[БЕЗ_ЗВУКА] Четвёртая

неделя целиком и полностью посвящена ликбезу в теории групп.

Вначале, откуда группы берутся.

Уже один способ извлечения групп мы поняли,

это нам нужно рассматривать все, грубо говоря, симметрии какой-то фигуры, ну

там все движения, сохраняющие что-нибудь: треугольник, квадрат, окружность, прямую.

Все движения, которые сохраняют что-то, всегда образуют группу.

И в этой связи с треугольником мы с вами ещё поработаем чуть позже.

Чуть позже, потому что группа,

которая является группой «симметрия треугольника», она не очень простая.

Более простые группы выпадают из обычной арифметики,

поэтому давайте начнём с арифметики.

Вот у нас есть сложение, складываем какие-нибудь два числа.

Я не знаю, 126 и 38.

Что мы получаем?

Что-то там получаем, а в конце четвёрка.

Ну я специально не...

Конечно, я могу просуммировать.

Но я хочу обратить ваше внимание, что иногда тест на то,

не было ли ошибки в сложении и умножении,

проводится на основании просто сравнения последней цифры.

Если вам кто-то скажет, что эта сумма равна, например, 151, вы, не проверяя,

скажете ему, что это не может быть, правда?

Потому что последняя цифра 6 + 8 должна быть такая же, как у этого числа.

6 + 8 — это 14, там последняя цифра равна 4.

И возникает такая забавная таблица сложения, которая на одних цифрах.

У нас есть много чисел, бесконечное количество, но цифр всего десять.

Ну и такая вот таблица сложения есть,

когда мы просто указываем только последнюю цифру.

Я не буду её всю здесь записывать,

но идея такая, что эта таблица будет устроена: первая строка такая же,

вторая строка в конце даст ноль, третья строка будет...

То есть мы каждый раз сдвигаем на единицу и хвост перемещаем туда.

2 + 9 = 1, это значит что любое число с последней цифрой 2 и любое

число с последней цифрой 9 обязаны дать число с последней цифрой 1, и никак иначе.

Вот эта таблица может рассматриваться, как некоторая таблица

композиции для вот такой вот группы.

Группа состоит ровно из десяти элементов: 0, 1, 2, ..., 9.

Сложение вот такое, то есть мы забываем все цифры, кроме последней,

и нейтральным элементом является ноль.

Здесь композиция — это сложение,

бывают ситуации когда композиция выглядит как умножение, а бывают — как сложение,

а бывают — как вообще непонятно что, как в случае движений.

В данном случае композиция — это просто сложение.

И тогда, скажем, что такое обратный к 2?

Или нет, «противоположный» мы называем его, если назначаем композицию сложением.

Называем «противоположным» и очень легко найдем, это 8: 2 + 8 = 0.

То есть если число оканчивается на 2 и число оканчивается на 8,

то сумма оканчивается на ноль, а ноль как раз нейтральный элемент в этой группе.

Все правила проверяются элементарно: ассоциативность следует из просто того,

что вообще числа складываются ассоциативно.

Противоположные проверяются, для каждого есть: для нуля — ноль, для один — девять,

девять — один, два — восемь, восемь — два, семь — три, три — семь, четыре — шесть,

шесть — четыре, и пять самообратное, самопротивоположное.

Собственно говоря, вот у вас, пожалуйста, пример группы.

Значит, это очень простая группа.

Что значит простая?

Простая не в том смысле, что в ней простое количество элементов.

Очень просто устроенная, а именно есть некоторый один элемент,

а именно единица, такой, что с выполнением композиций с ним

можно получить все элементы нашей группы, а именно девять раз сложил,

один раз сложил, два раза сложил, три раза сложил, четыре раза сложил и так далее,

и все эти суммы они полностью исчерпывают все элементы нашей группы,

а десять — десятикратное сложение единицы с собой — даёт ноль.

То есть сумма десяти чисел, заканчивающихся на один,

имеет в конце ноль, это и означает, что сумма десяти единиц равна нулю.

То есть это такая вот группа, в которой есть порождающий, как это говорят,

элемент, то есть некоторый элемент, который с помощью степеней себя самого

композиционных породил всю группу g.

Такая группа называется циклической.

Циклические группы бывают любого размера.

Как сделать циклическую группу, например, из семи элементов?

Взять просто остатки по модулю 7.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ну и построить ту же самую таблицу сложения,

это значит, что мы суммируем и берём остаток от деления на 7.

2 + 6 = 1.

Потому что 2 + 6 = 8, а 8 даёт тот же остаток при делении на 7,

что и единица, то есть даёт остаток 1.

Значит, соответственно можно построить для любого числа m...

Мы можем построить вот такие — 0, 1, 2 — остатки просто при делении на m.

И это множество относительно операций сложения и взятия остатка от деления

на m превращается в группу.

Группа эта циклическая в том смысле, что если мы складываем эту единичку с собой

много раз, то мы получаем все элементы нашей группы.

Есть ещё специальная одна такая циклическая группа, которая от них всех

отличается, она бесконечная и называется страшной буквой Z, это все целые числа.

