Bonjour.

Bienvenue au cours de physique générale de l'ÉPFL.

Dans cette leçon, j'aimerais résumer toute la mécanique

avec un principe qui est très vite énoncé,

c'est le principe de, dit de la moindre action.

Alors d'abord, je vais définir l'action.

Ensuite, on va voir ce principe de moindre action en utilisant les

équations de Lagrange, et on va appliquer ce principe pour

prendre le problème, un problème où on avait éliminé les contraintes,

et on va maintenant retrouver les contraintes en appliquant ce principe.

L'action.

L'action se définit comme ceci.

En fait l'intégrale du lagrangien, c'est l'intégrale

dans le temps pris entre un certain temps t un, et un certain temps t deux.

Votre lagrangien est fonction des coordonnées q un à

q n qui dépendent du temps, de q un

point à q n point, et on n'exclut pas

la possibilité que le lagrangien dépende aussi explicitement du temps.

On note S, l'action, et voilà.

Ça, c'est notre définition de l'actian, de l'action.

C'est l'intégrale de L quand le système évolue de t un à t deux.

Alors maintenant, on a ce résultat extraordinaire qui est

que le principe, le, les équations de Lagrange

impliquent un extremum de l'action et inversement.

Si on a un extremum de l'action, on doit avoir les équations de Lagrange.

On va considérer, pour simplifier les écritures,

que notre lagrangien ne dépend que d'une coordonnée.

Et donc, le problème qu'on doit se poser, c'est de comprendre ce que ça veut dire un

extremum de l'action, parce que L, c'est quand même un objet assez complexe.

Alors dire que L est extremum, c'est dire la chose suivante : on suppose

qu'on connaît q de t, la fonction pour laquelle S est extremum.

Maintenant, si je fais une petite variation de q, que

je note delta q, qui est une fonction du temps.

Si S est extremum, ça veut dire si, pour q de t.

Alors, le premier ordre, en delta q de t doit être nul.

Maintenant, on va pas faire cette variation n'importe

comment, on va supposer les deux points, le point

de départ et le point d'arrivée, les points

aux temps t un et t deux d'être connus.

Faut bien qu'on ait une certaine position

initiale, puis une position après un certain temps.

On va calculer l'extremum pour deux points connus.

Alors faisons le calcul.

Je veux calculer une

variation de l'action, lorsqu'au lieu de calculer

l'action pour q qui est censé l'extremum, je prends q plus

une variation delta q avec les restrictions à t un et à t deux.

Pour faire ce calcul,

je reconnais d'abord ici que j'ai une

dérivée de L par rapport à q, point delta q, et j'ai une

dérivée de L par rapport à q point, fois un accroissement delta q point.

Maintenant, je vais travailler

ce deuxième terme de l'intégrale, je vais faire une intégration par parties.

J'ai noté ces fonctions u et dv, et l'intégrale

de u dv vaut uv moins l'intégrale de vd u.

C'est la formule que je vais appliquer ici : l'intégration par parties.

Donc, si ça c'est la fonction d de v, la

fonction v, c'est delta q, et la fonction u, c'est celle-ci.

Ce terme-là, je le change pas.

Et il faut faire moins intégrale vd u, donc c'est de delta

q, Ld u, ça fait d sur dt de d de dL sur dq point fois dt.

Pour calculer d de u, je fais d sur dt de ça fois dt.

Maintenant, on s'est donné comme règle du jeu qu'on allait faire des

variations delta q avec delta q qui est nul en t un et en t deux.

Donc, ce terme tombe.

Il me reste plus que ces deux termes de d de L

sur dL q, L moins d sur dt de dL sur dq point.

Maintenant, S est extremum pour la

fonction q, la solution qu'on cherche veut dire que on

doit pouvoir prendre n'importe quel delta q infinitésimal,

et on doit obtenir zéro au premier ordre.

La seule manière d'y arriver, c'est que ce

terme-là doit être nul, donc on a Lagrange.

Et on peut faire le raisonnement à l'envers, à

l'inverse et trouver que Lagrange implique l'extremum de l'action.

Donc voilà, on a obtenu

que le mouvement est celui qui minimise l'action.

On va maintenant utiliser ce principe pour voir comment

avec Lagrange on peut calculer des forces de contraintes.

Rien ne vaut un exemple.

Je reprends mon problème du cylindre qui descend un plan incliné.

J'écris mon lagrangien en terme de la variable thêta et de la variable x.

Mais au lieu de faire comme la dernière fois, je vais

imposer le fait qu'il y a une contrainte, mais je vais garder les deux variables.

C'est comme ça qu'on va faire apparaître une force, la

force de contrainte, la contrainte étant, ici, le roulement sans glissement.

Donc, on a, on cherche l'extremum de l'action

définie pour ce L sous la contrainte que x vaut R thêta.

Alors, ça revient au même que de considérer le lagrangien

L prime, qui est le lagrangien que j'avais, moins

un certain coefficient ; je l'ai appelé F parce que je sais où je vais aller.

Mais ce, c'est un coefficient qu'on appelle un multiplicateur de Lagrange qui

multiplie cette relation-là de contrainte x moins R thêta.

Et je considère ce lagrangien L

prime maintenant comme ayant deux variables indépendantes.

Alors, si je, maintenant j'écris mes équations du mouvement,

je calcule d de L prime, la, la dérivée de ce lagrangien par rapport à thêta point.

Je calcule la dérivée de L prime par rapport à thêta.

Alors, on a FR qui apparaît, et j'ai cette équation-là.

Et bon, j'ai une notation qui est de reconnaître tout de suite ce qui se passe.

On a ici une équation du mouvement pour le moment cinétique.

C'est un petit peu comme si on avait appliqué d de Lg

sur dt égal Mg extérieur

avec le moment qui vaut la force, et

ici, on a R, le rayon.

La deuxième équation du mouvement, je l'obtiens en prenant x comme variable.

Alors, j'ai calculé d de L prime sur d de x point, je

calcule d de L prime sur d de x, x apparaît ici, et là.

Et qu'est-ce que j'ai ici?

J'ai cette équation du mouvement qui est l'équation du mouvement, c'est

l'équation de Newton, l'équation F égale Ma pour le centre de

masse, avec la force dans la direction du plan incliné.

Il y a un MG sin alpha, et il y a la force de frottement.

Et maintenant, j'ai retrouvé tout ce que

la mécanique newtonienne pouvait nous dire, le

théorème du moment cinétique, le théorème du

centre de masse pour ce solide indéformable.

Encore une fois, je rappelle la méthode.

On a écrit le lagragien, et on a une contrainte, et on rajoute cette contrainte

avec un coefficient devant, qu'on appelle un multiplicateur de Lagrange.

Et maintenant, on écrit les équations de

Lagrange comme si les variables étaient indépendantes.

Cette méthode n'est valable que pour des contraintes holonomes.

26.2 Principe de moindre action

Mécanique Lagrangienne

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