前面我们谈到在涉及到人们的判断

以及根据这个判断采取行动的场合，

事件啊可以分为两类：外生事件和内生事件。外生事件呢，指的是

事件的发生不受人们行为的影响，也就是人们在事件之外。

比如我们买彩票，最后出哪几个数字和我们认为哪些个数更可能出现

并且就选了些数，没有关系。内生事件呢，指的是事件如何发生和人们的行为

有关，也就是人们在事件之中。例如我们这门课

前面讨论过的交通拥堵事件。每个人要判断是否会堵车，

然后根据自己的判断决定是不是出行。

那么最后到底堵不堵车呢？是与人们的判断与行为是紧密相关的。

下面我们就来看一看如何分析外生事件，

从中我们能够得到什么启示。一类典型的外生

事件啊，就是所谓的预测市场。体现出来的，

如同前面提到的买彩票的活动。

预测市场有很多用途，除了社会认知度比较高的

博彩行业，赌场啊，赛马场之类，还有其他作用。

比较有趣的一个就是这里看到的爱荷华大学办的

电子市场，有好些年了。大家有兴趣的可以看

这个地址，可以上去，这个看一看它们能做些什么。

它可以设计各种预测的项目，以市场的机制来

运行。这里呢我们看到的是要预测美国总统大选的结果。

这个市场呢，在大选的前一年就开放。人们通过购买自己，

购买要表示自己判断或者说信念的一种合约来自由地参加，

并根据现实中发生的一些影响选情变化

的情况来进行合约的自由的交易。

例如，这个呢就是2012年奥巴马和罗姆尼的竞选的情况在一个尺度上表现出来的。

大概这有一年多的时间，这个地方叫11年这个7月1日

开始。这个地方我们当时下的这个图的时候已经是

12年10月21号。我们看到呢，

图中的曲线是预测他们取胜的合约的价格

随时间变化的情况。我们能看到这个奥巴马基本上，奥巴马就是上面的这个蓝线，基本上

都是领先的。但是这个罗姆尼啊，也有一段

领先的时候。那在这一段里头，我们看到罗姆尼有点领先。

这个呢是2004年小布什和克里的

竞选情况。布什是红的，这个时候他也是一直领先。但是中间呢，有相当

一段长的时间两人接近，你比方从这地方到这地方。

这个，这就比较接近。但总的来说呢，布什是领先的。

值得强调的是呢，这里给出的都是当时合约的市场

交易价格的变化。反映了人们对候选人的聚合信心的变化，

是对最终结果的预测的指示器，但原则上不会影响最终结果。

好了，下面我们通过一个最简单的例子

来看看预测市场的讨论能给我们带来什么。

现在这儿有两匹马，A和B，我们就把它叫A和B。这两匹马在我们

这个礼拜的讨论中会经常用到。他们呢，即将要进行比赛了，

输赢都有可能。假设你有 w这么多钱，这个钱这你准备来用于

下注的，分别放在它们这两匹马上。要考虑的

是什么呢？是要有多少你想放在A上面，

有多少你想放在B上面。也就是你要确定一个数r，

这个r呢在0和1之间，是一个份额的概念。

那么要让这个rw，w是你的钱数，赌在A

上面，那就1-w当然就是赌在B上面。你希望得到一个

最大的回报。那么

到底回报是什么呢？怎么来做这个决定呢？

如果这个回报就是我们返回的钱数的期望，

因为这个事情是一个概率事件，我们只能讨论期望。那么我们还需要其他一些信息才可以做决定。

什么信息？我们一是A和B取胜的概率，

比方说通过长期的观察，大概有个认识。

这里用a，这叫a，小a是这个大A取胜的概率。

这小b呢，它是等于1-a的。我们这里假设，要么a要赢，要么b要赢，他们中的一个。

所以呢，这两个概率加起来要等于1。这个，所以从这里我们看到，我们还要

知道什么，还要知道通常我们说我们要知道这一种所谓赔付率，赔付率。

也就是说你投入一块钱，如果万一它赢了的话呢，

它给你的这么多倍，叫赔付率。A的赔付率，B的赔付率。好，说到这个事情了。于是这个问题呢

就变成了要确定一个r，r是你自己要考虑的问题，使得

这样一个回报的期望最大。这样一个表达式是什么意思呢？

这中间是表示，这个rw是你要放到这个到A上的钱，是吧？

那么它在乘以这个oA呢就是，如果A取胜，

你要拿回来的钱。那么这个式子呢要乘以这个A取胜的概率， A取胜的概率，

加上这叫如果B取胜，你可以拿回来的钱。那么要乘上一个B取胜的概率，

这就是我们标准的期望表达式，或者说一个加权的平均。把

这样一个式子把它展开，就得到了后面这个样子，

这个样子，特别我们看到的是什么？看到的第二项这一项和r没关系，我们现在

就关心这个r会怎么样。那我们就看到什么呢？只有第一项与r有关，

而且是，而且是，先把这个搞干净一点。

而且是什么呀？而且是这个式子很重要，啊，这个式子很重要。如果这个

a乘以oA减去b乘以oB，它大于零的话，

那么这第一项呢就是正数，小于零，那它就是负数。它们是

正数的时候，r当然是越大越好，反之呢，就越小越好。

于是，我们就可以得到一个结论，当a

乘以oA大于b乘以oB的时候，我们这个r就越大越好，那r就等于1。

是吧？否则呢，这个r就等于0。

注意，在我们这个讨论中，A,B,oA,oB

都是假设已知的信息。那么这样一个结果，这样一个结果，

就意味着你要么

将钱全部投向A。当r=1的时候，就说你要都放在A上面。

否则呢，你就全部投向B。

