好，那我們現在繼續來接著討論 Rotation Matrix 的其它的特性。那現在要講的就是 Rotation Matrix 的第三個功能 Rotation Matrix 本身它也可以來描述一個物體轉動的狀態所以這個其實也是它爲什麽會叫做 Rotation Matrix 的原因那我們今天其實空間中的轉動包含三個自由度，是蠻複雜的那所以我們今天就先從對三個 principal axes 的轉動開始來做一個討論那我們首先就先來看對 Z 軸的轉動好，由圖中我們可以看出來說假設我們的座標本來是藍色的部份，就是 XA、 you、 ZA 那我們今天把這個座標軸，整個座標繫去針對 Z 軸去做一個旋轉。那我們其實在講旋轉的時候基本上都是逆時針為正，所以這裡圖中其實畫的是說以從上方往下看的逆時針是正的方向所以等於說上方往下看，逆時針是正的時候，我們 XA、 you 就會如圖中所畫的這樣子轉過來，轉到一個橘色的位置，就變成是 XB 跟 YB 那這個轉動的角度，假設我們叫它叫做 θ 好了那這個 θ 角下面，我們就可以開始去針對這個 θ 角和旋轉矩陣去做一個描述那我們先直接來看藍色的這個座標繫跟橘色的這個座標繫好了。我們如果帶著之前的定義帶著之前的定義，我們知道說，今天如果要找到這個 B 的這個 frame 相對於 A ，我們就知道說，我們的第一個 column 事實上就是 XB 在 XA 的，抱歉，XB 在 A frame 的 X、 Y、 Z 三個方向的投影所以因為我們知道說在這裡我們定義成就單純是一個旋轉的 θ，所以我們知道說我們的新的 XB 在 A frame 上面的投影就變成是 cos、 sin 跟 0 ，所以就是這個我們這裡矩陣所寫的第一個 column 就是 cos、 sin 跟 0 那我們的 YB 用同樣的方式來處理的話，我們可以發現說 YB 在 XA、 you 跟 ZA 上面的投影自動就會變成 -sin、 cos 跟 0 所以就等於說這裡就得到我們的第二個 column，那因為兩個 Z 軸是重合的，所以我們就可以寫成 0、 0、 1 那由於我們之後這個旋轉矩陣會用的很多，那寫 cos、 sin 的字又比較長比較多，畫面看起來比較亂，所以事實上在這門課裡面，我們都會把整個符號以中間的這個矩陣的這個簡化的寫法，就等於說 cos θ 就會寫成 cθ，sinθ就會寫成 sθ，等於說會讓整個矩陣裡面的數字比較簡潔一點就等於說那我們今天在這樣子解釋完之後，我們等於說我們是把 XA 等於說 A frame 轉到了 B frame 等於說間接代表我們是以一個旋轉 θ 的角度去詮釋那我們事實上得到了這個矩陣，我們就等於是 B 相對於 A 的矩陣那由於我們是以旋轉的方式去詮釋，我們就有另外一個針對這個旋轉矩陣的表達法就像是這裡圖中所示的，我們是 R ，針對的 ZA 軸，這個 ZA 寫在右下角就代表說它的是，講的是這個旋轉矩陣的旋轉軸那中間有一個 θ 角，就間接代表說它的旋轉角度是多少度那當我們的軸知道，旋轉角度知道，其實我們裡面的數字，旋轉矩陣裡面的九個數字就可以完全地確認了所以這就是這個針對 Z 軸的旋轉是長這樣，那這個右上角這邊有做一個動畫，就給同學看說，好，我今天針對 Z 軸的旋轉，大家可以看到說我今天的 X double prime 有一直在沿著 Z 的方向逆時針旋轉嘛，對不對？它就是一個這樣子的一個動畫，就可以看出來說這個座標到底是怎麼樣在移動的那我們來看第二個是針對 XA 的方向來旋轉，剛剛我們是針對 Z 軸，現在是針對 X 軸那這個軸其實就比較容易讓我們看清楚說，我們是逆時針地旋轉為正。各位同學可以看到說我們今天眼睛的視角其實是在以正 X 的方向往 -X 看對不對？