[SON]

[AUDIO_VIDE] Bonjour.

Bienvenue dans le cours d'aléatoire de l'école Polytechnique,

nous en sommes au cours 5.

Nous allons faire un exercice sur le minimum et le maximum de variables

aléatoires, ou v.a., indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme.

Soient Uk des v.a.

indépendantes, identiquement distribuées, de loi uniforme sur l'intervalle [a, b].

Pour n supérieur ou = à 1, on pose Xn le minimum pour k allant de 1 à n de Uk,

et Yn le maximum pour k allant de 1 à n de Uk.

Première question.

Calculer les fonctions de répartition Fn qui est la fonction de répartition de Xn,

et Gn qui est la fonction de répartition de Yn.

Une indication : commencer par Gn.

Deuxième question.

Trouver les limites en probabilité des suites Xn et Yn.

Troisième question.

Montrer sans calculs que ces limites sont presque sûres.

Donc les convergences ne se font pas qu'en probabilité,

mais se font aussi presque sûrement.

Ainsi finit l'énoncé de l'exercice.

Solution de l'exercice minimum et maximum de v.a.

uniformes.

L'indication, c'était de calculer la borne de Gn, la fonction de répartition de Yn.

Yn était le maximum de k allant de 1 à n des Uk.

Ma première remarque, c'est que toutes les v.a.

uniformes Uk étant comprises entre a et b Gn(X) va valloir 0 si X < a,

et Gn(X) va valloir 1 si X > b.

Donc ce qui nous intéresse,

ce sont les valeurs de Gn(X) pour X compris entre a et b.

Donc, pour X compris entre a et b, Gn(X) par définition, c'est la probabilité

pour que le maximum des Uk k allant de 1 à n, soit inférieur ou égal à X.

La probabilité pour qu'un maximum soient inférieurs ou égaux à X,

cela signifie que chacun des événements inférieur ou égal à X,

et donc, c'est la probabilité de l'intersection, pour k allant de 1 à n,

des événements où Uk est inférieur ou égal à X.

Là nous appliquons le fait que les v.a.

sont indépendantes et identiquement distribuées.

Donc la probabilité d'une intersection de variable indépendante c'est le produit des

probabilités et ici, comme les variables sont identiquement distribuées,

tous les termes sont égaux.

Et donc, en fin de compte, nous montrons que Gn(X),

c'est la probabilité pour que U1 soit inférieur ou égal à X, à la puissance n.

Il s'agit ensuite d'utiliser la fonction de répartition d'une v.a.

uniforme.

La probabilité pour que U1 soit inférieur ou égal à X c'est (X- a) / (b- a) et

donc Gn(X), c'est ( (X- a) / (b- a) ) à la puissance n.

Et donc nous allons calculer Fn,

nous allons nous inspirer de ce que nous avons déjà fait.

Les seules valeurs intéressantes sont les valeurs de X sont comprises entre a et b.

Par définition, Fn(X), c'est la probabilité pour que le minimum des Uk,

pour k allant de 1 à n, soient inférieurs ou égaux à X.

Donc pour ceci, il suffit que l'un des Uk soit inférieur ou égal à X.

Donc c'est la probabilité de la réunion, pour k allant de 1 à n,

des événements où Uk est inférieur ou égal à X.

Tout à l'heure, nous avons réussi à utiliser l'indépendance, ici nous

avons une réunion, nous allons passer aux complémentaires pour faire apparaître une

intersection et utiliser une indépendance.

Donc la probabilité de cette réunion, c'est 1- la propriété du complémentaire.

Ça c'est la propriété des probabilités.

Ensuite, le complémentaire d'une réunion, c'est l'intersection des complémentaires.

Donc en définitive, nous avons que Fn (X) c'est 1- la probabilité de l'intersection

pour k allant de 1 à n, des complémentaires qui s'écrivent Uk > X.

Ceci est le complémentaire de l'événement Uk inférieur ou égal à X.

Donc nous avons trouvé que Fn(X) = 1- la probabilité de l'intersection des Uk > X.

Maintenant nous allons appliquer la même recette que tout à l'heure,

nous avons des événements indépendants, de même loi,

donc nous pouvons écrire Fn(X) = (1- la probabilité de U1 > X) puissance n.

