¿Por qué las grúas no se vuelcan al levantar grandes pesos? ¿por qué las mesas sólo necesitan tres patas (no alineadas) para apoyarse? Este curso te guiará paso a paso en los conocimientos básicos para entender el equilibrio de estructuras simples. Aprenderás conceptos básicos de las ecuaciones matemáticas que modelan las condiciones de equilibrio de partículas y de cuerpos rígidos. Además, también aprenderás conceptos como momento, que te ayudarán a entender fenómenos como el volcamiento de estructuras, y a identificar las fuerzas y momentos que actúan sobre un determinado cuerpo, mediante el concepto de diagrama de cuerpo libre. Todo esto te servirá para modelar estructuras simples pero realistas, identificar las distintas fuerzas que actúan sobre ellas, plantear las ecuaciones necesarias para que la estructura se encuentre en equilibrio, y determinar las reacciones de apoyo necesarias para tal condición. Cuando termines el curso serás capaz de generar idealizaciones de estructuras reales simples, identificar las distintas fuerzas y momentos que actúan sobre ella, y plantear y resolver las ecuaciones de equilibrio correspondientes.
Problema en 3D
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Equilibrio, ¿por qué se caen las cosas?
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Momentos
En este módulo se define el concepto de momento, desde un punto de vista descriptivo y matemático.
与讲师见面
Christian LedezmaProfesor Asistente
Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica
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Hola.
Bienvenidos a esta nueva clase del curso de Equilibrio ¿Por qué no se caen
las cosas?
En esta oportunidad resolveremos para ustedes el primer problema de
equilibrio en tres dimensiones.
También un poco con la idea de momentos y de fuerzas que hemos estado desarrollando
a lo largo del curso.
Como ustedes verán, los conceptos que hemos estado aplicando
para resolver distintos problemas se van repitiendo uno sobre otro.
Es sólo que los problemas, de manera más o menos progresiva,
se van haciendo algo más complejos.
En este caso el problema 3D que he escogido,
este que está indicado acá en la imagen.
Donde tenemos una placa cuadrada de acero de un determinado peso,
un peso P, y que está sostenido por tres cables.
De manera que la placa se encuentra en posición horizontal,
entonces tenemos esta placa que tiene su centro de gravedad en el punto G.
La ley de centro de gravedad la definiremos en clases posteriores un
poquitico más formalmente.
Pero ustedes se lo pueden imaginar como el punto en el cual yo puedo concentrar todo
el peso de la plancha, y que en el fondo desde el punto de vista del equilibrio,
tiene exactamente el mismo efecto que si yo lo considerada distribuido en toda
la placa.
Entonces ese peso P yo lo puedo concentrar en el punto central G de la placa,
y eso es el peso actuando hacia abajo de la plancha tratando de que esto se caiga.
Por supuesto lo que nosotros hacemos,
colocamos un sistema de cables para impedir esa situación.
Y lo que se pide en este caso es algo rápidamente sencillo.
Es determinar,
¿cuál es la fuerza en los tres cables que se indican ahí en la figura que permiten
que esa placa esté en equilibrio en la posición horizontal ahí indicada?
Entonces, la pregunta es ¿cuál es la fuerza en el cable AD,
BD y CD ahí indicados para lograr equilibrar esto?
Acá, por supuesto aparece indicado de manera natural que
si el peso de la placa es P hacia abajo, necesariamente la suma de las
fuerzas de los tres cables tiene que ser P hacia arriba,
de manera que la placa esté en equilibrio en el sentido vertical.
Ahora, antes de comenzar con la resolución de este problema hay que pensar un
poco ¿de qué manera uno puede plantear el equilibrio de esta placa?
Y distintas maneras, uno podría, por ejemplo pensar en aislar la placa
en sí, sobre la cual están actuando tres fuerzas.
Las tres fuerzas actuando a lo largo de la línea de acción de los cables,
son las fuerzas AD, fuerza BD y fuerza CD, cuya magnitud desconozco
pero cuya dirección sí conozco, porque está dado en la geometría del problema.
Y sobre esa misma placa, además de tener la fuerza de los tres tensores,
tenemos el peso actuando hacia abajo.
Entonces, reconocemos tres incógnitas, la fuerza de los tres cables.
¿Qué ecuaciones tenemos encima de nosotros?
Tenemos en rigor siempre seis, en el espacio.
Podemos imponer que la suma de fuerzas a lo largo de X sea cero.
A lo largo de Y sea cero, a lo largo de Z sea cero, y ahí hay tres.
Y, además aparecerían las tres de momento
que significa que la placa no puede estar girando en torno al eje X, Y y Z.
