接下来问题是那如何用矩阵来描述球面反射镜

的光线呢？所以在反射这个面上可以想象的事情是

出来的光的高度跟进去光的高度，高度不会改变，所以y out等于y in这个条件仍然是存在的。

而在角度上面呢，我们刚刚说的入射角等于反射角这件事情是相对于法线

来成立的，但是在我们描述矩阵的时候我们用的α角度呢是相对于光轴来定义的。

所以我们可以观察一下呢，在这个地方呢，所谓的入射角的α 是以入射光跟光轴的夹角来定义。

反射的α是以反射光跟

光轴之间的夹角来定义。而至于光线的入射

角θi跟反射角θr之间的关系呢则是相对于法线，也就是通过圆心的线

来定义的。我们直接从这个图上观察可以看得出来， α in还有α

out跟θi、θr之间存在的关系是α in等于α out加上这两个θ角。

这是从几何关系上可以直接得到的。

但是我们在描述矩阵的时候呢，我们需要的是α跟y之间的关系，而不是α跟θ之间的关系。

所以我们接下来再从图上来观察一下，我们怎么样把θ跟y连接起来。

我们可以用反射点与法线，

通过圆心的线之间的连接呢这个直角三角形来找θ 跟y之间的关系。在这个三角形中呢，

它的锐角相当于是α in减掉θ，而这个直角三角形的

对边就是y in的高度，这个直角三角形的斜边的长度就是曲率半径R。

所以我们可以写下这个α in减θi的sin值呢基本上就是y in除以R。

而这个sin值呢当角度不大的时候呢，它基本上就可以近似成 α in减掉θi，那么这个地方为什么是负的呢？是因为

现在的凹面镜是向右凸的，根据我们之前学的

矩阵的描述呢，向右边凸的一个曲面呢它的曲率半径会是负的。

所以呢我们从上面这个式子可以得到θi等于α in加上

y in除以R，我们把这个式子代回去，

左手边这边的θ里面，可以得到α out等于负的α

in减掉两倍的yin除以R，这样子我们就把α跟y之间的

关系给完整地建立起来。我们用上面这个式子跟下面这个式子两个合起来呢可以把y

in、α in、还有y out、α out之间的关系完整地写出来。

它是透过中间这个矩阵1、0、负R分之2、跟负1来连接的。所以有了上述这个矩阵呢，

我要挑战各位同学，请问一下你可以按照上一节我们推导透镜成像的方式，推导出球面反射镜成像的条件吗？

在什么情况之下，球面反射镜会成实像？什么情况之下，球面反射镜会成虚像呢？所以如果要求出球面镜成像的条件呢，我们要把-

球面镜的参数的正负号再指定一次，让各位非常清楚。所以第一个呢是物距，

在球面镜的左边的话，物距称之为正，在球面镜的右边，

物距称之为负的，像距也是一样，在左边为正，右边为负。

而焦距来说呢，对于凹面镜的焦距是正的，

对于凸面镜的焦距是负的。那么曲率半径来说的话呢，

曲率半径是向左凸的镜子曲率半径是正的，向右凸的镜子曲率半径是负的。

物体的高度呢则是以光轴来说往上的话，物体的高度是正的，往下，物体的高度是负的。

那么像也是一样，高度上面呢是往上为负，往下为正。

所以后面这边呢用几个图形化的例子让各位看一看在

曲面镜上面会发生什么样的事情。所以譬如说在一个凸面镜上面的话，

当物在焦距跟两倍焦距之间的时候呢，它会形成一个缩小的虚像，

这个缩小的虚像呢常常应用在

后照镜或者是在公路转弯的地方呢可以让人看到比较大的范围。

所以在下面你可以看到两张照片的例子。

而另一方面呢，如果是一个凹面镜，物体放在焦距之内的话呢，

这个物体会形成一个放大的正立虚像，但是如果把物体在凹面镜移到

焦距跟两倍焦距之间的话呢，这个物体就会形成一个实像，而且是一个放大的实像。

那么如果把物体移的更远一点的话呢，这个实像呢就会不断地往

反射镜靠近，所以当物体跑到两倍焦距之外的时候呢，

这个像就会成在一倍焦距到两倍焦距之间，而且是一个缩小的实像。

