Вот ток-константа.

Для этого случая мы с вами сейчас распишем это выражение, давайте я его распишу.

E индукции * dt, вот это выражение.

Что такое E индукции?

Это (−1 / c) dφ.

У нас здесь нет самоиндукции, у нас одна катушка в этой

схеме и мы этим случаем и ограничимся.

dφ / dt Ну и на dt умноженное, конечно, еще.

А поток φ, он пропорционален произведению l * I.

А по предположению, ток есть константа.

Поэтому окончательно формула запишется так: −1

/ c-квадрат, ну а здесь окажется просто dl.

Изменения коэффициента самоиндукции.

Значит, в этом случае вот такое получится выражение.

Ну и стало быть, если мы теперь запишем правую часть,

то окажется что −E индукции,

вот правая часть, * I * dt = +

(I-квадрат / c-квадрат) * dl.

Вот такое получится выражение.

Это вот и есть разность между работой

батарей и джоулевым теплом в этом элементарном процессе,

когда мы какое-то расстояние dx перемещаем вот тот объект,

сила на который нас интересует.

В данном случае для простоты это просто стержень, который вдвигается в катушку.

Значит, вот так выражается изменение,

вот эта сумма, по существу.

А теперь давайте посмотрим, а что такое, и как изменяется при этом магнитная энергия.

Магнитная энергия катушки выражается вот такой формулой.

Вот одна из этих формул.

Удобно взять первую формулу, потому что I константа, поэтому, когда мы будем...

I константа, значит, по существу, в этом dWm, вот d,

изменение магнитной энергии, будет равняться,

что здесь получится, получится I-квадрат * dl,

а здесь будет c-квадрта2.

Да еще там будет двойка.

Вот, собственно говоря, формулы,

которые нам уже подсказывают, что в конце концов произойдет.

Вот это, написанное слева выражение, вот это, да, это левая часть,

ну скажем, левая часть, вот эта часть, да.

А вот то, что я сейчас написал, это вот это – первый член правой части.

Обращаю ваше внимание, что этот первый член правой части ровно в два раза меньше,

чем вся левая часть.

Отсюда мы делаем такой вывод, что изменения,

или так, механическая работа, совершенная системой,

равняется изменению магнитной энергии.

С одним и тем же знаком.

А какой физический смысл этого?

А физический смысл такой, что и изменения магнитной энергии,

и совершаемая механическая работа происходят за счет внешних источников,

за счет разности между работой батарей и джоулевым теплом.

В этом случае получается вот такое соотношение,

они одинаковы с одинаковыми знаками.

Ну а поскольку можно выразить вот механическую работу,

dA механическое = F, ну скажем,

Fx * dx, сила на перемещение,

вот dx — как раз то самое виртуальное перемещение, которое мы тут рассматриваем,

то отсюда следует, вот из этих формул,

что вот Fx = DWm / dx,

причем эту производную нужно брать при постоянном значении тока.

Вот такая получается формула для силы,

которая действует на вот наш образец.

Ну естественно, что для того чтобы эту формулу применять,

нужно знать, конечно, вот такую зависимость: Wm(X).

Нужно знать вот такое выражение.

Если вы можете написать выражение для магнитной энергии,

в зависимости от глубины погружения стержня, тогда все будет нормально.

Тогда вы, продифференцировав это выражение, найдете так сказать,

выражение для силы, и тут все в порядке.

Ну теперь давайте попробуем провести те же рассуждения, но по-другому.

И получим другую формулу.

Так кстати, а что происходит с...

давайте, может быть, сейчас я еще напишу парочку

соотношений, которые здесь будут полезны.

Ну, давайте

вернемся вот к этой формуле, да, которую здесь вот сейчас мы уже использовали.

Предполагается, что этот коэффициент самоиндукции зависит от координаты x.

Поэтому мы можем записать так нашу формулу для магнитной

энергии: Wm = l(x) * I-квадрат / 2c-квадрат.

Ну и поэтому отсюда следует, что F со значком x = ну,

что тут будет: I-квадрат / 2c-квадрат,

а здесь стоять будет dl(x) / dx.

Ну и отсюда видно, что сила, магнитная сила,

направлена так, чтобы увеличить индуктивность системы, ну катушки.

Ну вы хорошо знаете, что если вдвигаем в такую катушку

намагничивающийся ферромагнитный или парамагнитный стержень,

то коэффициент самоиндукции будет расти.

А если этот стержень был бы сделан из диамагнитного материала,

то при вдвижении стержня что происходило бы с коэффициентом самоиндукции?

Он бы уменьшался.

Стало быть, стержень из диамагнетика как должен себя вести при

попытках вдвинуть его внутрь поля, внутрь катушки?

Он должен выталкиваться, да?

А ферромагнетик и парамагнетик должен втягиваться в область сильного поля.

Я вот хочу обратить ваше внимание вообще вот на такой очень важный вопрос.

Вот если вас спросят — а где собственно, в какой области на этом рисунке,

в какой области пространства возникают те силы, которые втягивают этот стержень?

Например, это ферромагнитная спица.

Где эти силы, в каком месте возникают?

Ответ должен быть такой: они возникают там, где неоднородное поле.

На самом деле они возникают вот, наверное, в этой области где-то,

на торце катушки, и где-то, может быть, вот у этого торца.

Эти силы возникают в области неоднородного поля, структуру которого мы не знаем.