Ahora, vamos a ver la resolución de este problema que esas ecuaciones,
en este caso en particular, no aportan demasiado y que en el fondo,
dada la geometría y la configuración del problema.
Son ecuaciones que se van a satisfacer automáticamente.
Quizás es más simple verlo cuando uno piensa en el punto D.
O sea, en vez de aislar la placa completa y plantear su equilibrio,
yo puedo aislar cualquier elemento del problema que tengo en este caso.
Por ejemplo, puedo aislar el nodo D, o sea, el punto D.
Ver cuáles son todas las fuerzas que actúan sobre el punto D.
Tengo P hacia arriba, tengo la fuerza de los tres cables tirando hacia abajo,
y al tratarse el punto D, de eso, de un punto, de una partícula,
todas las fuerza confluyen exactamente a ese punto.
Como todas las fuerzas pasan por ese punto, no pueden ejercer momento.
Entonces cuando yo trato para ese elemento, ese punto D,
plantear las ecuaciones de momentos igual a cero, se satisfacen automáticamente.
Porque el término de la izquierda la ecuación es automáticamente,
al no haber brazo de la fuerza en relación al punto, y el lado derecho es cero,
la condición que estoy imponiendo.
Entonces, vamos a ver un poco la resolución de este problema,
cuál es el impacto de estas ecuaciones de momento y por qué, finalmente,
no terminan siendo tan relevantes en este problema en específico.
Bueno, en este problema lo que se nos pide es analizar la condición de equilibrio de
un problema tridimensional.
En este caso se trata de una plancha cuadrada, que tiene un peso P conocido.
Y que tiene además una masa uniformemente distribuida de manera que el
centro de gravedad de la plancha, está en este punto G indicado acá al centro.
Y esta plancha está colgando de tres cables, y se preguntan sobre las fuerzas
que se desarrollan en esos cables en la condición de equilibrio.
La manera en que voy a resolver el problema es mediante
representación vectorial.
Lo que desconozco de las fuerzas de los cables es su magnitud.
Lo que conozco es su dirección.
Por lo tanto, lo primero que voy a hacer es escribir de manera
vectorial las direcciones a lo largo de la cual actúan estas fuerzas.
Y una vez que las tenga indicadas voy a plantear la ecuación de equilibrio.
En este. En este caso la ecuación
de equilibrio la voy a plantear en el punto D.
O sea, todas las fuerzas que confluyen al punto D,
que son las fuerzas de los tres cables y la fuerza P,
tienen que anularse de manera de que el sistema esté en equilibrio.
Entonces hagamos eso primero.
Para hacerlo de una manera un poco más ordenada,
lo que voy a hacer es definir un sistema coordenado.
Con centro en el punto G,
de manera de escribir primero las coordenadas de los puntos A, B, C y D.
Y con esas coordenadas definir luego las direcciones y calcular lo que es
necesario para representar las fuerzas.
Entonces lo primero, voy a hacer una pequeña tabla acá describiendo los puntos
del problema A, B, C, D e incluso el punto G que está acá,
y voy a colocar cuáles son sus coordenadas según X,Y y Z.
Acá el origen lo voy a definir en el punto G,
por eso voy a definir esta cosa con 000.
Y para la coordenada del punto A, por ejemplo, voy a indicar que la coordenada X
es menos 1200, Y menos 1200 y Z igual a cero.
No lo dije antes pero se sobreentiende que esta dirección es X, esta dirección que
está acá es Y, y por supuesto la dirección vertical que va hacia arriba es Z.
En base a ese sistema coordenado es que estoy indicando estas coordenadas.
Similarmente para el punto B, dada la geometría del problema, tiene coordenada
X 1200 positivo, coordenada Y menos 1200 milímetros y Z cero.
Y así podemos completar esta tabla para el punto C.
Que está en X cero, Y 1200 y cero.
Y finalmente el punto D que está justo sobre el punto G a una altura de 2400.
¿Por qué hacerlo de esta manera?
Es porque luego escribir las direcciones que van de D hacia A,
de D hacia B y de D hacia C, es un poco más fácil.
La manera que voy a demostrar a continuación.
O sea, para encontrar, por ejemplo, la dirección que va de B hacia A, que
finalmente me va a servir para escribir la fuerza que viaja a lo largo de este cable,
resto las dos coordenadas, la posición de B menos la posición de A y eso
da 1200 según i.
Que es la dirección unitaria
según X, 1200 según j más 2400 según k, que lo único
que hice fue restar las dos coordenadas que están indicadas acá en la tabla.
Similarmente para D y B,
para sacar la otra fuerza, este número da menos 1200 según i,
da 1200 según j, y luego da 2400 según k.
