В основе предлагаемого курса лежат лекции, которые читаются студентам математико-механического факультета на 3-ем году обучения сразу после поступления на кафедру теоретической кибернетики. Цели курса: Изложить по возможности строго и полно основы теории управления в следующем объеме: линейная теория, синтез обратных связей для стабилизации линейных систем, линеаризация нелинейных систем в малом, линеаризация обратными связями, дискретизация непрерывных систем, анализ нелинейных систем. Заинтересовать студентов и подготовить их к восприятию более углубленных специальных курсов. Выявить у обучаемых и убедить их заняться устранением пробелов в базовом математическом образовании.
Видео 1.7. Импульсная реакция и частотная характеристика
Loading...
来自 圣彼得堡国立大学 的课程
Введение в теорию кибернетических систем
评分
与讲师见面
Бондарко Владимир Александровичдоцент
Кафедра теоретической кибернетики
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Наличие
передаточной функции у линейных
стационарных систем, а также равенство,
связывающее свертку прообразов
и произведение образов двух функций,
наводит на мысль,
что для некоторой функции g,
которая является прообразом передаточной функции,
выход — это свертка этой функции со входом.
При нулевых начальных данных так и есть.
Остается только объяснить, откуда происходит термин «импульсная реакция».
Дело в следующем.
Пусть у нас имеется система в пространстве состояний,
и тогда для нее определена передаточная функция,
я ее подчеркиваю, и при нулевых начальных данных
ее выход — это свертка некоторой
экспоненциальной функции со входом.
Предположим, что
мы на вход системы подаем мощный короткий импульс.
Его амплитуда, предположим,
1 / ε, а его продолжительность ε.
Чему будет равен выход?
Подставив его в формулу Коши, мы получаем,
что выход — это
усреднение вот такой
функции g на промежутке длиной ε.
Если ε устремить к нулю, то есть импульс сделать все короче и мощнее,
то мы придем к точному равенству.
Другое важное понятие — это частотная характеристика.
Предположим для начала,
что мы можем подавать комплекснозначные сигналы на вход нашей системы.
Если вход имеет вид комплексной экспоненты,
производная от таких функций — это λ, умноженная на саму функцию.
И мы получаем, что наше уравнение эквивалентно тому самому соотношению,
которое задает передаточную функцию.
Если же мы не можем подавать, как это часто бывает,
комплекснозначные сигналы на вход системы,
то достаточно рассмотреть вещественный сигнал,
равный полусумме двух комплексных.
По формуле Эйлера это будет просто синусоида,
ну в данном случае косинусоида с частотой ω.
В результате в силу линейности системы мы получим,
что выход — это полусумма произведений входов
на значение передаточной функции в соответствующих точках.
Если коэффициенты передаточной функции вещественны,
то мы получаем, что эта полусумма — это просто вещественная
часть произведения передаточной функции на входную экспоненту.
А вещественная часть, разумеется,
равна произведению вещественных частей минус произведение мнимых частей.
И по известной тригонометрической формуле
это просто модуль передаточной функции,
умноженный на косинус с той же самой частотой,
но сдвинутый на аргумент этой передаточной функции.
Абсолютную величину передаточной функции для чисто мнимого
аргумента называют амплитудно-частотной характеристикой,
а аргумент передаточной функции
на чистое мнимых значениях аргумента
называют фазово-частотной характеристикой.
Их принято отображать на диаграммах разного вида.
Боде и Найквиста.
Диаграмма Боде — это два независимых графика
отдельно для амплитудно-частотной характеристики и фазово-частотной.
Причем амплитудно-частотную характеристику по оси
ординат изображают в логарифмическом масштабе.
А диаграмма Найквиста
— это просто геометрическое место всех точек
на комплексной плоскости всех значений,
которое принимает наша передаточная функция на чисто мнимом аргументе.
Значит, тут показано,
что в −∞ она принимает нулевое значение,
в нуле значение равно 1,
а промежуточные значения симметричны, и направление их
изменений при росте ω обозначено стрелками.
Важно, что обе характеристики — и импульсную реакцию,
и частотную характеристику — можно снять экспериментально.
В первом случае надо просто подать короткий мощный импульс на вход,
а во втором поточечно на разных частотах
подавать синусоидальные сигналы,
замерять амплитуду
и сдвиг по фазе у выхода по сравнению со входом и
получать значение частотных характеристик.
Итак, на первом занятии мы определили принципиальное
понятие динамической системы и поставили
основные задачи управления; с помощью
преобразования Лапласа определили передаточную
функцию; разобрали пример бесконечно мерной системы,
которая тоже обладает передаточной функцией, но не вкладывается
непосредственно в модели стандартных конечномерных систем; показали,
как из передаточных функций получить частотную характеристику
и импульсную реакцию системы; и познакомились со стандартным
представлением этих характеристик.
