[БЕЗ_ЗВУКА] Кватернионы и вращения сферы.

[ЗВУК]

[ЗВУК] Давайте

я немножко расскажу про историю этого сюжета.

Она состоит из двух различных

взглядов на комплексные числа,

а именно один взгляд состоит в том,

что комплексные числа — это пополненные действительные.

То есть у нас есть обычная вещественная прямая,

и мы рассматриваем двумерную плоскость как это

линейное пространство над вещественными числами, двумерное.

И внутри такой плоскости, понятно, можно точки называть векторами,

если их из нуля начинать.

Тогда мы складываем точки, и возникает вопрос,

можем ли мы научиться эти точки умножать, то есть можем ли мы,

помимо сложения векторов, еще и умножать вектора по правилам,

аналогичным правилам с действительными числами, с вещественными.

И ответ — да, мы строим комплексные числа, которые как линейное

пространство над вещественными являются двумерными.

Это такой первый взгляд на комплексные числа.

А другой взгляд, который, естественно,

с этим взглядом непосредственно связан, он такой,

что мы описывали движения окружности.

И движения окружности были двух типов: которые меняют направление и не меняют.

Те, которые меняли направление, были отражением, те, которые не меняли,

были поворотами.

И мы эти повороты на самом деле

можем просто задать с помощью умножения на комплексные числа определенного вида.

На какие?

Ну вот чтобы это было движением, чтобы расстояния сохранялись,

нам нужно, чтобы комплексное число по модулю было равно 1.

То есть на самом деле что такое множество всех поворотов окружности?

Это по сути множество всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и всё.

И фактически и окружность сама по себе — это то же самое.

То есть смотрите, каждой точке окружности соответствует один поворот, а именно

на соответствующий угол, который является ее аргументом как комплексного числа.

Есть взаимно однозначное соответствие между поворотами окружности,

между точками этой окружности, и между комплексными числами, по модулю равными 1.

Поворот просто состоит в том, что мы домножаем на комплексное число.

Все точки окружности как комплексные числа домножаем на это комплексное число.

А точки окружности живут на плоскости,

поэтому они сами тоже какие-то комплексные числа.

Любая точка окружности живет на этой плоскости,

поэтому может быть представлена как комплексное число.

Можно умножить это на фиксированное комплексное число,

и получается поворот на аргумент соответствующего угла.

То есть мы описали повороты окружности комплексными числами, по модулю равными 1.

Еще, значит,

есть такой третий способ представить комплексные числа,

про который тоже надо упомянуть.

Комплексные числа если мы их представляем

себе как преобразования плоскости,

эти комплексные числа — это поворот,

совмещенный с растяжением.

Поворотные гомотетии.

Такой даже термин есть — поворотные гомотетии.

Комплексные числа — это поворотные гомотетии, все поворотные гомотетии.

И можно таким образом их задать, каждое такое преобразование линейно,

соответственно оно задается какой-то матрицей.

Вопрос: как выглядят матрицы соответствующих поворотных гомотетий?

Вот есть комплексное число какое-то a + bi, мы на него домножаем.

Как выглядит матрица этого преобразования домножения на такое комплексное число?

Матрица преобразования показывает, в какие вектора переходят базисные вектора

и раскладывают те вектора, в которые они перешли, по исходному базису.

Но оказывается, что получаются матрицы следующего

вида: (a b −b a).

Вот такие вот матрицы 2 x 2.

Вот такая матрица изображает вот такое комплексное число.

И если я перемножу две такие разные матрицы,

я получу композицию двух преобразований, которую они задают.

Каждое из них задает поворотную гомотетию,

композиция тоже будет поворотной гомотетией.

Это геометрическое выражение того факта,

что при умножении комплексных чисел перемножаются модули, то есть длины,

и складываются аргументы, то есть углы, на которые отклоняются.

Если я по формулам умножения матриц обычным из линейной алгебры перемножу эти

две матрицы, то у меня получится матрица здесь тоже 2 x 2,

которая будет вот именно по такому же правилу соответствовать

произведению двух комплексных чисел.

То есть, по сути, это просто другой способ увидеть комплексные числа.