那我們在今天這樣看過去的時候我們的逆時針方向是定義為正轉的方向，所以各位同學可以看到說，我今天 Y double prime跟 Z double prime 它是以逆時針的方向去轉動，然後是等於說會以逆時針的方向去跟 YZ 的這個座標軸去分開來的，所以在我這個手畫的這個示意圖裡面，我們這樣子逆時針轉了之後我們就上面就有一個 θ 角就跑出來。那我們現在要定義說 R 的 XA (θ)，就等於說要定義這個針對 XA 轉 θ角度的旋轉矩陣的時候我們可以一樣用投影的方式去想。那今天由於是 XA 跟 XB 是重合，所以我們的第一個 column 就很單純的是 1、 0、 0 那我們的 YB 就會投影到 you 跟 ZA 上面所以就等於說是一個 cos、 sin，因為我們是針對在圖中可以看出來說是這個 YB 這個向量是相當於說是從 Y 的向量往上轉的一個θ，所以是 cos、 sin 那我們的 ZB 一樣投影到 you 跟 ZA 上面的時候，就變成是 -sin 跟 cos ，因為在 Y 的方向上面是負的，所以最後就得到了一個矩陣是長這樣子那最後是我們針對 you 軸的旋轉那對 you 軸的旋轉，各位同學可以看到說這個示意圖跟右側的動畫就可以知道它動的方向那我們現在是 Y 軸是重合，所以變成說是中間的 column 0、 1、 0 是不動的。那我們針對 X 軸的方向的時候，我們的 XB 轉到了 XZ 平面的下方，所以到 Z 的分量就變成是 -sin。那 X 的分量一樣是 cos。那我們的 ZB 在旋轉的時候，它轉的一個角度 θ之後它的在 X 方向的投影上是 sin ，在 Z 方向的投影是 cos，所以一轉過來之後它就是 sin 和 cos 那各位同學可以發現說在這三個矩陣裡面，其實針對 Z 軸的旋轉它的這個 cos、 sin 會聚集在右上角，那針對 X 軸的旋轉，它的 cos、 sin 會聚集在左下角那針對 Y 軸的旋轉，它的 cos、 sin 就會分散在這個矩陣的四個角落。那剛好它的那個負號的方向也是跟其它的是反過來的，所以是 Y 的部份是最容易在推導的過程中不小心寫錯，這個同學們以後在做預算的時候可能要稍微特別注意一下這個部份。那我們有了這個旋轉矩陣之後我們就來看一下說用這個角度的定義下的旋轉矩陣，它要怎麼去在我們的實際操作上面去做一個運用，那我們現在就來看一個例題我們現在就假設說，我們在這個座標上面一樣，我們現在是先有一個基礎的座標是藍色的它是 X、 Y、 Z ，我們就假設說今天我們是要在這個座標上面的一個向量 PA 以 A，A 個這個 frame ，就是我們現在只有一個 frame A 來表達，它這個向量本身是 0、 1 跟 1.732 所以這就是畫在圖中的這個位置。那我們現在想要做的是說我們今天這個向量，我們可以來讓它對著 X 軸去做一個旋轉那我們寫旋轉 30 度的時候，當我們沒有寫正負的時候，就代表我們要它逆時針旋轉 30 度那我們想要求得說這個向量針對逆時針旋轉了 30 度之後它所在位置的座標變成了什麽？所以我們現在就知道說我們需要用的公式就是先找到 Rotation Matrix 對 X 軸旋轉 30 度的那個旋轉矩陣是什麽所以我們的第一步就先找出 RXA 的 (θ) 那這裡的θ就是代 30 度進來，那我們的 RXA 的公式在前一頁裏面就有了，所以我們只是把θ 30 度代進來去做一個運算，可以得到這一個矩陣，就是 100、 0、 0.866 跟 0.5 0、 -0.5 和 0.866。那我們有了這一個矩陣之後，等於說它是讓我們當我們把一個向量代到這個矩陣的時候就讓它會有一個旋轉的功效，所以我們現在要讓我們的 PA 轉 30 度的時候，我們就是把我們的 P 在 A frame 下面的這個向量跟旋轉矩陣相乘，它就有一個旋轉的功能。