4.32 Вот

интересно: «заземление концов телеграфной линии...»,

эта задача из прошлого века пришла к нам, «...осуществляется

посредством металлических шаров радиусом r₁ и r₂,

очень глубоко врытых в землю».

Вот мы нарисуем шар радиусом r₁, врытый в землю.

Вот это все земля.

Глубоко.

Это заземление.

Самое настоящее.

Поглубже, да еще помочить.

Вот ну, например, сюда вот этот провод.

И здесь где-то очень далеко, наверное,

все-таки ну, хоть сюда, хоть сюда.

Здесь тоже очень далеко, это телеграфная линия,

тоже врыт радиусом r₂ и тоже земля.

Так и делалось, чтобы экономить провода.

Итак, «удельная проводимость почвы,

вблизи шаров составляет λ₁ и λ₂.

Найти сопротивление между шарами».

Какое здесь сопротивление между шарами в этой телеграфной линии?

«Считать почву вблизи шаров однородной,

на расстояниях больших, по сравнению с радиусами вот этих шаров».

То есть достаточно однородных на приличных расстояниях по сравнению с радиусом.

Например, шарик радиусом 1 метр медный.

Ну, так конечно, никто не делает, это просто для нашей задачи.

Вот там, значит, надо взять, чтобы почва была мокрой.

Ну, много больше, ну, раз в 10 хотя бы.

Вот.

«Найти сопротивление между этими шарами».

Оказывается, что абсолютно не зависит от расстояния,

поэтому для телеграфной линии достаточно было одного провода.

Понимаете?

А второй не нужно было.

Обеспечилось заземление.

Вот в чем дело.

Ну заземление, любую систему,

я уже говорил вам об этом в начале, когда мы только начинали,

что потенциал бесконечности считается нулем, да?

По определению в электростатике.

А в электротехнике отнюдь.

Потенциал земли считается нулем.

Ну в принципе, это одно и то же.

Вот.

Тем не менее, если вы посмотрите, как устроены

всякие подстанции, там обязательно есть контур заземления.

Специально заземляют вот таким способом, как вот здесь сказано.

С тем, чтобы не накапливалось электричество,

земля все проглотит, емкость ее достаточно большая.

Так что давайте рассуждать.

Что тут нужно сказать?

Что мы, поскольку, глубоко зарыты, то считается,

что вот с этого шара как бы

истекает этот заряд вот туда куда-то.

j(r).

С плотностью j(r).

То есть I =

const = 4πr² в каждом

конкретном случае j(r).

Вот то есть j(r) = I

/ 4πr², если хотите.

А j = λE,

отсюда следует,

что E(r) поле

это E(r) = I /

4πλr² Итак,

поле электрическое вокруг этих шаров ну вот такой радиальный характер носит.

В силу этой симметрии.

И поэтому заряды стекают во все стороны вот однородно как бы, но по этим радиусам.

Итак, мы нашли, как зависит поле от тока.

А теперь осталось написать закон Ома,

то есть разность потенциалов между двумя этими шарами.

И тут сейчас окажется, что нам, поскольку бесконечность в данном случае...

нам придется интегрировать, от нуля до бесконечности, сейчас вы это увидите,

бесконечность это не такое вот понятие, что вот там где-то в другой метагалактике.

И не в центре Земли.

Это, в общем, на достаточно большом расстоянии,

где уже можно не пренебрегать полем электрическим, оно быстро спадает.

Вот и все.

И тогда мы можем спокойно записать закон Ома.

Вот смотрите, как я это пишу: разность потенциалов между

двумя этими шарами — это есть интеграл от r₁ до бесконечности.

Бесконечность, здесь конечно условна.

Idr / 4πλ₁r²

Интегрировать нужно.

Интеграл от бесконечности до r₂

− iDr/ 4πλ₂r²

и все это равно

току на искомое сопротивление.

Итак, все поняли, что я расписал?

E на dr – я описал разность потенциалов, то есть брал от одного шара

разность потенциала, вот от этого с радиусом r₁ и

интегрировал от r₁ до бесконечности.

Минус по направлению тока разность от бесконечности мне

надо попасть на второй заряд, чтобы ток замкнулся, на r₂, вот оно и получилось.

В результате, что получается: отсюда, токи сократились, он здесь не нужен.

И получается, что сопротивление равно, после интегрирования,

1 / 4π, а здесь в скобочках (1

/ λ₁ r₁ + 1 / λ₂ r₂).

Вот такие приемы и такие понятия

вот вам помогли бы при исследовании других задач,

там с емкостями что-то у вас там в задании было.

Сами это вы наверняка уже сделали.

А теперь у нас начинаем магнитное поле.

Итак, мы, как я уже сказал, немножечко отстаем.

Поэтому необходимо догонять.

Итак, рассматривается понятие магнитного поля в вакууме.

Вот в оставшееся время я вам постараюсь сделать такую вводную,

после которой мы спокойно сможем решать эти задачи.

Итак, определение напряженности, точнее говоря,

магнитной индукции сейчас – B.

