Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Operaciones con números complejos (parte I)
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初级微积分
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Números complejos
Los ceros de la función f(x)=x^2+1, los números complejos, operaciones con números complejos, formas trigonométrica y polar de un número complejo, potenciación y radicación de números complejos.
与讲师见面
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En este vídeo veremos con más detalle, como operar con números complejos.
Como you hemos visto, en algún ejemplo del vídeo anterior, podemos sumar
y multiplicar números complejos obteniendo como
resultado de nuevo un número complejo.
Además, veremos que estas dos operaciones cumplen las mismas propiedades
que la suma y el producto en el conjunto de números
reales, que habíamos visto en el primer vídeo del curso.
Para sumar números complejos, por ejemplo, para sumar los números a más bi y
c más di, simplemente sumamos las partes
reales, para obtener la parte real del resultado,
sea sumamos a más c para obtener la parte real del resultado y sumamos las
partes imaginarias, o sea, b y d, para obtener la parte
imaginaria del resultado. Para multiplicar
dos números complejos, como por ejemplo, a más bi y c más di,
simplemente los multiplicamos como si fueran dos polinomios,
donde en lugar de una x ahora aparece una i.
Así este producto se puede expresar como, a por c más a por di,
más bi por c. Y
finalmente, más bi
por di. A continuación,
como sabemos que i al cuadrado, es igual a menos uno sustituimos
en este sumando i al cuadrado por menos uno.
Y obtenemos, a por c más a por d por i,
más c por b por i, menos b por d. A
continuación, agrupamos este término y éste
término que no contiene el factor i
y agrupamos estos dos términos que
contienen el factor i, sacando factor
común i. Y así, hemos obtenido el resultado,
donde estos dos sumandos constituyen la parte
real, del número complejo resultado y estos dos sumandos constituyen
su parte imaginaria. De esta forma, hemos obtenido
la siguiente fórmula, aunque a veces puede ser más fácil
realizar todo el proceso que acabamos de ver en lugar de intentar memorizarla.
En los ejercicios que haremos a continuación, realizaremos los productos
siguiendo este proceso en lugar de aplicar directamente la fórmula.
Por ejemplo, en este primer ejercicio realizaremos el producto como
acabamos de ver. Así tenemos que este producto se puede
expresar como dos por un tercio, son dos tercios, dos por dos i, o
sea, más cuatro i, menos cinco cuartos i por un tercio.
Por lo tanto, menos cinco dividido,
cuatro por tres es doce i, y finalmente, menos cinco
cuartos por i, multiplicado por dos i, esto es igual a
menos cinco por dos es diez, i al cuadrado dividido
por cuatro. Sustituimos i al cuadrado por menos uno
y obtenemos dos tercios, más cuatro i,
menos cinco dividido por doce i, más diez dividido por cuatro,
que podemos simplificar y escribir como, cinco dividido por
dos. A continuación, agrupamos los términos que
no tienen i, y los términos que contienen el factor i.
dos tercios más cinco medios, sería la parte
real y la parte imaginaria cuatro menos cinco
dividido por doce por i.
Realizamos la suma de estas dos fracciones y obtenemos
unificando el denominador, seis, cuatro más
quince y sumamos estas dos fracciones de nuevo unificando
el denominador, doce, cuatro por doce menos
cinco por i y así finalmente, tenemos
diecinueve dividido por seis, más, realizamos
este producto y esta resta, cuarenta y tres dividido por doce i.
Y hemos obtenido el número complejo que es el resultado del
producto de estos dos números complejos iniciales.
En este segundo ejercicio, se trata de resolver la siguiente ecuación, obteniendo
el número complejo z que satisface la igualdad, para ello, pasamos todos
los términos que tengan z para un lado de la igualdad y
los términos que no contengan z al otro lado de la igualdad.
Empezamos escribiendo esta igualdad como: dos z, más cinco
i menos cuatro es igual a z dividido por tres menos i dividido por tres,
menos cuatro dividido por tres y ahora sí
pasamos este término que contiene z al otro
lado de la igualdad, y escribimos dos z menos z dividido por tres es igual a menos
i dividido por tres, menos cuatro dividido por tres, menos cuatro i más cuatro.
Sacamos factor común
a la z y podemos escribir, esta expresión como z, por dos menos un tercio.
En este otro lado de la igualdad, agrupamos los términos que no
tienen el factor i y los términos que contienen el factor i.
Así podemos escribir esta expresión como, menos cuatro dividido
por tres más cuatro, menos i dividido por tres menos cinco i.
Realizamos esta diferencia de dos fracciones,
unificamos denominador tres, seis
menos uno. Realizamos de nuevo esta suma de
fracciones unificando denominador tres, menos cuatro más, cuatro por tres, doce.