这个分析，看起来，或者听起来也似乎符合直觉的，就是期望值你可以得到最大。

下面我们看个例子。这个例子我们假定a等于0.5，那个b 也等于0.5，小a小b。那么我们又假定呢，这个oA等于2，就是那个赔付率等于2。

那个oB等于1，好，在这个假设下面我们有

刚才我们判别式叫a乘以oA，

它是大于b乘以oB的。对吧，那么所以就应该

取r等于1 ，也就说你应该把你的所有的钱全部压在A上面。

假如你有w等于100块，那么你很可能就这么做了，把100块都放在A上面。

因为一旦A真的赢了，你就会得到200的回报，当然很好。那么A如果输了，

也无所谓。可是，如果你的w不是100，而是100万呢？

你也会全部都下注到这个A上？按照前面这一套理论当然该如此。

前面的理论就说了，前面这个理论跟你w没关系，是吧？

就是判别式我们没有w，它的判别式就这个。所以，

你也该放上去。但是你现在觉得不太对劲，你的直觉会告诉你这样不合适。问题出在哪里呢？

问题就在于前面关于回报的定义没有考虑风险因素，

而风险因素在这个博彩这样的场合

是很重要的。将风险因素考虑到回报模型中

也就是让回报体现人们的风险意识，那么什么是风险意识呢？风险意识就是担心坏事出现

带来的损失，宁可放弃一些好事出现带来的利益

那怎么在回报模型中体现这么一种意识呢？第一种方法就是

不让回报与返回的钱数直接对应起来，而是让回报与那种个人感受啊

钱多了总会有好的感受对应起来，但这种感受呢与财富的多少相关

但不是成比例相关，不能体现风险意识，即坏事出现带来的损失

宁可放弃一下好事出现带来的利益，就让财富的增长带来

的好的感受，这叫增长带来的好的感受的

增加随财富量的增加而减少

简单的讲，就是如果你是个穷人，意外的得到了十块钱

你会很高兴，如果你是比尔盖茨，得到了，看到了十块钱在地上也许都懒得去

弯腰捡一下，这是因为你们的基础不同

怎么来表达这样一种思想呢？选择一种适当的

效用函数作为回报衡量是处理这类问题的一般方法

这种效用函数以一个人的财富数w

为自变量，它应该是个增函数，因为财富多

毕竟感觉要好一些，但要满足这样一种关系，就是

斜率递减的关系，或者说它的

导数是减函数，这样的关系就体现了

同样的财富的增量，啊，比方，这个别财富

原来是这个w减 delta w的时候，变成了

w，这叫同样财富的增量当基数比较小的时候，这个也是财富啊，同样

财富的增量，增量都是delta w，那么同样财富

的增量，基数比较小的时候得到的效用要大于基数比较大的时候

得到的效用，那么这样就是一个所谓的斜率递减的函数

有许多函数它都有这样的性质，我这边写了好些它都有这样的性质

我们呢这里取对数函数处理起来比较方便

下面我们就用这个对数函数，自然对数函数，来做这个效用的表达

就这个样子，U(w) 它就等于这个对数函数

啊对数函数一个方便的性质是什么呢，是这个财富倍增带来的

感觉相同，财富倍增带来的感觉

也就是财富倍增带来的那种效用之差

啊这就是，原来是比方财富有这样的效用，后来财富增加一倍了

效用这个差啊它就是等于一个常数，和原来w没有关系

这就叫效用倍增带来的感觉一样，也就是你本来月工资是1000块

啊现在给你涨成两千块了，会非常高兴的，但如果你原来的工资是一万块

现在给你涨成了一万一千块，你也会高兴，但是没那么高兴

如果涨成了两万块，那高兴的程度就和

一千变两千是一样的了，这个说法不一定十分准确，但其中的意味基本上靠谱

按照这样一种效用函数啊，写出回报

这种效用函数，这个这个这样的效用函数，写出回报，我们还是,

回报也是这个效用的期望就是这个样子啊那么也就是说我们这回看到的是一个

这个效用，这是效用，这也是效用

连个效用加上对应的概率

啊这样写出来，把这个整理，出来以后就发现呢

我们前两项是和R有关的，后两项没有关系

我们现在要求一个R，使得这一个函数取最大值啊，求一个导数，最后等于零，那么我们就得到

这样一个式子，这个式子的结果就是 r等于a

这就是说啊，投放在马a上面的钱数，占你所有的总钱数的占比

就等于你认为这个马a取胜的概率

也就是说完全取决于你的信心，你对它有多少信心

你就放多少钱在它身上

而不是像前面那样，要么把宝全部押在a上，要么全部押在b上

风险很大，这里就是说，投在a上的财富的占比

最好就等于a取胜的概率，在这样的一个

效用函数下，投注策略与赔付率无关，跟我们刚才所不一样的，好，那么这一节呢

针对一种最简单的预测市场的场景，我们看到呢

讨论外生事件关心的一些问题

人们不能影响事件发生的结果，但可以基于对可能出现结果的认识

决定自己的策略，策略的选择是与回报相关的

对应回报最大的策略也就是最优策略，同时我们看到不同回报的含义所表达出来

的策略追求是不一样的，不管怎样，在外生事件场合

人们计算回报，只是和自己的信念

或者说自己得到的信息有关，与其他人的策略无关

换句话说，预测市场虽然包括博彩对个人来说有输赢，但不构成博弈论意义下的博弈

简单预测市场模型

人群与网络

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