Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Формальное определение проективного пространства
Loading...
来自 Moscow Institute of Physics and Technology 的课程
Геометрия и группы
21 个评分
从本节课中
Проективная геометрия
与讲师见面
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
[БЕЗ_ЗВУКА] Итак,
мы с вами доросли до того,
чтобы ввести формальное определение проективного пространства.
Давайте вооружимся каким-нибудь полем.
То есть какой-то системой чисел.
Эта система чисел, в которой мы можем складывать, вычитать,
умножать и делить по обычным правилам.
Какие мы знаем поля?
Вещественные числа знаем,
комплексные числа знаем.
В принципе, мы знаем кватернионы, но это не совсем поле.
Там умножать-делить можно, но умножение не коммутативное,
и из-за этого проективные пространства бывают левые и правые.
В такие тонкости я сейчас не хочу вдаваться.
Поэтому кватернионы мы оставим немножко в стороне.
Зато хочу отдельно ввести поле рациональных чисел.
Проективное пространство над рациональными числами — это очень важная конструкция.
Это очень важный математический объект.
Ну и бывают конечные поля, например, разные остатки по модулям,
то есть остатки от деления на простые числа, например, простейшие конечные поля.
Ну вот давайте вооружимся одним из этих полей.
Назовём его K.
Тогда определение состоит в следующем,
что n-мерным проективным
пространством K P
n над над
полем K называется
множество прямых в
обычном n +
одномерном пространстве,
то есть в линейном пространстве n + 1 измерений.
На единицу большей размерности.
Тем самым как можно ввести координаты?
Как можно пощупать одну точку проективного пространства?
Точка проективного пространства — это прямая, причем прямых каких?
Линейных подпространств размерности 1, то есть прямых, проходящих через 0.
Прямо так и напишем.
Проходящих через точку (0, 0,..., 0).
Не абы каких аффинных прямых, а вот именно линейных подпространств размерности 1.
Вот 0 и вот прямая.
Ну вот этот объект нарисованный — это одна точка в проективном пространстве.
Вот это другая точка.
Это третья.
Видно, что, например, в вещественном случае можно сразу ввести расстояние.
А ну там надо проверять, конечно, что оно удовлетворяет всем аксиомам,
но можно ввести расстояние как угол или какая-нибудь характеристика этого угла
между прямыми.
Чем ближе прямые, тем меньше будет расстояние между
соответствующими точками нашего проективного пространства.
Ну вот скажем тогда, что давайте теперь пощупаем это все.
Пощупаем, скажем, RP1.
Ну что такое RP1?
Что это?
Мы говорили, что это прямая, к которой прибавлена точка на бесконечности,
но как это соотносится с формальным определением, которое мы дали?
А вот как: у нас есть плоскость — это R2,
и есть точка (0, 0) на ней, и через нее проходит куча прямых.
И каждая из этих прямых является одной точкой в проективной прямой.
Вот эта прямая — это точка.
Как увидеть, что это то же самое,
что это есть обычная прямая и некоторая точка на бесконечности?
Очень просто.
Нужно провести прямую, которая вот так вот пройдет,
на плоскости нарисовать прямую, не проходящую через эту точку (0, 0).
И тогда каждой точке нашей проективной прямой, то есть каждой прямой,
проходящей через 0, соответствует одна-единственная строго определенная
точка на вот этой синей прямой, кроме параллельной вот этой вот параллельной.
Вот эта параллельная прямая как бы и обозначает точку на бесконечности.
То есть вот эта самая бесконечность — это вот эта прямая,
рассматриваемая как точка проективной прямой формально вот этого определения.
И вот этот язык — он полностью снимает все
те ощущения гуманитарности, которые были,
когда я вводил понятия, что мы к прямой прибавляем что-то на бесконечности,
а на плоскости мы к каждому направлению прямых прибавляем что-то на бесконечности.
Давайте посмотрим на RP2 в этом смысле.
RP2.
Что такое RP2?
Это множество прямых в трехмерном пространстве.
Ну давайте представим себе точку (0, 0, 0).
Представили?
Представили.
Теперь мы через эту точку проводим всевозможные прямые.
Ну их там довольно-таки много через эту точку проходящих в разных
направления тут получается.
Как увидеть, что это плоскость, к которой что-то пририсовано?
Давайте посмотрим.
Давайте возьмем опять плоскость, которая вот так вот расположена,
где-то она лежит, но она не проходит через вот эту вот точку.
Вот она лежит.
Ну представьте себе ее параллельной земле, вот эту плоскость.