Finalmente la dirección o el vector que une a D con C lo puedo escribir
como la diferencia de las coordenadas D y C que ustedes las ven acá,
en X hay diferencia nula, en esta dirección hay diferencia de menos 1200,
y en la última la diferencia es 2400.
Ahora, estos vectores que están acá,
los tres que están acá, no me sirven directamente pues necesito
vectores unitarios para multiplicarlos por la magnitud de las fuerzas respectivas.
Para hacerlos unitarios todo lo que tengo que hacer es dividir estos vectores
por su valor absoluto.
Acá en un rincón voy a poner ese cálculo.
Acá, acá y acá.
¿Cuál es el valor absoluto de cada uno de estos vectores, o sea,
la magnitud de esos vectores?
No es más
que la raíz cuadrada de la
suma de los cuadrados de cada una de las componentes, de los vectores respectivos.
No voy a hacer el cálculo en detalle ustedes lo pueden verificar por sí mismos.
Eso da 2939,4 milímetros,
lo mismo para este vector que está acá y algo menor.
Para el útlimo vector.
Entonces, teniendo la magnitud del vector y teniendo la representación del vector,
yo agarro esta representación vectorial, divido por la magnitud y eso me resulta en
un vector unitario que va en la dirección de BA.
Por lo tanto, haciendo esa operación.
Ahora sí puedo escribir las fuerzas que están participando en este problema.
O sea, la fuerza que va de A a D vector,
es una cierta magnitud F ad, sin subrayado,
multiplicado por la dirección unitaria AD.
Que se calcula de la manera en que you indiqué,
así que acá solamente voy a poner resultado 0,4082 por i,
más 0,4082 por j, más 0,8165 por k.
Similarmente para las otras dos fuerzas.
Para la fuerza BD una magnitud que desconozco,
que es la que me están preguntando.
Por la dirección unitaria BD, que tiene componentes menos
0,4082 según X,
0,4082 según Y,
0,8165 según Z.
Finalmente la tercera fuerza, F cd.
Tiene una magnitud desconocida.
No tiene componentes según X, tiene una componente negativa según
Y, al menos en términos de fricción unitaria.
Y tiene una cierta componente positiva según Z.
Escrita las fuerzas de esta manera ahora you
puedo pararme en el punto D y exigir equilibrio.
Sí, entonces acá no hay nada muy sorpresivo, solamente voy a exigir que la
suma de todas las fuerzas sea igual a cero en el caso del punto D.
Y la verdad es que además de estas tres fuerzas,
solamente está la fuerza T, que tiene sólo componente vertical.
Por lo tanto, cuando yo sume vectorialmente
las cuatro fuerzas ¿no cierto?, las tres de los cables más el peso,
el resultado se va a ver más o menos como lo voy a indicar a continuación.
Por ejemplo, sumo todas las componentes según Y,
y voy a obtener que 0,4082 por F AD,
menos 0,4082 por F BD tiene que ser igual a cero.
En otras palabras, la magnitud de la fuerza AD y
fuerza BD tienen que ser igual las dos magnitudes,
así que uno desarrolla esta ecuación.
La otra componente, sumando solamente las componentes según j,
me indica que 0,4082 por F AD,
más 0,4082 por F VD,
menos 0,4472 por F CD, tiene que ser igual a 0.
Y finalmente tengo que
0,8165 por F AD, más F BD,
más 0,8944 por F CD,
todo esto tiene que ser igual a P.
Porque en el fondo la suma de las componentes verticales
de cada una de estas fuerzas, tiene que equilibrar a la fuerza P.
Y finalmente, esto da origen a un sistema de 3 por 3, ¿sí?,
que no se puede resolver relativamente simple.
you vimos que la primera ecuación,
quizás podamos numerar esto, 1, 2, y 3.
De la primera ecuación se obtiene directamente que F AB
tiene que ser igual a F BD.
Eso si yo lo reemplazo en la segunda ecuación,
la que está indicada ahí,
resulta que se obtiene que 0,8164
por F AD es igual a 0,4472 por F CD,
o bien, que F CD es un cierto,
es 1,8256 por F AD.
Entonces, de esta manera sabiendo que F CD lo puede escribir como F AD,
F BD también lo puedo escribir como función de F AD,
todo eso lo puedo reemplazar en la ecuación 3, ¿Sí?
Para despejar cuál es el valor de F AB.
Entonces, acá en 3, y después de
un poco de reemplazo se obtiene que
F AD resulta igual a 0,306 por P.
F BD, que you sabíamos que son iguales,
es 0,306 P, y F CD es igual a 0.559 P.
Y con eso hemos determinado la fuerza en cada uno de los cables.