那这些相关的放大跟缩小还有成像的位置呢，

基本上跟推导透镜成像用到的矩阵，工具是完全一样的。

有了反射镜本身的矩阵之后呢，我鼓励各位练习看看

用推导透镜成像一模一样的方式，把刚刚这几个凸面镜跟凹面镜成像的条件

自己推导出来，这样子学习才会是自己的。所以最后呢我们为各位介绍一个凹面镜成实像- 的例子。

接下来我们要为各位介绍一个神奇的青蛙，你现在从这个盘子上面看到一只青蛙停在这上面，

我们可以稍微转动一下，你可以非常清楚地看到青蛙的各个面相。

但是这只青蛙真的在这里吗？我们用我们的手去摸一下这只青蛙，有没有发现

我好像摸不到这只青蛙，为什么呢？

因为事实上这个青蛙是一个凹面镜成的实像，我们把这个盒子打开，

让各位看一下里面的构造，事实上是里面有一个青蛙的模型，

而这里面是一个凹面镜，当我们把上面的盖子盖住，让你不会被其他的光线影响的时候呢，

你就会看到这个青蛙聚焦形成的实像。

这个实像非常非常的逼真，让你会觉得好像有一个真的青蛙在这个地方。

这一小节的随堂测验是呢，请问下列哪一项是不对的？ 1.

厚透镜可以成实像和虚像。2.

平面镜只能成虚像。

凹面镜只能成虚像。

凸面镜只能成虚像。

这一章的作业呢就是让我们来利用前面学到的矩阵光学，

实际上做一些运算。所以第一题呢是考虑一个曲率半径为5公分的球形界面，

内部充满水，水的折射率呢我们假设是1.33，请问要如何用矩阵来描述这个界面的折射呢？

我们用一个ABCD矩阵的形式呢，请你在题目里把ABCD四个数字填进去。

承上题，

如果对于同一个球面我们从空气这一端入射一道垂直球面而且平行于光学轴的光束，

这个呢就相当于是光源放在很远的地方，请问这道平行光聚焦的位置会离球面多远呢？

要麻烦你以公尺为单位来填写你的答案。

再承上题，如果有一个点光源放在这个球面空气端的光学轴上，

距离球面25公分，请问这个点光源在水中成像的位置

会离球面多远呢？也是一样要麻烦你以公尺为单位来填写你的答案。

第二大题呢则是考虑一个薄双凸透镜，

它的折射率是1.5，两个界面的曲率半径都是10公分，请问要如何用矩阵

来描述这个透镜的折射呢？承上题，

若是由空气端入射一道垂直透镜且平行于光学轴的光束，

相当于光源在很远的地方，请问这道平行光聚焦的位置，会离透镜多远呢？要麻烦你以公尺为单位来填写。

再承上题，如果有一个点光源放在这个透镜的光学轴上，

距离透镜的表面25公分，请问这个点光源成像的位置会离透镜多远呢？也是一样要请你以

公尺为单位。那么这个时候如果我们把透镜跟光源都一起泡在水里，

这个水的折射率是1.33，请问这个时候成像的位置会变成离透镜多远呢？

我们假设成像也在水中，要麻烦你以公尺为单位来填写你的答案。

那么这个时候如果我们把透镜跟光源改成浸泡在折射率为1.7的油中，

请问这个时候会成哪一种像呢，我们假设成像也还在油里面。

所以这个时候你会选择 1.

放大实像 2.

缩小实像 3.

放大的虚像还是4.

缩小的虚像呢？那么在浸泡在折射率1.7的油中的时候呢，成像的位置会离透镜多远？

第三大题呢，则是考虑一个焦距为10公分的透镜，

如果将一根长5公分的蜡烛放在此透镜前15公分的地方，

蜡烛的底部位在光学轴上，而且蜡烛垂直光学轴，请问这个时候成的像是下面哪一种呢？

那么另外请问这个蜡烛的成像的位置会离透镜多远？还有请问你成像的蜡烛长度会变成多长呢？

刚刚上面描述了这些成像的概念呢跟我们人眼的构造有非常大的关系，

例如球面的折射，例如透镜浸泡在水中的例子，这些内容呢我们将在下一讲中为各位介绍。

厚透鏡與反射鏡 (2)

基础光学 I

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