Современная комбинаторика (Modern combinatorics)
提供方
Современная комбинаторика (Modern combinatorics)
Moscow Institute of Physics and Technology
课程信息
4.9
227 个评分
Комбинаторика - это наука, которая, с одной стороны, богата исключительно красивыми постановками задач, зачастую доступными школьнику, а с другой стороны, это очень глубокая современная область знаний, без овладения инструментами которой невозможно серьезное понимание как большинства других фундаментальных дисциплин - анализа, алгебры, теории графов, теории вероятностей и др., - так и многих прикладных проблем.
Современная комбинаторика, таким образом, это своего рода основа основ: это и красивейшая теория с массой нетривиальных задач и методов, но это и прекрасная база для приложений в computer science, в анализе сложных сетей, в теории кодирования и криптографии, в биоинформатике и др. В курсе мы познакомим слушателей с наиболее важными областями и инструментами современной комбинаторики, причем многие темы курса по сути уникальны: здесь не только классические комбинаторные величины и тождества, но также и общая теория обращения Мебиуса, и диаграммы Юнга, и рекурсия, и производящие функции. Это позволит нам в дальнейших курсах выйти на реальные приложения в анализе таких сложных сетей, как Интернет, социальные, биологические сети, сети межбанковских взаимодействий и др.
Для участия в курсе слушателю необходимо иметь базовые представления о теории множеств и началах анализа. Все остальные понятия будут введены в ходе курса.
Курс состоит из 7 недель лекций и 1 недели экзамена. Каждую неделю слушатель выполняет задания, составляющие 10% от всего курса (5% тест и 5% задачи с ответом). Экзамен также состоит из теста и задач с ответом, каждая часть оценивается в 15% от общей суммы. Для успешного прохождения курса необходимо в каждом задании набрать не менее 50% от общего числа баллов.
Данный курс рекомендуется к прохождению перед курсом Теория вероятностей.
教学大纲 - 您将从这门课程中学到什么
Week
1Основные принципы комбинаторики
Основные принципы комбинаторики. Правило сложения. Правило умножения. Принцип Дирихле. Пример применения принципа Дирихле. Теорема о раскраске множества в два цвета. Мощности множества попарно неортогональных {-1,0,1}-векторов : верхняя и нижняя оценки. Числа сочетаний, размещений и перестановок.
20 个视频（共 106 分钟）, 12 个阅读材料, 3 个测验
20 个视频
Введение1分钟
МФТИ1分钟
Правила сложения и умножения2分钟
Пример на правило умножения1分钟
Принцип Дирихле2分钟
Пример с квадратом2分钟
Последовательности векторов. Постановка задачи8分钟
Последовательности векторов. Доказательство утверждения10分钟
Шестизначные числа5分钟
Первокурсники в кинотеатре4分钟
Числа сочетаний, размещений и перестановок. Определения.11分钟
Теоремы о числе размещений с повторениями и без4分钟
Количество сочетаний без повторений3分钟
Количество сочетаний с повторениями8分钟
Дежурство в столовой2分钟
Карты из колоды5分钟
Тома Пушкина на книжной полке9分钟
Теорема о раскраске множества в два цвета. Формулировка утверждения (*)3分钟
Теорема о раскраске множества в два цвета. Доказательство утверждения (*)7分钟
Теорема о раскраске множества в два цвета. Общая проблема (*)8分钟
12 个阅读材料
Программа и расписание курса10分钟
Список литературы10分钟
Правила аттестаций10分钟
Правила поведения на форуме10分钟
МФТИ10分钟
Условия задач10分钟
Конспект10分钟
Решение задач10分钟
Конспект10分钟
Условия задач.10分钟
Условия и решения задач10分钟
Решения задач10分钟
3 个练习
Тест к неделе 112分钟
Задачи к неделе 18分钟
Дополнительные задачи10分钟
Week
2Комбинаторные тождества
Бином Ньютона. Полиномиальная формула. Формула включений и исключений. Простейшие тождества. Треугольник Паскаля. Сумма биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Сумма квадратов биномиальных коффициентов. Формулы для суммы степеней натуральных чисел. Знакопеременное тождество.
17 个视频（共 134 分钟）, 7 个阅读材料, 3 个测验
17 个视频
Полиномиальная формула9分钟
Задачи и студенты5分钟
Фигуры на шахматной доске4分钟
Формулировка утверждения14分钟
Научно-исследовательский институт9分钟
Книги на полке9分钟
Комбинаторные тождества 1-2. Треугольник Паскаля7分钟
Комбинаторные тождества 3-46分钟
Комбинаторное тождество 55分钟
Комбинаторное тождество 66分钟
Сумма степеней натуральных чисел7分钟
Комбинаторные тождества 7-89分钟
Сумма биномиальных коэффициентов с чётными показателями3分钟
Вычисление хитрой суммы биномиальных коэффициентов7分钟
База и предположение индукции(*).4分钟
Переход индукции (*)14分钟
7 个阅读材料
Конспекты10分钟
Условия задач10分钟
Условия задач10分钟
Конспект10分钟
Конспект10分钟
Условия задач10分钟
Решения задач10分钟
3 个练习
Тест к неделе 212分钟
Задачи к неделе 28分钟
Дополнительные задачи10分钟
Week
3Формула обращения Мёбиуса
Формула для количества ‘слов’. Определение циклической последовательности. Формулировка проблемы. Простое число. Бесконечность простых. Основная теорема арифметики. Функция Мебиуса. Суммы по делителям. Формула обращения Мебиуса.