Но закон сохранения энергии позволяет нам избежать необходимости

знания этой вот точной конфигурации поля.

Он дает нам конечный результат, так сказать,

обходя вот эти частные проблемы.

Вот это очень важный момент.

Значит, сила направлена так, чтобы увеличить коэффициент самоиндукции.

А теперь давайте рассмотрим второй случай.

Вот второй случай, который мы сейчас рассмотрим,

он состоит вот в чем: давайте предположим, что при таком виртуальном перемещении

каким-то образом нам удается сохранить поток, пронизывающий нашу катушку.

Ну как это можно, если бы это была реальная проблема,

если бы мы это не в голове у себя делали,

а на самом деле в эксперименте каком-то — как поток сохранить?

Ну, кто подскажет?

Как сохранить поток, пронизывающий катушку,

если мы чего-нибудь около нее делаем?

[БЕЗ_ЗВУКА] Приятное

молчание, вот так вот.

А для этого много вариантов есть.

Можно, конечно, какую-нибудь поставить систему, которая...

следящую систему поставить, которая бы этот поток соединяла, но можно,

например, сделать следующим образом: взять эту катушку из сверхпроводника, да?

Тогда автоматом будет сохраняться магнитный...

я вот в прошлый раз вам говорил,

что сверхпроводящая замкнутая катушка является консерватором магнитного потока.

Что бы мы ни делали около нее, она всегда реагирует тем,

что возникает дополнительный ток, текущий по ее виткам,

и суммарный магнитный поток сохраняется.

Смотрите, если поток сохраняется

через катушку, то чему равняется ЭДС самоиндукции?

Нулю, да?

А стало быть, вот в этой формуле...

вот в этой формуле, которую я показываю, чему равняется правая часть?

Нулю, да?

Значит, я вернусь к этой лучше формуле.

Давайте лучше продолжим (это у вас такая связка есть), давайте продолжим это,

вот здесь будет −Е индукции * I и * dt.

Вот такая формула, да?

Если поток сохраняется, то ЭДС самоиндукции равняется нулю.

Значит, про оба эти (P − Q)dt

и dWm + dA механическое равняется независимо друг от друга нулю.

Значит, вот это равенство разрывается.

Каждая — левая и правая части равны нулю.

А стало быть, вот в этом случае получается вот такое выражение,

что dWm + dA механическое = 0.

А там что было, в предыдущем случае?

А в предыдущем случае было вот что...

вот где-то я здесь, вот сейчас посмотрю.

Да, здесь они просто равны были со своими знаками.

Понятно, да?

А здесь они окажутся равны с разными знаками.

Значит, вот давайте напишем это, для того чтобы было понятно.

Механическая работа, это элементарно, равняется −dWm.

Почему так происходит?

Почему здесь возник знак «минус»?

А потому что в этом случае...

вот то, что здесь получается в нашем случае ноль,

говорит о том, что система как бы изолирована.

То есть работа батарей за вычетом Q вся идет на джоулево тепло.

Батарея работает только на джоулево тепло.

А баланс энергии включает только

изменение магнитной энергии и работу механических сил.

И, стало быть, в этом случае механическая работа совершается за счет чего?

За счет убыли магнитной энергии.

А в первом случае?

А в первом случае приращение магнитной энергии

и механическая работа совершаются за счет батареи.

Этот случай соответствует как бы изолированной системе,

когда есть связь только...

когда вот такая только связь есть.

Вот это есть баланс энергии.

А формула окончательная получается вот такая: Fx будет равняться минус...

я вот здесь ее вычет напишу, а вот где-то здесь, мне не хватает места,

но вот здесь написать было бы нужно специально «плюс» вот здесь, да?

А вот здесь напишем −(dWm / dX).

Эту производную нужно вычислять при условии постоянного потока.

Ну всегда возникает вопрос такой, что: смотрите-ка, вот здесь мы дифференцируем

dW магнитную энергию по координате и берем знак «плюс» перед производной,

а здесь мы такое же дифференцирование выполняем, но потом берем знак «минус».

Возникает какое-то,

на первой стадии изучения проблемы возникает недоумение, как так может быть?

А на второй стадии оно, это недоумение, рассеивается.

Почему?

Потому что в этих двух формулах зависимость магнитной энергии от

координат разная.

Это разные формулы.

Ну например, ну сразу видно вот из этих вот соотношений: если

коэффициент самоиндукции зависит от координаты,

то в первом случае формула имеет во такой вид: L(x).

В числителе зависимость от координаты, а ток — константа.

А во втором случае поток — константа, а L(x) находится в знаменателе.

То есть в этих двух формулах, которые внешне отличают только знаками,

под знаком производной стоят разные функции.

И вот это очень важно.

И если мы продифференцируем это выражение, вот если мы напишем,

что Wm = φ² / 2L(x),

то есть мы продифференцируем это выражение и учтем,

что L(x) стоит в знаменателе, то получится то же самое выражение, что и раньше.

Это будет ну в общем π²...

то есть это будет так: φ² /

2L² * dL / dX.

Ну вот а φ² / L² это есть как раз I² / С².

Это, в общем, формула получилась...

эта формула в точности такая же, как эта.

Вот они одинаковые, две формулы.

Так что ответы, конечно, должны быть одни и те же.

Лекция 1.8. Энергетический метод вычисления сил в магнитном поле

Переходные процессы в электрических цепях

与讲师见面