Отступление.

Продолжение ликвидации безграмотности по теории групп.

Нормальные подгруппы.

Итак, есть какая-то группа G, совершенно абстрактная.

Можете, в принципе, для начала, наверное, просто ее представлять как

конечное какое-то множество с операцией, то есть считать, что она конечна, хотя то,

что сейчас будет происходить, не зависит от этого предположения.

И есть какая-то подгруппа.

И подгруппа означает,

что единичный элемент содержится, значит, в ней и что,

если я взял любые элементы из подгруппы и стал их

друг на друга умножать, то мы не вылезаем за пределы подгруппы.

То есть, вообще говоря, если я взял какое-то подмножество в группе, понятно,

что при умножении элементов внутри него, мы можем за него вылезти — это

будет в группе G лежать, но уже не в этом подмножестве.

Так вот, подгруппа — это ситуация, когда, это такое подмножество,

в котором мы не вылезаем за его предел.

Ну и, кроме того, для любого элемента отсюда обратный тоже лежит здесь.

Вот здесь, кстати, предположение конечности группы G,

предположение конечности помогает как бы упростить требования.

Достаточно требовать, чтобы все произведения элементов отсюда оставались

здесь же, потому что для конечной группы такая простая групповая

арифметика говорит о том, что любой элемент, он имеет конечный порядок.

То есть ну вот берем какой-то элемент a, его a на себя умножаем,

на себя два раза, три раза, четыре раза и так далее, вот.

И в конце концов у нас происходит такое вот зацикливание, и на самом деле

после минимального использования абстрактных аксиом группы, делается вывод,

что у элемента a конечный порядок, то есть он в какой-то степени просто дает e.

Поэтому если элементы внутри подгруппы не выводят за пределы подгруппы,

то и e тоже там лежит,

потому что просто в соответствующей степени любой элемент берем и будет e.

А если взять любой элемент в предыдущей степени, перед вот этой вот,

в которой он дает e, то получится обратный к нему элемент.

Поэтому обратный тоже автоматически там лежит.

Значит, для конечных групп, чтобы проверить, что некоторое множество

является подгруппой, достаточно просто взять и проверить, что все все попарные,

значит, композиции остаются внутри этого подмножества и все.

Но для бесконечных нужно уже проверять аккуратно все — проверять,

что e там и что обратный там помимо композиций.

Хорошо, вот подгруппа.

Значит, собственно, определение, определение.

H нормально — вот так обозначается,

— нормально,

если для любого g из G,

для любого элементика g из группы G,

левый сдвиг подгруппы H,

левый, совпадает с правым сдвигом, но на тот же самый элемент.

То есть если я взял вот, значит,

каждый элемент из подгруппы и домножил слева на g, получилось какое-то,

значит, какое-то подмножество в группе, уже совершенно не обязательно подгруппа.

Более того, как правило, подгруппа не будет, если g не взят сам из этой H.

И я могу сдвинуть и направо тоже.

И вот эти два подмножества, они, вообще говоря, совпадать не обязаны.

И подгруппа называется нормальной, если они всегда совпадают.

Значит, я сейчас буду несколько эквивалентностей писать,

которые все являются упражнениями.

Это эквивалентно тому, что gHg в −1-й = H для любого g из G.

Это все тривиальное упражнение с групповыми аксиомами.

Вот.

Теперь лемма, лемма.

Если φ

из G в G1

гомоморфизм групп,

то ядро,

его ядро Ker — обозначается Ker φ,

— которое просто состоит из всех таких элементов G,

что φ(g) переходит вот в единицу вот этой вот группы.

Так вот, вот это ядро обязательно нормально

в группе G.

Это очень простая лемма, ее каждый из вас докажет.

А вот более сложная, обратная.

Обратно: для любой нормальной

подгруппы существует

группа G1

и гомоморфизм,

гомоморфизм — отображение,

сохраняющее операцию, — гомоморфизм,

значит, ψ из G в G1 такой,

что ядро этого ψ совпадает с нашей H.

Вот, вот это, собственно, основная теорема такой вот начальной теории групп.

И нормальность — это основное понятие начальной теории групп.

