Среди жителей Кёнигсберга была распространена такая практическая головоломка: можно ли пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды? В 1736 году выдающийся математик Леонард Эйлер заинтересовался задачей и в письме другу привел строгое доказательство того, что сделать это невозможно. В том же году он доказал замечательную формулу, которая связывает число вершин, граней и ребер многогранника в трехмерном пространстве. Формула таинственным образом верна и для графов, которые называются "планарными". Эти два результата заложили основу теории графов и неплохо иллюстрируют направление ее развития по сей день. Граф как математический объект оказался полезным во многих теоретических и практических задачах. Наверное, дело в том, что сложность его структуры хорошо отвечает возможностям нашего мозга: это структура наглядная и понятно устроенная, но, с другой стороны, достаточно богатая, чтобы улавливать многие нетривиальные явления. Если говорить о приложениях, то, конечно, сразу же на ум приходят большие сети: Интернет, карта дорог, покрытие мобильной связи и т.п. В основах поисковых машин, таких, как Yandex и Google, лежат алгоритмы на графах. Помимо computer science, графы активно используются в биоинформатике, химии, социологии. Этот курс служит введением в современную теорию графов. Мы, конечно, обсудим классические задачи, но и поговорим про более недавние результаты и тенденции, например, про экстремальную теорию графов. Материал изложен с самых основ и на доступном языке. Целью этого курса является не только познакомить вас с вопросами и методами теории графов, но и развить у неподготовленных слушателей культуру математического мышления. Поэтому курс доступен широкому кругу слушателей. Для освоения материала будет достаточно знания математики на хорошем школьном уровне и базовых знаний комбинаторики. Курс состоит из 7 учебных недель и экзамена. Для успешного решения большинства задач из тестов достаточно освоить материал, рассказанный на лекциях. На семинарах разбираются и более сложные задачи, которые смогут заинтересовать слушателя, уже знакомого с основами теории графов.
提供方
Теория графов
教学大纲 - 您将从这门课程中学到什么
Введение. Базовые понятия теории графов
В первую неделю курса мы познакомимся с понятием графа, научимся отличать граф от его изображения, поговорим о разных видах графов. Мы вспомним, с чего началась теория графов, научимся представлять в виде графа структуру интернета. Мы обсудим такие важные понятия, как маршруты в графах, степень вершины, связность, а также начнем говорить про важный класс графов - деревья.
Эквивалентные определения дерева. Планарные графы
На этой неделе мы научимся определять деревья четырьмя различными способами, и поговорим о том, как правильно раскрашивать географические карты. Мы вспомним знаменитую теорему о четырех красках, а также критерий Куратовского о том, как определить, можно ли нарисовать данный граф на плоскости без пересечений ребер. В последней части лекции мы обсудим формулу Эйлера для планарных графов и некоторые из её множественных следствий.
Формула Кэли. Унициклические графы. Эйлеровы циклы
На этой неделе мы перечислим все деревья. Для этого нам потребуется перенять опыт древних по подсчету баранов (или козлов). Не остановившись на этом, перечислим и все леса и унициклические графы. Затем мы вернемся к задаче о Кёнигсбергских мостах и получим полное решение этого вопроса.
Гамильтоновы циклы
На этой неделе мы продолжим обсуждать циклы, проходящие через весь граф. На этот раз мы поговорим про циклы, проходящие через все вершины графа. В отличие от эйлеровых циклов, здесь нет необходимого и достаточного критерия наличия такого цикла. Есть только достаточные условия, и мы обсудим два таких условия, довольно разных по своей природе. По пути мы обсудим такие важные характеристики графа, как независимое число и k-связность. В качестве дополнения, мы расскажем об одном очень интересном классе графов, для которого один из критериев работает, а другой - нет.
来自Теория графов的热门评论
Очень интересный курс. Проходил его просто из любопытства и открыл для себя много нового в теории графов. Задачки средней сложности. Некоторые можно просто решить запрограммировав перебор.
Отличный курс, правда местами задания сложные, но зато есть над чем поломать голову) Это тот курс, который даст хорошие знания и для окончания которого действительно стоит постараться.
讲师
Андрей Райгородский
профессор, доктор физико-математических наук
Андрей Купавский
кандидат физико-математических наук关于 莫斯科物理科学与技术学院
常见问题
我什么时候能够访问课程视频和作业？
注册以便获得证书后，您将有权访问所有视频、测验和编程作业（如果适用）。只有在您的班次开课之后，才可以提交和审阅同学互评作业。如果您选择在不购买的情况下浏览课程，可能无法访问某些作业。
我购买证书后会得到什么？
您购买证书后，将有权访问所有课程材料，包括评分作业。完成课程后，您的电子课程证书将添加到您的成就页中，您可以通过该页打印您的课程证书或将其添加到您的领英档案中。如果您只想阅读和查看课程内容，可以免费旁听课程。
退款政策是如何规定的？
有助学金吗？
还有其他问题吗？请访问 学生帮助中心。