Как она определяется?

Значит, главной характеристикой магнитного поля, здесь в отличие...

вот так вот сложилось исторически, – здесь будет магнитная индукция.

Подробнее мы потом остановимся, чем отличается магнитная

индукция от напряженности магнитного поля, кода будем рассматривать вещество.

Увидим.

Значит, в вакууме можно начинать, конечно, и с напряженности магнитного поля,

там есть определенные параллели, но вот сейчас принято делать так.

Итак, если у нас есть заряд q, который движется,

например, со скоростью V в определенном направлении,

то мы всегда можем сказать, что в точке A.

Это радиус вектора в эту точку, заряд,

конечно, всегда положительный.

Какое будет электрическое поле в этой точке?

Вот оно – EA.

А какое магнитное поле?

Оказывается, что если заряд движется,

то с ним сопряжено магнитное поле – с индукцией B в этой точке.

Так вот, как показывают опыты, и на это опирается это определение,

оно перпендикулярно плоскости, это поле B.

И составлено из двух векторов V и r, то есть направлено

вот так: это B в точке A.

Я напишу теперь формулу, по которой она подсчитывается.

Это определение.

q / cr в кубе, векторное произведение [V * r].

Вот это определение, с которого начинается...

можно начать и с других определений,

но я вот предпочитаю с этого, с этого определения.

Так вот от этого определения можно перейти вот от

одиночного заряда к системе зарядов, то есть к токам.

Если у нас есть токи организованные, и можно говорить о плотности электрических

токов, то тогда можно написать как бы вклад, который делает элементик тока.

Вот я сейчас вам напишу — что такое элементик тока.

Элементик тока рассматривается — или это jdV, это объемный элементик тока.

А объем как-то вот организован, в этом объемчике, ну так, как я рисовал вам.

А может быть, по существу, если это проволочка, проволочка,

то это будет I * ds, Idl,

прошу прощения.

Ток, текущий по какой-то тонюсенькой проволочке, dl — это направление.

То есть это векторная вот такая величина.

И тогда можно вот каждый этот такой элементик тока,

это называется: элемент тока.

Это элемент объемного тока, а это элемент такого линейного тока,

он в проволочке текущий.

Тогда это можно записывать достаточно просто.

Значит, вклад поля, в поле db

для объемного элемента — это 1 / cr в кубе,

[j векторно * r] * dv.

И для другого элемента тока db, вот второй...

это от проволочки.

Это есть I / cr в кубе.

А здесь будет [dl * r].

Вот они формулы для расчетов магнитных полей.

Это формулы – вот эти – они исходят вот отсюда.

Я не буду это вводить, можете посмотреть у Сивухина как это сделано.

Элементарно просто, надо просто взять кусочек проволоки и туда все подставить.

Вот эта формула Био-Савара-Лапласа для подсчета магнитных полей.

Эти формулы нужно, ну по-крайней мере вот для элементарных токов, их нужно знать.

С них все начинается.

Теперь силы.

Значит, это первое определение.

Второе — силы.

Они носят название «амперовы», потому что их определил Ампер первым.

И он ввел, что если у нас есть элемент тока вот такой, то тогда...

и помещенный во внешнее магнитное поле, то тогда сила

dF ампера — это есть I

/ с * [dl векторно * B].

Или же для объемного элемента тока dFA,

это есть 1 / с *

[j * B], и на объемный элемент,

все это нам пригодится для расчета сил.

И вообще, на заряд, помещенный в магнитное поле,

если он бежит, то действует магнитная сила Лоренца — F магнитное,

которое есть q / с,

[V * B], если хотите.

Итак, вот вкратце эти, эти определения, которые нужно знать.

Единственное, что здесь вот везде болтается некий коэффициент c.

Что это за коэффициент?

Ну вы уже знаете, что это скорость света.

На самом деле это называется: электродинамическая постоянная.

Дело в том, что когда только формировалась эта наука – электродинамика

– отнюдь сразу было непонятно, нужно было писать какую-то константу.

И вот, например, вот здесь особенно видно,

что константа должна иметь размерность

скорости какой-то.

Численно ее вычисляли, она оказалась равной размерности скорости.

Вот c и v — это...

c имеет константу — размерность скорости.

При измерениях оказалось последствие, у вас даже есть такая лабораторная работа,

где надо найти эту константу.

Значит, единственное, что здесь нужно сказать… здесь все не так просто,

надо было потребовать, чтобы поле B имело ту же

самую размерность, что поле E — электрическое поле.

То есть они были одноразмерны, в Гауссовой системе так и делается.

Но тогда пришлось бы, пришлось бы ввести новую...

вот либо оставить вот эту константу с размерностью скорости,

либо ввести размерность, новую размерность заряда.

Ой, и заряда, и, соответственно, тока.

Что и делал Гаусс в своей магнитной системе.

У него магнитная система по-другому, там заряд и, соответственно,

электрический ток измеряется несколько в других единицах,

выраженных через скорость света.

