В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Задача о нахождении центра ускорений
Loading...
来自 莫斯科物理科学与技术学院 的课程
Кинематика
11 评分
从本节课中
Плоскопаралелльное движение
与讲师见面
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
На примере следующей задачи воспользуемся понятием мгновенного центра ускорения.
Задача следующая.
У нас есть два стержня AO
и AB.
Причем точка O неподвижна.
Точка B может двигаться только по горизонтали.
И в момент времени, когда угол между AO и
OB прямой — известна угловая скорость стержня OA,
мгновенная угловая скорость.
То есть известны величины ω.
Известно, что OA = r.
AB = l, и через r выражается как r√2.
В момент времени, когда стержни перпендикулярны друг другу,
необходимо найти угловое ускорение стержня OA.
Давайте подпишем, что ω — это угловая скорость стержня OA.
Из каких соображений мы можем найти угловое ускорение OA?
Нам известно только мгновенное значение угловой скорости,
поэтому дифференцировать у нас нечего.
У нас нет функции, которая зависит каким-то образом от времени.
Только значение в конкретный момент времени.
Давайте введем систему координат x, y.
И понятно, что единственная возможность как-то найти угловое
ускорение OA — это воспользоваться ускорением точки A.
Ускорение точки A — это по формуле Ривальса — ускорение
точки O + неизвестное угловое
ускорение OA векторного OA −
ω²индекс OA заданное * вектор OA.
Что здесь известно?
Точка O неподвижна, поэтому сразу первое слагаемое — 0.
Последние слагаемое известно,
а при помощи вот этого слагаемого мы найдем как раз угловое ускорение OA.
То есть необходимо найти откуда-то еще ускорение точки A.
Откуда мы можем это сделать?
Точка A у нас принадлежит не только твердому телу OA, но и твердому телу AB.
Значит возможность найти ускорение точки A — это связать ее с ускорением точки B.
Ускорение точки A по формуле
Ривальса — это ускорение точки B + неизвестное
угловое ускорение стержня AB *
векторно на BA − опять же неизвестная угловая
скорость AB * вектор BA.
Что у нас здесь неизвестно?
Здесь у нас неизвестна вот эта величина, вот эта величина и вот эта величина.
Давайте их находить постепенно.
На самом деле, похожая задача у нас уже возникала.
И мы можем сказать, чему равна угловая скорость AB.
Что получается?
Точка A — это конец радиус-вектора OA, она движется по
окружности с угловой скоростью OA, поэтому ее скорость направлена в данный момент
времени перпендикулярно стержню OA вот таким вот образом.
Про скорость точки B что известно?
Так как точка B может двигаться только по горизонтали,
значит ее скорость тоже направлена вдоль горизонтали.
И данное направление не очень правильно.
Скорость точки B должна быть направлена таким вот образом.
И по модулю эти скорости должны быть равны,
так как проекции на стержень AB у этих скоростей должны быть одинаковы и
скорости эти в данный момент времени параллельны.
Что отсюда получаем?
Что скорость точки A = скорости точки B.
И отсюда получаем, что угловая скорость AB = 0.
Одним слагаемым меньше.
Осталось разобраться с неизвестным угловым
ускорением AB и с ускорением точки B.
Как мы это сделаем?
На самом деле...
о чем в начале говорили?
Что мы хотим в этой задаче проиллюстрировать понятие мгновенного
центра ускорения и по условию нам дополнительно известно,
что мгновенный центр ускорения стержня AB находится на отрезке AB.
Давайте воспользуемся этим фактом.
Это значит, что ускорение точки B, если его выписать
через ускорение мгновенного центра ускорений, выписывается следующим образом.
Ускорение точки Q + векторное произведение
углового ускорения εAB * QB
− ω² AB * QB.
Мы только что получили, что вот эта вещь — 0.
Первое слагаемое в 0, так как Q — это центр ускорений.
И остается следующий факт, что ускорение точки
B = векторному произведению εAB * QB.
Теперь, так как εAB перпендикулярно плоскости рисунка,
QB параллельно AB, коллинеарно с AB.
А WB направлена горизонтально,
то в таком случае горизонтальный вектор может быть
равен вектору перпендикулярному AB.
Посмотрите на картинку.
Получается, что только в том случае,
если ускорение точки B = 0.
То есть на самом деле точка B и есть мгновенный центр ускорения.
Теперь мы знаем первое неизвестное, последнее неизвестное...
Осталось привязать к εAB.
Давайте явно выпишем, чему равно ускорение точки A через неизвестные εAB.
Ускорение точки A — это
векторное произведение 0 0 εAB *
векторно на вектор BA.
Вектор BA имеет компоненты по x —
−r, по y — r, и 0.
Такая компонента по x, потому что угол ABO равен 45°.
Это видно из длины отрезков OA и AB.
Давайте вычислим что получается.
Первая компонента равна −εAB * r.
Вторая компонента равна −εAB * r.
И третья компонента равна 0.
Теперь давайте
еще и в первое выражение...
Давайте их пронумеруем для удобства.
Это обозначим две звездочки, это — одна звездочка.
Это результат двух звездочек, теперь подставим в одну звездочку.
Точно также подставим, считая, что εOA — некая неизвестная величина.
Что у нас получается?
Сначала векторное произведение εOA * на вектор OA,
который имеет компоненты 0 r 0 −
известное слагаемое ω² * OA.
То есть, 0 ωOA² * r 0.
Давайте вычислим сначала векторные произведения.
Так, первая компонента векторного произведения −εOA * r.
Вторая компонента — 0.
Третья компонента — 0.
И вычтем второе слагаемое.
Получаем по второй компоненте...
по первой компоненте нужно 0 вычесть.
По второй −ω²OA * r.
И все.
Теперь...
мы двумя способами посчитали ускорение точки A.
Что это значит?
Что компоненты должны совпадать.
Что получаем?
Что −εAB * r = −εOA * r.
Это из равенства первых компонент.
А из равенства вторых компонент получаем, что −εAB * r
= −ω²OA * r.
Сравнивая эти две строчки,
получаем, что угловое ускорение стержня OA в данный
момент времени равно квадрату угловой скорости стержня OA.
Ответ получен.
Воспользовавшись понятием мгновенного центра ускорений,
мы нашли неизвестную величину.
Спасибо.
Задача решена.
