Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Аффинное пространство. Дальнейший план курса.
Loading...
来自 莫斯科物理科学与技术学院 的课程
Геометрия и группы
15 评分
从本节课中
Нормальные подгруппы и факторгруппы
与讲师见面
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
Итак, я сейчас расскажу примерно, о чем будет вторая половина курса,
чтобы иметь в голове некий якорь.
Значит, смотрите.
Мы изучали движения.
Движения – это преобразования, которые сохраняют расстояния.
Расстояния – это то, что нам дано, в общем-то, от рождения в ощущениях.
Но на самом деле, не так все просто.
На самом деле, в многомерных пространствах расстояния приходится вводить довольно
хитрым образом с помощью понятия скалярного произведения,
и выстраивать всю нашу интуицию, как бы встраивать, в этот математический язык.
Ну так или иначе это делается, и на основе определенной техники оказывается,
что и в более высоких измерениях можно изучать группу
движений и каждый раз будет оказываться так, что...
ну вот мы изучаем группу движений...
чего? Мы изучаем группу движений либо
пространства как такового...
А что такое пространство?
Это, ну почти что многомерное пространство векторов строк,
единственное что в нем забыто начало координат.
И вот что значит «забыто начало координат»
описывается понятием аффинного пространства.
Аффинное пространство – это просто множество точек,
между которыми существуют вектора.
Эти вектора можно складывать с точками.
Значит, точка + вектор = точка.
Вектор + вектор = вектор.
А точка − точка = вектор.
И вот это такой, как бы,
причудливый способ складывать задает структуру аффинного пространства.
И теперь мы говорим, что есть некоторая группа преобразования аффинного
пространства, которая на векторах действует линейно.
И вот движение – это некторая подгруппа преобразований аффинного пространства,
действующая линейно на векторах.
Дальше, в этой группе есть некоторая подгруппа,
которая является подгруппой параллельных переносов.
Что это за преобразование?
На самом деле параллельный перенос можно определить так: это преобразование,
которое на векторах не действует никак, то есть переводит вектор в равный ему.
Поэтому получается следующее: группа переносов является
подгруппой в группе всех преобразований нашего аффинного пространства или в группе
всех движений аффинного пространства (мы пока еще не знаем других), ну, точнее,
мы уже чуть-чуть знаем подобия, но пока я говорю о движениях.
И можно доказать утверждение нормальности этой подгруппы.
Что такое нормальность, мы еще будем более внимательно изучать в дальнейшем.
Значит, подгруппа переносов – нормально, можно взять факторгруппу и факторгруппа
окажется просто обычной группой ортогональных преобразований, сохраняющих
окружность на плоскости или сохраняющих сферу в пространстве и так далее.
Это ортогональная группа, хорошо известная геометрам их теория групп Ли.
Некоторые частные случаи можно прямо полностью изучить,
это все преобразования сферы описать обычные и мы этим займемся.
Дальше мы сделаем следующее: мы придумаем некоторые числа,
которые задают вращение сферы.
То есть когда мы расклассифицируем все движения сферы,
мы зададимся вопросом: можно ли по аналогии с тем, что окружность,
вращение окружности, это умножение на комплексные числа модуля 1,
можно ли выдумать какие-то такие специальные числа, такие,
что если мы возьмем число по модулю равное единице,
то оно как раз при умножении на себя задает, в каком-то смысле, вращение сферы.
Оказывается, что да, но это будет очень не просто.
К этому будет довольно длинный путь.
Числа будут называться кватернионами.
Они не будут коммутативными, как и вращение сферы тоже неперестановочной, и,
кроме того, паре кватернионов (q и −q) будет соответствовать одно
и то же вращение сферы – еще и такое усложнение будет.
Значит, после того как мы поговорим про кватернионы и связанные с ним конструкции,
мы естественным образом перейдем с одной стороны, в топологию,
а с другой стороны – в проективную геометрию.
И мы изучим и то, и другое.
Мы изучим начальную топологию, некоторые конструкции,
такие как расслоение Хопфа, знаменитые результаты типа теоремы Брауэра,
– они все ложатся в эту эрлангенскую канву.
Ну и с другой стороны, мы поговорим о проективной геометрии,
о проективных преобразованиях.
То есть преобразованиях еще более общих, чем аффинные.
Даже чем не только движения, а чем вообще любые преобразования,
которые на векторах действуют линейно.
То есть такая большая-большая группа, которая на векторах
совпадает с группой просто всех замен координат,
но она еще больше, потому что в нее еще включаются переносы и все,
что получается композицией переносов и вот таких замен координат – аффинная группа.
Так вот проективная группа еще шире и еще богаче.
Более-менее, это преобразования, которые переводят прямые в прямые,
и проективные преобразования можно изучать с помощью координат,
переходя в пространство размерности на единицу большее, чем изучаемое.
А можно какие-то вещи изучать даже кустарным образом,
на уровне проектирования преобразования прямой и плоскости, можно изучать
исходя из наглядных неких соображений и это тоже мы проговорим.
То есть дальнейший план состоит в том, чтобы во-первых,
ликвидировать безграмотность, возможно, существующую у слушателей
по поводу нормальных подгрупп и факторизации.
Затем на этой основе описать кватернионы и то,
как они действуют на сфере, то есть то,
как кватернионы позволяют задавать вращение сферы.
И дальше мы поговорим про группы проективных преобразований и проективной
геометрии с одной стороны, и про общую топологию и основные базовые результаты в
общей топологии, то есть про группу гомеоморфизмов в группе преобразований,
в которой единственное что требуется – чтобы не было разрывов и склеек.
Такая очень широкая группа преобразований.
Вот это, собственно, описание следующей половины курса.
И вместе это будет такой начальный курс геометрии.