Мы не будем этим заниматься совершенно, мы будем везде писать скорость света,

вот эту c, которая называется электродинамической постоянной,

имея ввиду,

что эта система и здесь называется СГСЭ.

То есть все время остаемся в Гауссовой электрической системе единиц.

Вот это, пожалуйста, вынесите правильно.

Все размерности, в чем тут измеряется B...

в гауссах.

В гауссах.

А в СИ — в теслах.

Здесь начинаются очень непростые переходы из Гауссовой системы единиц в СИ.

Очень непростые.

Они связаны с дополнительными коэффициентами какими-то.

Не буду сейчас вам заморачивать голову в конце,

просто наступит когда-нибудь такой момент,

и мы это посмотрим, если он наступит, я вам все это покажу.

И наконец, последний, буквально две минуты,

пожалуйста, не отвлекайтесь, это очень важная теорема.

Смотрите, какая...

Которой мы обязательно в следующий раз воспользуемся.

Многие ее не знают, в Сивухине она есть.

Если ток течет по поверхности,

слышите, по поверхности, то тогда он характеризуется,

этот электрический ток, вот некоторой величиной,

которая называется: линейная плотность поверхностного тока.

Вот эта линейная плотность — i поверхностного тока.

В чем она измеряется?

Ток / сантиметр.

Ну в амперах — на метр, уж если на то пошло.

Ток / сантиметр.

Просто у тока...

размерности тока нет названия в Гауссовой системе.

Вот поэтому пишу: ток на сантиметр.

И вот этот вектор пусть направлен вот сюда.

А это я написал: плоский элементик.

У этого плоского элемента, элементика, есть нормаль.

Вектор нормали n направлен сюда.

И есть касательный вектор τ,

который гладит эту поверхность касательной, то есть по этой поверхности,

но перпендикулярен вектору нормали и самому электрическому...

и самому току по этой поверхности.

Ну, например, соленоид.

Пожалуйста, у вас есть поверхностный ток на соленоиде.

Это очень легко себе представить.

Ну и вот, если мы возьмем какую-нибудь точку A,

лежащую вот так вот, в стороночке,

то оказывается – это очень важный результат – что

вклад этого элементика в

поле dBτ в проекции на вектор τ, касательной,

равен: (i / с) * dΩ.

Где dΩ — телесный угол, под которым

видна внутренняя поверхность этого тока.

Вот этого элементика по внутренней поверхности.

Ну?

например, смотрите,

вот соленоид, соленоид.

Вот его ось.

И вы смотрите какую-нибудь...

внутреннюю, из этой точки вы можете наблюдать всю внутреннюю

поверхность этого соленоида.

А ток течет по наружной поверхности, вектор n направлен наружу, естественно.

Таким образом, компонента поля параллельная вот τ,

а она и есть как раз вот такая осевая, вдоль по оси цилиндра.

Для чего этого сделано?

Чтобы облегчить вам.

Эта теорема легко доказывается.

Есть i / c * dΩ.

Все, телесный угол, под которым видна...

телесный угол, под которым

видна внутренняя поверхность площадки.

Ну ладно, вдогонку можно я пример приведу?

Пусть у нас есть бесконечная поверхность,

по которой течет ток вот так вот.

С линейной плотностью i.

Что такое линейная плотность?

Это ток поделить на вот это вот перпендикулярное направление.

На l, ток на l.

То есть какой поверхностный ток, плотность поверхностного

тока i приходится на единицу длины этой вот плоскости, которой...

а ток течет, вот он, сюда.

Спрашивается: чему равно поле магнитное сверху и снизу этой поверхности?

Значит оно равно, в соответствии с этой теоремой, оно равно как?

Ну там, оно направлено вот так,

B = (i / c) * dΩ.

Ну оно везде одинаковое, однородное.

И dΩ — это что такое?

Вырождается во что?

В полный телесный угол, под которым видна вся эта поверхность этой плоскости.

Чему она равна?

>> 2π.

Теперь если это у вас, значит, поле направлено вот так,

теперь представьте себе, что взята вот такая вот штука,

как у конденсатора, только ток течет вот сюда, в обратную сторону.

Что будет внутри?

>> 0.

Внутри?

– 4πi / c.

А что будет снаружи?

Они сложатся в разные стороны,

поэтому здесь будет i, а здесь в обратную сторону столько же.

То есть снаружи будет 0, ну так, как бы образ, похожий на конденсатор.

Понятно?

Только магнитный.

В кавычках, конечно, никакой это не конденсатор, тут ничего не накоплено.

Просто поле внутри будет: 4πi / c, потому что из любой точки этого...

вся внутренность видна под каким углом?

Под 4π.

Эти поля сложатся, они будут в одну сторону внутри.

Вот в эту.

А снаружи – 0.

B = 0.

И здесь B будет равно 0, потому что это вычтется, (i / c) * 2π.

Вот это вам такой простенький пример, я надеюсь, вы поняли.

Вот на сегодня все.

1. Объёмные токи

Электростатика и магнитостатика

与讲师见面