Nous avons appris à utiliser le fait que les v.a.

étaient indépendantes identiquement distribuées.

Ensuite il suffit de calculer la probabilité pour que U1 > X pour une v.a.

uniforme sur l'intervalle [a, b], c'est (b- x) / (b- a],

donc nous obtenons Fn(X) = 1- ( (b- x) / (b- a) ) à la puissance n.

Il est aussi possible de raisonner par symétrie.

Je vous laisse éventuellement trouver une preuve de cette formule par symétrie.

La deuxième question,

c'était : montrer que les suites Xn et Yn convergeaient et trouver leurs limites.

La convergence étant au sens de la convergence en probabilité.

Déjà en regardant un peu ce qui se passe, on peut s'imaginer assez facilement que

la suite Xn du minimum converge vers a et la suite Yn du maximum converge vers b.

Comme tout à l'heure, nous avons calculé d'abord Gn(x),

ce qui était un peu plus simple, nous allons d'abord travailler sur Yn.

Donc nous allons fixer un epsilon strictement positif,

et calculer la probabilité pour que Yn soit inférieur ou égal à b- epsilon.

Donc, par la fonction de répartition,

c'est très simple de voir que c'est Gn(b- epsilon).

Nous avons calculé Gn la fonction de répartition de Yn tout à l'heure,

donc nous obtenons ( (b- epsilon- a) / (b- a) ) à la puissance n.

La fraction rationnelle se simplifie en 1- (epsilon / (b- a) )

et donc nous trouvons (1- (epsilon / (b- a) ) à la puissance n.

Pour comprendre le comportement asymptotique,

une façon simple est de prendre l'exponentielle du logarithme, et donc

nous obtenons que la probabilité pour que Yn soit inférieur ou égal à b- epsilon,

c'est l'exponentielle de n logarithme de 1- epsilon sur b- a.

Que nous pouvons borner par l'exponentielle de- n epsilon sur b- a.

Qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Et qui tend même exponentiellement vite vers 0.

De ce fait, nous en déduisons que Yn converge en probabilité vers b.

Et même avec une vitesse que nous pouvons estimer ici

par rapport à la fonction de répartition.

Avec des arguments analogues, ou cette fois-ci par symétrie, un argument assez

simple, nous voyons que pour tout epsilon strictement positif, la probabilité

pour que Xn > (a + epsilon), c'est 1- epsilon sur b- a à la puissance n,

ce qu'on avait déjà trouvé tout à l'heure, la symétrie s'écrit très facilement cette

fois-ci, c'est donc l'exponentielle de n logarithme de 1- epsilon sur 2- a,

c'est borné par l'exponentielle de -n et de epsilon sur b- a qui tend vers 0,

et Xn converge en probabilité, et même exponentiellement vite, dans ce sens-là.

Nous avons montré que Xn converge en probabilité vers a,

et que Yn converge en probabilité vers b.

La troisième question était de montrer,

sans calculs, que les convergences étaient presque sûres.

Je rappelle que la convergence presque sûre impliquant la convergence en

probabilité, les seules limites possibles pour la convergence presque sûre,

cela va être a et b.

Donc, nous pouvons considérer un petit oméga, et évidemment, la suite

Xn de oméga est une suite monotone, la suite Yn de oméga est une suite monotone,

la première étant décroissante, la deuxième étant croissante,

nous avons pris un minimum et un maximum, donc ce sont deux suites monotones bornées

par a et b, donc ce sont deux suites, pour chaque oméga, qui convergent vers [a, b].

Donc en fait, nous avons une convergence qui n'est même pas presque sûre.

Nous avons une convergence sûre, et ce que nous pouvons dire,

c'est que, presque sûrment, les limites sont a et b.

Donc, la convergence presque sûre impliquant la convergence en probabilité,

nous en déduisons que Xn converge presque sûrement vers a,

et Yn converge presque sûrment vers b.

Donc c'est ainsi que nous terminons la solution de l'exercice et,

presque sûrement, l'exercice lui-même.

Minimum et maximum de variables aléatoires uniformes

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

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