Разработанный МФТИ курс отличается тем, что все основные конструкции и принципы теории вводятся непосредственно на основе разбираемых "с нуля" конкретных этюдов. Каждый этюд начинается с понятной непрофессионалу проблемы. В одних случаях это просто "детская игра", в других - формализованное жизненное наблюдение, в третьих - обобщённая социальная закономерность. Сюжет затем разворачивается, исходя из логики содержащегося в нём конфликта, и сам порождает тот или иной принцип разрешения конфликта, который окончательно строго формализуется в виде решения игры. Этюдов всего рассмотрено чуть более десяти, и они в совокупности покрывают основные формальные конструкции базовой теории игр. В нескольких отступлениях приведены формулировки теорем существования игровых решений с набросками доказательств.
Игра "Гарвард" (продолжение)
Loading...
来自 Moscow Institute of Physics and Technology 的课程
Теория игр
31 个评分
从本节课中
Равновесия Нэша
В первой неделе вы познакомитесь с основными концепциями теории игр: игры в нормальной форме, (доминируемыми) стратегиями, равновесиями по Нэшу.
与讲师见面
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
кафедра дискретной математики МФТИ
Игра «Гарвард», продолжение.
Итак, если мы согласимся вычеркивать слабодоминируемые стратегии,
в теоретическом плане это не вполне безупречно,
не говоря уже и о житейском плане.
Но все-таки, если мы согласимся их вычеркивать,
то мы должны согласиться с тем,
что игроки будут использовать только вот этот вот ряд стратегий.
А прочие стратегии: 51, 52, ..., 100 никто из игроков использовать не будет,
потому что это никак не может повысить его шансы угадать среднее пополам.
Но в этом случае нам придется признать
следующую...
Нам придется признать, что в этих условиях
среднее пополам уже не превосходит число 25.
То есть если все достаточно умны, чтобы понять, что 51, 52, ...,
100 применять не надо, то тогда самое максимальное число,
которое будет написано у кого-либо в тетрадочке, будет число 50.
Тогда среднее — не больше 50, а среднее пополам — не больше 25.
Но в этом случае, если мы исходим из вот этой урезанной игры,
в которой новые стратегические множества уже не такие,
а 1, 2, ..., 50, то в этом случае у нас целый ряд
стратегий снова оказывается доминируемым уже в новых условиях.
А именно, не имеет смысл называть 26,
27, ..., 50, потому что 25
ближе вот этих всех к среднему пополам.
[БЕЗ_ЗВУКА] Тем
самым целый ряд новых стратегий оказался
слабодоминируемым посредством стратегии 25.
Применим постулат снова, итеративное применение того же
самого постулата, и вычеркнем эти стратегии.
Итак, каждый из игроков в эту игру, каждый из подопытных кроликов (а опытов,
кстати, ставилось очень много, и про них я в этом сюжете расскажу чуть позже),
каждый из них думает так: угу, ну среднее...
все понимают, что среднее пополам не больше 50, значит,
никто не будет писать 51, ..., 100, но в этом случае понятно, что среднее окажется
уже само не больше 50, значит среднее пополам окажется не больше 25.
Так что я буду писать 26, ..., 50, я не буду их писать.
Тогда я лучше уж напишу 25.
Тем самым, мой выбор ограничивается уже выбором 1, 2, ..., 25.
То есть я выкинул еще добрую половину всех имеющихся стратегий.
Но и это не конец истории, правда?
Потому что если каждый так рассуждает, если каждый считает, что так как все
остальные не выбирают стратегии 51, ..., 100, то среднее пополам не больше 25,
а значит, я сам не буду выбирать 26, 27, ..., 50, то он может пойти на шаг вперед и
сказать: так, но ведь мои соседи думают ровно, как я.
Значит, они тоже не будут применять стратегии 26, 27, ..., 50, так же,
как и 51, ..., 100.
А в этом случае среднее пополам окажется не большим, чем 12,5.
И в таком случае можно из списка удалить стратегии 13, 14, ...,
25, потому что 12 будет не дальше,
никак не дальше, чем вот эти числа в любом случае.
Даже если среднее пополам будет прямо 12,5,
13 и 12 дают одинаковую близость, ну и поэтому можно выкинуть 13.
