Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Vitesse sur autoroute (*)
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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (2/3)
La notion abordée cette semaine est celle d'espérance d'un variable aléatoire.
与讲师见面
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON] [AUDIO_VIDE]
Bonjour.
Bienvenue dans le cours d'Aléatoire de l'École Polytechnique.
Nous allons faire l'exercice Vitesse sur autoroute.
Pierre roule régulièrement sur une autoroute péri-urbaine limitée à 110 km/h.
Il est partagé entre son amour de la vitesse et la peur des radars.
Sa vitesse typique grand V à un instant donné
est une variable aléatoire toujours comprise entre 100 et 120.
Il ne roule en dessous de 100 km/h, et il ne roule jamais au dessus de 120.
On va préciser un petit peu la loi de grand V.
Donc, sa vitesse grand V peut s'écrire comme étant V = 100 + D où grand D
est une v.a de densité
1/c indicatrice de x strictement compris entre 0 et 20,
fois x, où C est une constante tel qu'il s'agisse d'une densité de probabilité.
Comme je disais V est toujours plus grande que 100, jamais plus grande que 120,
donc V on peut l'écrire comme étant 100 plus l'écart des positifs
entre la vitesse et 100, donc nous voyons qu'il y a une densité croissante,
il a tendance à vouloir aller vite, donc il y a une densité
croissante entre 110 et 120 pour sa vitesse et donc on est entre 0 et 20.
Nous allons poser quelques questions sur la vitesse, première question, calculer
la valeur de la constante c tel que cette fonction ait une densité de probabilité,
la constante de normalisation qu'il faut mettre pour que sa masse totale soit égale
à 1, deuxième question : calculer la probabilité pour que l'automobiliste
soit en excès de vitesse, c'est-à-dire pour que sa vitesse dépasse 110 km/h.
Rappelons que nous étions sur une autoroute limitée à 110.
Troisième question : calculer la vitesse moyenne espérance de V de l'automobiliste,
de Pierre, quelle est sa vitesse moyenne.
Quatrième question : calculer la variance Var(V), la variance sur cette vitesse,
et l'écart type sigma(V) autour de la vitesse moyenne.
Chercher l'exercice avant de continuer et de regarder la solution qui va suivre.
Nous allons faire la solution de l'exercice Vitesse sur autoroute.
Pour calculer la constance c, qui est la constante de la normalisation,
nous pouvons obtenir géométriquement que c = 200,
tout simplement en tant que aire d'un triangle rectangle de côtés 20,
sinon la constante c'est juste l'intégrale de 0 à 20 de x dx puisque d était à
valeurs comprises entre 0 et 20 avec une densité de forme x, linéaire, donc
l'intégrale de 0 à 20 de x dx c'est x au carré / 2 pris entre 0 et 20 et c'est 200.
Donc la constante c vaut 200.
Ce qui résout la première question et ainsi nous pouvons
avoir une valeur explicite pour la densité.
Deuxième question, nous nous intéressons aux dépassements de vitesse,
aux excès de vitesse de l'automobiliste, donc l'automobiliste est
en excès de vitesse si sa vitesse est strictement supérieure à 110,
autrement dit si d le déplacement au-delà de 100 est strictement supérieur à 10.
Donc la probabilité qui nous intéresse vaut la probabilité pour que grand D
soit strictement plus grand que 10.
Grâce à la densité, cette fois-ci nous avons la constante,
ça s'écrit comme étant 1/200, intégrale de 100 à 20, de x dx.
Il faut que D soit comprise entre 10 et 20 de x dx.
Il faut que D soit comprise entre 10 et 20 pour avoir un excès de vitesse.
Donc de même que tout à l'heure, nous primitivons grand X en x carré/2,
donc c'est 1/200 [x carré/2] pris entre 10 et 20.
Un calcul élémentaire montre de c'est 400- 100/400, donc 3/4,
et ça fait 0,75 si vous voulez avoir une valeur décimale.
Dans ce cas précis, avec un petit dessin de triangle, on peut obtenir cette valeur
de 3/4 géométriquement en découpant le triangle rectangle en des sous-triangles.
Troisième question, quelle est l'espérance de la vitesse?
Donc par linéarité,
par dissectivité de l'espérance il suffit de calculer l'espérance de D.
Donc l'espérance de D c'est 1/200 intégrale de 0 à 20 de x fois la
densité x dx, donc autrement dit 1/200 intégrale de 0 à 20 de x au carré dx,
donc la primitive de x carré c'est x au cube/3 donc c'est
1/200 fois x au cube/3 pris entre 0 et 20 petit calcul,
c'est 8 000/600 donc 40/3 et donc c'est 13,33 etc.
Nous avons calculé l'espérance de D, donc l'espérance de la vitesse s'obtient en
ajoutant 100 à l'espérance de D et donc c'est 113,33.
Sa vitesse moyenne est au-delà de la vitesse limite mais pas tellement,
juste 3,33 km/h.
Donc ceci termine le termine le troisièmement où nous devions calculer
l'espérance de la vitesse, la vitesse moyenne de Pierre.
Quatrièmement, il s'agit de calculer la variance de la vitesse.
Donc on utilise le fait que la variance de la vitesse c'est la même que la variance
de D, puisque le fait d'ajouter une constante à une v.a
ne change pas sa variance, puisque c'est l'espérance de x mois sa moyenne au carré,
le tout au carré donc rajouter une constante ne change pas la variance.
Donc la variance de V c'est la variance de D,
et donc ça s'écrit comme étant E(D carré)- E(D) au carré.
Il s'agit donc de calculer l'espérance de D carré,
l'espérance de D carré comme tout à l'heure on utilise la densité donc
c'est 1/200, le facteur de normalisation, intégrale de 0 à 20, x carré, puisqu'on
est en train de calculer D espérance de D carré, fois x dx, x étant la densité.
Donc c'est 1/200 intégrale de 0 à 20 de x au cube dx, la primitive c'est x puissance
4/4, donc il s'agit de calculer 1/200, x puissance 4/4 pris entre 0 et 20,
un petit calcul montre que c'est 160 000/800 et donc c'est 200.
Donc l'espérance de D carré c'est 200.
Ensuite nous voulons calculer la variance de V donc c'est l'espérance de D carré
moins l'espérance de D au carré.
Donc c'est 200 moins 40 au carré/3 au carré donc c'est 200/9 en faisant le
calcul et donc c'est 22,222 etc.
Donc la variance de V est 22,222, l'unité c'est des km/h
le tout au carré donc pour avoir une idée de vraiment les écarts à la moyenne,
il faut prendre la racine de la variance, donc l'écart type, donc sigma de V,
la racine de la variance, un petit calcul montre que c'est à peu près 4,714.
Donc les écarts types autour de la moyenne que j'ai donnée tout à l'heure,
13,333, c'est 4,7.
Donc ceci termine l'exercice.