Это изоморфизм.

Существует изоморфизм между множеством всех матриц 2 x 2

конкретно такого вида, когда нижняя строка полностью определяется

верхней и задается вот так: минус второе число и первое.

Между двумерным семейством матриц 2 x 2 такого специального вида

относительно сложения и умножения, умножение делается как умножение матриц,

и множеством просто всех комплексных чисел, существует строгий изоморфизм.

Каждой такой матрице соответствует комплексное число, сумме матриц

соответствует сумма комплексных чисел, произведению — произведение.

То есть это другое представление комплексных чисел.

Итого, суммируем, что мы про комплексные числа узнали

и что является рабочим запасом понимания: для чего они, кто они такие и т.д.

Значит, комплексные числа могут быть заданы как a + bi или

соответственно как вектора плоскости.

Это способ научиться умножать вектора плоскости и соответственно с делением.

Это на самом деле геометрически поворотные гомотетии,

то есть если мы каждому числу сопоставляем оператор домножения на него,

то этот оператор — это линейный оператор поворотной гомотетии,

имеет вот такую матрицу и соответственно множество комплексных чисел можно

представить просто как множество таких матриц.

А если мы ограничимся комплексными числами, по модулю равными 1,

то мы получим вместо поворотных гомотетий просто повороты,

то есть движения, сохраняющие вот эту окружность,

то есть собственно вращения окружности, да еще мы можем все вращения

окружности отождествить взаимно однозначно с самими точками окружности.

Отлично, это мы знаем.

А теперь мы ставим задачу: распространить все,

что здесь написано, на ситуацию более высоких размерностей.

Вот, собственно говоря, какая задача решается с помощью кватернионов,

а именно вопрос: если у меня есть трехмерное, четырехмерное, пятимерное,

шестимерное и так далее линейное пространство над вещественными числами,

могу ли я научиться умножать его точки, то есть вектора?

Вектора можно ли умножить по каким-то разумным правилам a1,

a2, a3 на b1, b2, b3, например, чтобы получилось какое-то c1,

c2, c3 и были выполнены все стандартные требования, да еще и делить было можно?

А если не получится с длиной 3, то, может быть, с длиной 4 получится и так далее.

То есть вопрос такой: нельзя ли распространить понятие умножения на

векторы какой-то длины?

Это первый способ мотивировать понятие кватернионов.

Следующий способ мотивировать связан вот с этой интерпретацией,

а именно: у нас есть, например, обычная трехмерная сфера.

У нее тоже есть какие-то там вращения,

какие-то движения, которые ее сохраняют, да еще и ориентацию сохраняют.

И мы хотим выдумать какие-нибудь числа, такие специальные «числа»,

которые соответствуют вращениям трехмерной сферы.

Это следующая мотивация кватернионов.

И можно и через матрицы тоже сказать, что мы хотим выделить какое-то

семейство матриц, но это почти то же самое, что говорить про произведение вот

таких вот векторов, потому что если мы научимся умножать вектора, то каждый

вектор будет соответствовать домножению на себя как линейному преобразованию.

И ему будет соответствовать какая-то матрица.

Если мы имеем дело с трехмерным пространством, то матрица 3 x 3,

если с четырехмерным, то 4 x 4.

То есть мы тем самым ставим задачу о выделении некоторого класса матриц.

Если это матрица 3 x 3, то мы хотим выделить трехмерный класс матриц,

внутри которого можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Если это будет размерность 4, то соответственно четырехмерное семейство

всех матриц, и мы внутри него выделяем все матрицы 4 x

4 — их пространство 16, а мы хотим

выделить четырехмерное подпространство, внутри которого можно умножать и делить.

Вот это описание всех мотиваций понятия кватерниона.

И сейчас мы постепенно будем переходить к тому, как, во-первых,

это исторически было выдумано понятие, и дальше мы будем развивать просто вот

эту алгебру кватернионов, множество всех кватернионов с умножением, делением.

И соответственно постепенно перейдем к тому,

как с помощью кватернионов можно описать вращение сферы.

Кватернионы: постановка задачи.

Геометрия и группы

与讲师见面