Значит, если идет совершенно абстрактная групповая ситуация,

есть какая-то подгруппа, то нормальность это значит,

что когда я сдвигаю ее на разные элементы из группы G,

я получаю одно и то же разбиение на классы, сдвигаю я направо или налево.

Это то же самое, что, значит, вот такое сопряжение

любым элементов нашей подгруппы приводит к ней же,

а не к какой-то другой подгруппе.

И что на самом деле это то же самое, что H является ядром какого-то гомоморфизма.

Причем в одну сторону это очень просто: если H является ядром какого-то

гомоморфизма, то оно обязательно нормально — это, вот это упражнение легкое,

каждый из вас его проделает.

А в обратную сторону это некоторая конструкция.

Этой конструкцией надо заниматься.

Значит, для того чтобы построить эту конструкцию,

нужно рассмотреть вот как раз множество вот таких вот сдвигов,

множество сдвигов и научиться умножать их друг на друга.

Значит, я это расскажу вам,

но прежде хочу привести конкретный пример, который как бы объяснит, что происходит.

Вот у нас группа есть S3, в группе S3 у нас есть тождественная,

цикл 12, цикл 13, цикл 23, то есть транспозиции — замены двух.

И два тройных цикла: 123 и 132.

То есть это вот шесть перестановок, в группе перестановок на трех элементах.

Эта перестановка меняет первые два местами, третий оставляет на месте,

это и это — аналогично с двумя другими парами.

А эти два — по кругу меняют.

И есть некоторая подгруппа H,

которая состоит из e и 12.

Докажите следующее утверждение.

Упражнение.

Пункт a.

Пункт a и b — они примерно об одном же.

Пункт a.

H — ненормально.

Ну что значит «ненормально»?

Конечно, так в алгебраических книгах не пишут — «ненормально».

Имеется в виду, что если вы возьмете какой-нибудь элемент не из нее, а, скажем,

цикл 13, вот эту транспозицию, и сдвинете налево,

а потом с помощью того же цикла направо, то это получится две разные,

это два разных будет, значит, подмножества внутри S3.

Это будет два разных подмножества.

А пункт b еще более категоричен, как бы он еще более категоричен,

пока мы не доказали вот это обратное утверждение.

Пункт b такой: пусть φ из S3 в какую-то

группу G — любой гомоморфизм,

любой гомоморфизм со свойством,

что φ от нашего вот этого вот,

вот от транспозиции 12 = e,

то есть переводит 12 в тождественный элемент вот той второй группы.

Тогда, внимание, бьют литавры —

тогда φ = тривиальному,

φ — это тривиальный гомоморфизм,

который все элементы S3 переводят в e.

То есть для любого, для любой перестановки

из S3 φ от нее будет e.

То есть смотрите, какая жесткость, какая вот возникает жесткость, что у нас есть

группа перестановок на трех символах, есть какой-то конкретный элемент 12.

И оказывает, что если гомоморфизм — не важно, какой гомоморфизм,

как он устроен, меня это не касается.

Важно только то, что это гомоморфизм из группы S3 в какую-то группу G.

То есть он сохраняет композицию — композиция переводится в композицию.

И если я знаю про него, что 12 переводится в тривиальный элемент группы G,

то тогда, на самом деле этот гомоморфизм полностью тривиален,

то есть все шесть элементов просто переводятся в e, и все.

Вот такое удивительное утверждение, я предлагают его вам доказать.

Потому что, когда вы сами это все почувствуете, сами вот пощупаете,

вы поймете.

Вот, смотрите, это значит, что вот эта группа не может быть ядром гомоморфизма.

Если вот этот элемент лежит в ядре, то вся группа S3 лежит в ядре,

она все является ядром — гомоморфизм тривиален.

Нельзя построить гомоморфизм, в котором ядром является только эта подгруппа.

Вот. Вот эта задача, она как бы прояснит суть,

а эту конструкцию сейчас я, в общем-то, вам опишу.

На следующей неделе мы ее проделаем и вернемся к нашим кватернионам.

Нормальные подгруппы

Геометрия и группы

与讲师见面