Y ahora, unificamos estas dos fracciones, unificando denominador
y sacando factor común a la i. Y obtenemos, menos
uno, menos quince. Así tenemos, z
multiplicado por cinco tercios,
es igual a, ocho dividido
por tres, más menos dieciséis
dividido por tres i.
Como en la igualdad tenemos fracciones con el mismo denominador, estas se pueden
cancelar y podemos escribir esta igualdad como: cinco z es igual
a ocho menos dieciseis i, despejamos la z, pasando el cinco
dividiendo y tenemos que z es igual a ocho dividido por cinco menos dieciséis
dividido por cinco i.
Y así hemos obtenido el número complejo z que satisface la ecuación inicial.
Diremos que dos números complejos son iguales si las partes reales
son iguales y las partes imaginarias también son iguales.
O sea, es equivalente decir que dos números complejos
son iguales, a decir que las partes reales, en este
caso a y c son iguales y las partes imaginarias b y d son iguales.Veamos
ahora como resolver el siguiente ejercicio donde se trata de
calcular los valores reales de x e y, para los cuales se cumpla
la siguiente igualdad. Primero realizamos este producto, o sea,
podemos expresarlo como dos x menos dos i,
más x por i menos i al cuadrado
y esto sera igual a y más tres i. Sustituimos i al cuadrado por
menos uno y así obtenemos dos x menos dos i, más
x por i, más uno es igual a y más tres i. En esta
parte de la igualdad unificamos los términos que no tengan
i y después unificamos los términos que contengan i.
Así tenemos dos x más uno, es la parte real y más
x menos dos por i esta sería la parte imaginaria.
Este número complejo sería número complejo y más tres i.
Para que estos números complejos sean iguales,
la parte real debe ser igual a la parte real, y las partes
imaginarias también deben ser iguales. Si podemos
escribir que dos x más uno debe ser igual a y, y
x menos dos debe ser igual a tres. De esta segunda
igualdad podemos deducir, la x debe
ser igual a tres más dos, o sea, cinco. Y a partir de este
valor cinco sustituyéndolo en la igualdad anterior podemos obtener el valor de i.
Dos por cinco más uno es igual a i.
Por lo tanto, la i es igual a once.
Y así hemos obtenido los dos valores reales para x y y de forma
que se cumpla la igualdad dada. Repasemos a continuación las
propiedades de estas dos operaciones la suma y el producto para números complejos.
La suma cumple las siguientes propiedades: la propiedad
conmutativa, que nos dice que la suma de los
números complejos z uno más z dos es igual a sumar z dos más z uno, o sea,
el orden no altera el resultado de la suma.
Otra propiedad que se cumple para la suma, es la propiedad asociativa, esta nos
dice que si sumamos tres números complejos, es
igual sumar primero los dos números
complejos y después el resultado sumarlo al tercer número complejo,
que sumar,
primero los dos últimos números complejos y
el resultado sumarlo con el primer número complejo.
Esta tercera propiedad nos dice que existe el elemento neutro.
O sea, existe un elemento que sumado a cualquier
número complejo z nos da el mismo número complejo z.
Este elemento, es el elemento cero.
O sea, donde la parte real y la parte imaginaria es cero.
Y finalmente,
también tenemos la propiedad que nos dice que existe el opuesto
para cualquier número complejo, o sea, dado un número complejo z a más
bi, existe siempre otro número complejo de forma
que al sumarlo con z, obtenemos el neutro.
Este número complejo será el menos z.
O sea,
menos a menos bi.
you que si sumamos z y menos z obtenemos el
cero que es el neutro con respecto a la suma.
De la misma forma para el producto también se cumple la propiedad conmutativa.
O sea, si multiplicamos z uno y z dos el resultado es igual que
multiplicar z dos por z uno. También se cumple la propiedad asociativa.
O sea, si multiplicamos tres números complejos, es
igual multiplicar los dos primeros números y el resultado multiplicarlo por el
tercer número complejo, o bien, multiplicar primero los dos últimos
números complejos y el resultado
multiplicarlo por el primer número complejo.
Para el producto también existe
el elemento neutro, o sea, un elemento de forma que al multiplicarlo
por cualquier número complejo obtenemos de nuevo éste mismo número complejo.
Éste elemento neutro es de hecho el uno.
Donde la parte real es el uno y la parte imaginaria es un cero.
Y finalmente, tenemos la propiedad de la
existencia del inverso para cualquier número complejo,
excepto cero. O sea, si tenemos un número complejo a
más bi diferente de cero, siempre existe un número complejo que al
multiplicarlo por z, obtenemos el neutro respecto al producto, o sea, el uno.
Este elemento se llama inverso con respecto al
producto y se denota uno dividido por z.
A continuación, veremos en un
par de ejercicios, como calcular el inverso de un número complejo cualquiera.