Когда мы видим опять, что почти все прямые имеют ровно одну точку
пересечения с этой плоскостью, почти все.
Ну как почти все?
Ну уже кроме довольного большого числа прямых.
Каких?
А которые лежат в плоскости, параллельной данной, но проходящей через точку (0,
0, 0).
То есть каждая прямая, обозначающая точку проективной плоскости вещественной,
каждая прямая, кроме прямых, лежащих в этой плоскости,
пересекает в одной и только в одной точке нашу вот эту вот
висящую параллельную земле плоскость.
Но при этом есть еще вот то, что мы видим здесь в этой плоскости,
есть еще целый пучок вот таких вот прямых, которые не пересекают эту плоскость нигде.
И вроде как можно действительно считать, что каждая такая прямая соответствует
некоторому пучку параллельных прямых на соответствующей плоскости.
И в этом точном смысле мы говорим, что вот эта вот дополнительная
точка проективной плоскости, которая обозначается прямой,
данной прямой, она соответствует направлению
параллельных этой прямой прямых, лежащих в обычной плоскости верхней,
то есть каждому направлению соответствует одна точка на бесконечности.
Это то, что мы проговаривали, когда я изображал обычные движения,
в частности, параллельные переносы, с помощью проецирования.
Я вносил точку на бесконечность и проецировал оттуда.
Теперь ясно, что я имел в виду.
То есть формальная конструкция здесь такова, что бесконечными точками
являются прямые, которые лежат в плоскости параллельной рассматриваемой,
а все остальные точки проективной плоскости — это прямые,
проходящие через 0 не параллельно ей,
поэтому имеющие ровно одну точку пересечения с вот этой.
Ну вот, соответственно, эта плоскость, если к ней прибавить по периметру
кучу бесконечно удаленных точек, получится проективной плоскостью.
Ну и видно, что в общем-то, что это такое?
Все эти прямые образуют по определению как раз RP1.
Поэтому RP2 — это R2, к которой еще аккуратно по
периметру приклеено RP1 в точном смысле слова, который здесь изображен.
И вот эту конструкцию можно продолжать,
то есть можно представить себе многомерную ситуацию.
В этой многомерной ситуации будет все то же самое.
RPn будет равно Rn, к которому аккуратно
приклеивается некоторым специальным образом RP(n − 1).
С вещественной ситуацией понятно.
Ситуацию конечных полей я не буду комментировать — это отдельные курсы,
это курсы по теории чисел и алгебраической геометрии.
Рациональные точки и рациональные проективные пространства — это тоже,
вообще говоря, относится к теории чисел, но я прокомментирую,
что мы когда говорим про рациональную проективную плоскость, что мы имеем виду?
Мы имеем в виду прямые, которые проходят через целые точки.
Можно сказать, что рациональные точки, но прямая,
проходящая через точку с тремя рациональными координатами,
— это то же самое, что прямая, проходящая через точку с тремя целыми.
Просто умножьте на общий знаменатель,
и там где-то вдали на этой прямой вы найдете точку с тремя целыми координатами.
Поэтому тут можно как сказать?
Можно сказать, что...
Это утверждение я предлагаю всем глубоко продумать.
Что такое рациональная проективная плоскость?
Это множество всех прямых,
на которых существует точка с тремя целыми координатами.
Вот это совершенно строгое определение.
А что такое рациональная проективная прямая?
Это множество прямых на плоскости, которые проходят через какую-то точку с целыми
координатами, то есть не все вообще прямые.
На некоторых прямых нет ни одной точки с целыми координатами.
На некоторых есть.
Ну то же самое, что тангенс угла наклона — рациональное число,
ну и бесконечная наклоненная прямая, вертикальная прямая тоже входит.
Она проходит через точку (0, 1), тем самым она подходит.
Эта прямая, проходящая через целую точку и обозначающая
какую-то точку рациональной проективной прямой.
И преобразования,
которые рассматриваются в проективной геометрии,
они сохраняют рациональность, они устроены таким образом,
что они иррациональные точки переводят в рациональные.
И вот это вот важнейшее обстоятельство помогает решать некоторые
диофантовы уравнения.
Надо постепенно переходить к преобразованиям проективным.
Поговорим мы об этом вначале на примере прямой, а потом и в общем случае.
А после этого мы посмотрим,
как с помощью проективной геометрии строится расслоение Хопфа,
для этого нужно будет рассмотреть случай C, которого мы пока еще не касались.
Вот это вот такой небольшой план на следующую неделю.