Тем более, можно выкинуть 14, 15, ..., 25.
Итак, в силу того, что все такие умные не называют чисел от 51 до 100,
и все это понимают, а поэтому не называют и чисел от 26 до 50,
мне не нужно называть чисел от 13 до 25.
Но если все такие же умные, как я, то никому не нужно.
И тогда все стратегические множества превращаются в множества чисел от 1 до 12.
А на следующем шаге от 1 до 6.
В соответствии с ровно такой же логикой,
только повторенной много раз: итеративное доминирование,
то есть это называется итеративное исключение доминируемых стратегий.
Исключаем доминируемые стратегии на первом шаге, потом, понимая,
что все для себя решили, что никто их не применяет, на следующем шаге тоже
исключаем доминируемые стратегии, уже новый список, повторяем много раз и
приходим к единственному возможному исходу: а именно все стратегические
множества оказываются одноэлементными и содержат только стратегию 1.
Тем самым, исход игры, который мы предсказываем,
если мы пользуемся тем постулатом об удалении слабодоминируемых стратегий,
исход игры ровно 1, в каждой тетрадке написано число 1,
и все одинаково близки к среднему пополам, равному 1/2.
Классическая теория игр прогнозирует здесь такой исход.
Теперь причем тут Гарвард, и вообще что происходит в реальности?
Ну понятно, что в реальности ни в одной аудитории За все время проведения
этого эксперимента ни у меня, ни у какого-либо другого профессора по
теории игр никогда не было такого, чтобы все называли единицу.
Ну, причин здесь много.
Одна причина в том, что, может быть, не все до конца продумывают ситуацию.
Но более важная причина в том, что не все верят в то,
что все остальные будут достаточно рациональными.
Например, пусть я это все понимаю.
Пусть я — обученный теории игр персонаж,
который играет со ста какими-то еще персонажами.
Я про них считаю, что они не очень умные.
Я не буду называть 1, потому что я понимаю, что они-то не будут вычеркивать
вот так вот подряд вот порциями: эту порцию, потом эту порцию.
Где-то они остановятся и решат: «Ну ладно, мне достаточно числа 13.
Наверное, я угадаю».
Но если так, тогда я угадаю число в 6.
Тогда мне тоже не надо писать 1.
То есть если я разрушаю предположение о том, что все бесконечно глубоко
продумывают и бесконечно рациональны в своих принятиях решений,
то моя стратегия будет уже не 1, а какая-то другая.
И это будет противоречие в классической теории игр, но вот что есть, то есть.
В любой аудитории, в которой я когда-либо проводил, числа были другие.
Кто-то называл 1, да, но кто-то называл 37, а кто-то вообще 99 называл.
Уж я не знаю, по какой причине.
Значит, теперь наблюдения в Америке состоят в том,
что в главных университетах типа Гарварда, это число было сильно меньше,
чем в разных второстепенных.
То есть когда разыгрывалось в аудитории, то в аудитории такой не очень
интеллектуальной вот это среднее, ну или среднее пополам,
оказывалось больше, чем в аудиториях, где учатся самые сильные студенты.
Ну и стали считать, что это такой как бы индекс интеллекта данного университета.
В Гарварде это среднее значение колебалось где-то...
среднее пополам колебалось где-то в районе 7–8, на момент,
когда я читал в Независимом университете теорию игр 11 лет назад.
В Независимом университете оно оказалось равным 4.
Ну так или иначе, что называется, я не настаиваю на этой интерпретации,
но факт есть факт.
Никогда в жизни оно не было нигде меньше, чем 4 из известных мне экспериментов.
Самое минимальное значение этой величины было в аудитории в Независимом
университете в 2004 году весной.
Вот такая вот игра.
Но с ней связаны несколько вопросов,
а именно: ну вот мы вычислили этот исход,
верно ли, что он равновесный по Нэшу?
Это первый вопрос.
А второй вопрос: верно ли, что на самом деле, когда
мы вычеркивали стратегии доминируемые, мы равновесие по Нэшу не теряли?
Ну вот о связи равновесности по Нэшу, определение которой я еще не дал,
и решений по доминированию,
о которых мы здесь говорили, мы поговорим как раз в следующем сюжете.
