[МУЗЫКА] Ну и в заключение полезный факт про решение,

которое следует из секулярного уравнения, из секулярного уравнения мы

должны находить поправки первого порядка к собственным значениям.

Так вот, оказывается, что если мы все S таких корней

уравнения просуммируем, то есть мы найдём сумму по

i E первое i,

вот, а таких здесь будет S штук, то есть это сумма от единицы до S,

то оказывается, что эта сумма равна трейсу матрицы V.

То есть надо просуммировать все диагональные элементы,

Vnn плюс V n'n' плюс

V n''n'', и так далее.

То есть это получается след матрицы

V внутри вырожденного уровня, то есть здесь S слагаемых.

Этот факт, он уже к теории возмущения не имеет отношения,

это просто такой простой факт из линейной алгебры, возможно вы его знаете,

а если не знаете, то давайте сообразим, как это доказать.

Благо, это сделать не сложно.

Значит, как это можно сделать.

Это у нас полиномиальное уравнение, у него есть вот S таких решений, которые

могут быть все различны, могут частично совпадать, это нам сейчас не важно.

Важно, что если мы эти корни знаем,

то мы можем записать наш детерминант в таком виде.

Я не буду писать, что внутри детерминанта,

вот ровно то, что здесь в секулярном уравнении.

Если мы корни знаем, то мы можем его записать в виде таком.

E один минус

наша искомая переменная E два минус она же,

и так далее.

То есть в конце концов будет

Es первое минус E первое.

Значит, чтоб не запутаться, я подчёркиваю,

что вот E один здесь — это наша переменная, а вот те буквы E,

которые содержат нижний индекс, это уже корни, это решения.

Вот если мы из знаем, то мы можем записать наш детерминант таким образом.

Давайте посмотрим, что мы можем сказать,

про две самые большие степени относительно переменной.

Во-первых, это полином в степени S, и максимальная степень —

это E первое в степени S, и это получится, если мы из каждой скобки возьмём E.

Чтобы знак учесть,

давайте я просто буду писать в степени минус E один.

Поэтому вот будет минус E один в степени S.

Это максимальная степень, а следующая степень S минус один, как её получить,

для этого нам надо взять минус E один из каждой скобки, кроме одной.

А из этой одной взять корень.

Но таких вариантов есть вот S штук,

в результате у нас получится не что иное как такая комбинация,

будет сумма всех корней E один плюс

E два плюс, и так далее,

плюс ES на минус E

один в степени S минус один.

Ну и плюс будут более низшие степени, с ними уже труднее, но они нам и не нужны.

Вот мы выяснили про максимальную степень и следующую за ней,

просто вот раскрывая эти скобки и соображая, что в какой степени войдёт.

А кроме того, мы можем подумать иначе, мы можем подумать,

что было бы, если бы мы детерминант такой вот вычисляли напрямую.

Детерминант, вы знаете, можно записать как сумму,

в которой есть большое количество слагаемых,

но если мы хотим сохранить лишь самую высшую степень и следующую за ней,

то оказывается, что только очень особые слагаемые важны.

Ну и чтобы вот это сообразить, можно подумать про вычисления,

например, раскладывая детерминант по строке.

Вот представьте себе, что у нас есть матрица, у неё есть какие-то диагональные

элементы, и мы хотим проследить за степенями вот этой переменной.

Эта переменная входит только в диагональные элементы,

поэтому, во-первых, понятно, что чтобы была степень S,

нам нужно взять произведение всех диагональных элементов.

Если хотя бы один элемент будет не диагональным, там в нём вообще не будет

буквы E, поэтому степень S не получится, но со степенью S минус один

тоже оказывается такая же ситуация, и вот как это можно углядеть.

Вот смотрите, если мы будем раскладывать наш детерминант, скажем,

по первой строке, то у нас будет вот первая, вот этот вот элемент,

который множится на детерминант вот такой вот матрицы.

И здесь всё хорошо, здесь никакие степени не потеряны.

Мы имеем шанс заработать как степень S, так и степень S минус один.

Теперь, если же мы сделаем иначе, если мы возьмём недиагональный

элемент из первой строки, а, например,

вот этот вот, то тогда нам надо брать

его и умножать на минор, то есть на матрицу,

у которой вычеркнуты первая строка и второй столбец,

и это значит, что в оставшейся матрице нету двух диагональных элементов.

То есть мы убрали два элемента, которые содержали нашу переменную,

и осталось только S минус два таких элементов.

Поэтому, если мы возьмём то слагаемое,

которое при разложении по строке возникает из вот этого элемента,

у нас здесь мы можем заработать степень не выше, чем S минус вторая.

Поэтому, если мы интересуемся степенями S и S минус один,

то вот такие степени могут возникнуть лишь из произведения диагональных элементов,

поэтому вот здесь в такой полиномиальной записи мы прямо писали,

чему равен детерминант, а здесь я не хочу писать, чему равен детерминант,

я хочу всего лишь сказать, что слагаемые вклады порядка S и S мину один,

они возникнут только из одного вклада, то есть из того вклада,

где у нас перемножены диагональные элементы, который имеет

вид V один один минус E один V два

два минус E один,

ну и так далее,

и так до номера S.

Вот, и это не детерминант.

Вот это всего лишь одно слагаемое в детерминанте, но я понимаю,

что слагаемые степени E один порядка S и S

минус один могут возникнуть только из этого слагаемого.

Ну так вот тогда, если я рассмотрю эти степени, то всё будет аналогично.

Во-первых, войдёт минус E один в степени S, ну а во-вторых, вы видите,

структура этого слагаемого такая же, как структура всей этой записи,

и здесь войдёт следующий вклад такого вида.

V один один плюс V два два плюс, и так далее,

Vss на минус E один

в степени S минус один.

Вот, а дальше есть степени,

которые меньше, чем S минус один, здесь есть степени,

которые меньше, чем S минус один, но они нас уже не интересуют.

Вот старшие степени мы нашли, ну и теперь, сравнив две записи,

мы можем увидить, что вот эта комбинация должна совпадать с вот этой.

Ну это и есть ровно то, что написано сверху.

Вот это такое полезное соотношение, которое стоит иметь ввиду,

ну и оно позволяет, например, проверить себя, если вы делали теорию возмущения

для вырожденного спектра, для вырожденного собственного значения,

нашли вот эти Ei, вы можете сделать быструю проверку,

согласуется ли это с общим соотношением, которое имеет вот такой вот вид.

На этом всё, лекция закончена, спасибо за внимание.

[МУЗЫКА]

Вырожденное собственное значение: сумма корней секулярного уравнения

Введение в математические методы физики

与讲师见面