那等於說我們今天就把 0、 1 1.732 跟剛剛前面算出來，對 XA 軸轉 30 度的旋轉矩陣相乘乘完之後，我們就可以得到一個 0、 0、 2 就等於說事實上它就會剛好在 Z 軸上面那一樣，在這裡我們是用代數的方式去解，那我們在幾何上面事實上也可以看到這樣子的效果因為我們知道說我們原本 P 點的座標 0、 1 1.732 基本上它就是跟 Y 軸呈現一個 60 度的夾角對吧？它是 1 跟 1.732，代表說這個向量長度是 2 然後它的投影出來的分量是 1 跟根號 3，所以它基本上是一個跟 Y 軸 60 度的夾角。那我們原本的向量跟 Y 軸是 60 度的夾角，它又在 YZ 平面上面，它對 X 軸又轉 30 度，間接代表說這個 P 點的這個向量，它是在 YZ 平面上面從原本的 60 度再多轉 30 度，所以間接代表說它就轉到了 90 度，跟 Y 軸夾角就 90 度，又在 YZ 平面上面間接代表說這個向量就轉到了 Z 軸上面那剛剛也知道說它的長度是 2 ，所以就知道說我們轉完之後，從幾何的角度，我們也可以知道說這個向量現在所在的位置是 0、 0、 2，就跟我們剛剛用跟用代數的方式來運算所得到的結果是一樣的所以又間接再一次確認說，我們今天剛剛所推導的這個代數的方式是正確的。那我們現在就來針對我們到目前為止所教的 Rotation Matrix 的幾個用法，我們來做一個總結，我們從一開始是把 Rotation Matrix 用來描述一個 frame 相對於另外一個 frame 的姿態所以各位同學也看到說我今天有一個剛體，或者說有一個 range body 我在 body 上面建了一個 frame ，就是這裡的 B frame ，那它是一個剛體，所以它有一個 frame 在上面，那我們要描述這個剛體相對於世界座標的狀態，我們就算出了是一個 B frame 相對於 A frame 的狀態，那最後就是一個 Rotation Matrix B 對 A 的那這個矩陣裡面我們也特別強調說，這裡的三個 column 各自就是 B frame 上面三個主軸在 A frame 上面三個主軸的投影這是第一個用法，第二個用法我們也用來表達說今天 Rotation Matrix 也可以把我們本來有一個向量是以某一個 frame 來表達那我們借由 Rotation Matrix 可以把它轉到另外一個 frame 來表達舉例來說好了，我們這裡有一個 P 點的向量，本來它是在 B frame 上面表達那我們借由把這一個向量再跟 R 的 B 對 A 去做一個相乘之後就可以把這個 P 點的向量變成是以 A frame 來表達，所以等於說它是把我們的一個向量做 frame 之間的轉換用的那第三個方法基本上就是把我們的一個點或者是一個向量，讓它在空間中做一個旋轉的動作，那就像是前一頁講的我們今天假設我們的 P 點在這個座標上的某個位置我們乘上一個旋轉矩陣之後，基本上它就會讓我們的這個向量是對空間中的某一個軸向轉一個特定的角度 θ，所以從圖中來看，它就從 P 的這個向量轉到了 P prime 的這個向量。那按照它的今天這個旋轉矩陣的軸的方向跟這個 θ 當然說除了我們剛剛前一頁所教的針對三個主軸之外，我們還有辦法針對其它任何廣義的軸都來做相似的操作。那那個等於說我們就要針對這個 Rotation Matrix 再做進一步地說明那那個在下一次的課程裏面會有更多更詳細的解說 [音樂] [音樂] [音樂]

1-4_Rotation Matrix 3

機器人學一 (Robotics 1)

Meet the Instructors