Все целые числа, то есть это когда единица, сколько ни складывай,

никогда не станет нулём, и тогда, если вот в этих всех

группах обратный для 1 был вот этот последний кратный m − 1,

m − 1 + 1 было равно нулю, то здесь уже никакого обратного для единицы,

противоположного единице числа вы не найдёте, поэтому его нужно специально

создавать, называть минус единицей, и все вот эти кратные тоже будут разные.

Классические целые числа и всё.

Просто целые числа относительно сложения являются примером бесконечной

циклической группы.

Любая другая бесконечная циклическая группа, она, грубо говоря,

в точных терминах, которые описывают словом «изоморфизм»,

— об этом мы позже будем говорить — она совпадает с этой группой Z.

Циклически, значит, есть такая образующая, что все её кратные и кратные

её обратного образуют всю нашу группу, и больше ничего в ней.

Хорошо.

Кстати, частный случай циклической группы — это чёт-нечет.

Это просто остатки при делении на 2.

Чётные — это которые, значит, делятся на 2, 0 + 0 = 0,

нечётный плюс нечётный — чётный, и здесь два нечётных.

Это та же самая табличка, что и табличка чёт-нечет, и мы, на самом деле,

видели ещё несколько групп, поразительно похожих на эту,

и точный смысл этой скорости я ещё вам опишу.

А пока я хочу рассмотреть группу более сложного вида,

хотя тоже коммутативную или, как говорят, абелеву, то есть группу,

в которой не важно, в каком порядке компоновать элементы.

И для того чтобы её рассмотреть,

я хочу рассмотреть таблицы умножения остатков.

Итак, таблицы умножения остатков.

Но тут меня сторожит или,

я бы сказал та, стережёт определённая проблема.

Давайте вспомним таблицу умножения,

вы меня простите, просто таблицу умножения обычную, но только будем

записывать только последнюю цифру, то есть будем брать цифры, их умнажать...

Ну ноль, кстати, бессмысленно брать, потому что ноль, на что ни умножай,

всегда ноль получается, поэтому мы рассмотрим вот

эти вот девять цифр и будем их умножать друг на друга.

Вот.

И будем выяснять, а это группа вообще или не группа.

Вот, смотрите, мы можем их умножать.

Нейтральный элемент тоже есть, правда ведь?

Это единица, нейтральный элемент.

Один на что ни умножай, всегда будет то число, на которое вы умножаете.

Значит, вроде бы композиция определена через умножение,

ну а ассоциативность, естественно, верна, потому что это тоже обычные числа,

просто остатки берёте от обычных чисел, уже обычные числа умножаются ассоциативно,

а, значит, и остатки тоже умножаются ассоциативно.

Значит, нейтральный есть, ассоциативность есть, чего ещё надо-то, да?

Так вот надо!

Нужно, чтобы для каждого элемента существовал обратный, который

при домножении на данный элемент давал бы нейтральный элемент, то есть один.

Давайте посмотрим.

У единицы он сам обратный, это понятно, строка здесь будет выглядеть очень просто.

Есть ли обратный у двойки?

Давайте посмотрим, есть ли обратный у двойки.

2, 4, 6, 8, 0.

Смотрите, какая ситуация.

Дважды пять — это ноль, это не один из этих элементов,

то есть вообще на самом деле мы даже операцию уже не можем произвести.

Операцию умножения остатков мы произвести не можем,

потому что дважды пять должно быть ноль, это не одно из этих чисел.

Ну и здесь, значит, опять будет 2, 4, 6, 8, и видно также заодно,

что в этой строке нет единицы, ни одно число при умножении

на 2 не даст последнюю цифру 1, это совершенно ясно, чётность сохраняется.

Число, дающее в конце 1, должно быть нечётным.

А вот у тройки?

У тройки всё хорошо.

Смотрите, у тройки всё прекрасно: 3, 6, 9,

2, 5, 8, 1, 4, 7.

Трижды семь равно один.

Нет проблем, друзья, трижды семь равно один, всё хорошо.

У четвёрки тоже не получится, как и у двойки, по понятным причинам,

потому что чётность.

У пятёрки тоже ничего не выйдет, здесь вообще будет полная порнография,

извините за выражение.

5, 0, 5, 0, 5, 0 и так далее.

Искать здесь единицу — ну где вы её тут найдете?

Тут вообще через раз у вас умножение уводит куда-то за пределы.

У шестёрки из-за чётности не получится, у восьмёрки то же самое.

А у семёрки все получится, строка семёрок,

как легко догадаться, будет противоположной к строке для тройки.

Между прочим, если кто этого не понимает, живо разберитесь в этом сами.

9, 6, 3.

И, пожалуйста, вот у вас тоже для семёрки тройка как бы обратная.

Ну и девятка — это вот та строка.

Итак, смотрите, остатки по модулю 10 по умножению группы не образует,

даже если вы выкинете ноль.

Возникают проблемы: единицу не получить, там обратных нет,

да иногда даже умножение не определено, потому что в ноль приводит.

Значит, наверное, нужно что сделать?

Нужно оставить какие-нибудь правильные остатки.

Что это за правильные остатки?

Подумайте, в следующем сюжете мы все тайны раскроем.

Циклические группы: примеры

Геометрия и группы

与讲师见面