16 个视频（共 83 分钟）, 7 个阅读材料, 2 个测验
16 个视频
Простые числа3分钟
Основная теорема арифметики2分钟
Исторический анекдот(**)9分钟
Количество циклических последовательностей длины 22分钟
Существование разложение в произведение простых чисел (**)3分钟
Вспомогательное утверждение для основной теоремы арифметики(**)9分钟
Доказательство единственности разложения в произведения простых (**)5分钟
Функция Мёбиуса3分钟
Сумма по делителям числа2分钟
Сумма функции Мебиуса по делителям числа10分钟
Формула обращения Мебиуса. Формулировка3分钟
Формула обращения Мебиуса. Доказательство10分钟
Пример применения формулы обращения Мёбиуса -14分钟
Пример применения формулы обращения Мёбиуса - 21分钟
Пример применения формулы обращения Мёбиуса -31分钟
7 个阅读材料
Условия задач10分钟
Конспект10分钟
Условия и решения задач10分钟
Условия задач10分钟
Конспект10分钟
Условия и решения задач10分钟
Решения контрольной работы10分钟
2 个练习
Тест к неделе 312分钟
Задачи к неделе 38分钟
Week
4Циклические последовательности
Вывод формулы для количества циклических последовательностей. Частично упорядоченное множество. Обобщенная функция Мебиуса. Связь с обычной функцией Мебиуса. Теорема об формуле обращения Мебиуса на ч.у.м. Передоказательство формулы включений и исключений (часть 1) (*).
19 个视频（共 122 分钟）, 8 个阅读材料, 3 个测验
19 个视频
Период линейной последовательности2分钟
Биекция между множествами последовательностей одного периода5分钟
Количество линейных последовательностей4分钟
Количество циклических последовательностей длины n и периода n7分钟
Количество циклических последовательностей3分钟
Пример вычисления количества циклических последовательностей12分钟
Пример вычисления количества циклических последовательностей -217分钟
Частично упорядоченное множество2分钟
4.8. Функция Мебиуса для ЧУМа3分钟
4.9. Связь с обычной функцией Мебиуса3分钟
4.10 Совпадение функций Мебиуса для произведения различных простых чисел7分钟
4.11 Совпадение функций Мебиуса для остальных чисел2分钟
4.12 Формула обращения Мебиуса на ЧУМе7分钟
Семинар. Задача 4.35分钟
Семинар. Задача 4.46分钟
4.13 Определение множества.(*)5分钟
4.14 Определение частичного порядка (*)5分钟
4.15 Функция Мёбиуса (*).14分钟
8 个阅读材料
Условия задач10分钟
Конспект10分钟
Решения задач10分钟
Условия задач10分钟
Конспект10分钟
Условия и решения задач10分钟
Решения задач недели 4.10分钟
Конспект10分钟
3 个练习
Тест к неделе 412分钟
Задачи к неделе 48分钟
Дополнительные задачи12分钟
讲师
Андрей Райгородский
профессор, доктор физико-математических науккафедра дискретной математики МФТИ
Дмитрий Ильинский
преподавателькафедра дискретной математики МФТИ
关于 Moscow Institute of Physics and Technology
Московский физико-технический институт (неофициально известный как МФТИ или Физтех) является одним из самых престижных в мире учебных и научно-исследовательских институтов. Он готовит высококвалифицированных специалистов в области теоретической и прикладной физики, прикладной математики, информатики, биотехнологии и смежных дисциплин. Физтех был основан в 1951 году Нобелевской премии лауреатами Петром Капицей, Николаем Семеновым, Львом Ландау и Сергеем Христиановичем. Основой образования в МФТИ является уникальная «система Физтеха»: кропотливое воспитание и отбор самых талантливых абитуриентов, фундаментальное образование высшего класса и раннее вовлечение студентов в реальную научно-исследовательскую работу. Среди выпускников МФТИ есть Нобелевские лауреаты, основатели всемирно известных компаний, известные космонавты, изобретатели, инженеры.
常见问题
我什么时候能够访问课程视频和作业？
注册以便获得证书后，您将有权访问所有视频、测验和编程作业（如果适用）。只有在您的班次开课之后，才可以提交和审阅同学互评作业。如果您选择在不购买的情况下浏览课程，可能无法访问某些作业。
我购买证书后会得到什么？
您购买证书后，将有权访问所有课程材料，包括评分作业。完成课程后，您的电子课程证书将添加到您的成就页中，您可以通过该页打印您的课程证书或将其添加到您的领英档案中。如果您只想阅读和查看课程内容，可以免费旁听课程。
退款政策是如何规定的？
有助学金吗？
还有其他问题吗？请访问 学生帮助中心。
