Это стандартный курс линейной алгебры, содержащий все необходимые для статистики и многомерного анализа приложения и алгоритмы, но не всегда содержащий подробные доказательства. Данный курс пригодится вам для того, чтобы изучить азы линейной алгебры и ознакомиться с базовыми определениями, понятиями и алгоритмами, научиться решать задачи, в которых необходим данный инструментарий. Многие пространственные задачи требуют знания линейной алгебры, а так же ряд задач экономики находит более простое решение, если владеть механизмами решения таких задач; эта наука находит себе применение во всех направлениях математики и ее приложениях, которые только можно представить. После прохождения данного курса вы научитесь корректно использовать понятия вектора, базиса, линейного пространства и линейной зависимости, оператора и матрицы, а так же овладеете несложными инструментами для решения и анализа задач линейной алгебры, научитесь оперировать матрицами и находить максимально подходящие условия для поиска ответа; ознакомитесь с классическими теоремами и узнаете красивые задачи данной науки, а также научитесь проверять свои решения на корректность, а результаты на адекватность, а еще мы обсудим теорему Перрона-Фробениуса и ее приложение к индексированию страниц в интернете. Внимательно смотрите лекции и вовремя выполняйте все необходимые задания. Удачи!
10.1. Квадратичная форма. Выделение полного квадрата
Loading...
来自 National Research University Higher School of Economics 的课程
Линейная алгебра (Linear Algebra)
150 个评分
从本节课中
Квадратичные формы и процесс ортогонализации
В этом модуле разговор пойдёт про квадратичные формы - ещё один вид преобразований, про то, почему они удобны, за какие изменения пространств отвечают, и как приводить их к самому красивому виду путём замены координат.
与讲师见面
Irina KhovanskayaSenior Research Fellow, Lecturer
International Laboratory for Institutional Analysis of Economic Reforms
[ЗАСТАВКА] На прошлой
лекции мы обсуждали билинейные формы.
Мы определили, что такое симметричная билинейная форма и потом,
при помощи симметричной билинейной формы, определили квадратичную форму.
Итак, если у нас есть симметричная билинейная форма B (x, y),
мы подставляем в симметричную билинейную формулу два совпадающих вектора.
Рассматриваем форму на векторе xb (x, x).
Такую вещь называют квадратичной формой.
Если у нас билинейной форме B соответствует некоторая матрица,
мы записали ее, мы фиксировали базис, в этом базисе e1, …, en, мы записываем
все векторы в качестве векторов столбцов, и записали матрицу билинейной формы,
а именно значение билинейной формы B на всех парах базисных векторов.
Тогда при помощи этой матрицы можно записать и билинейную форму на любой паре
векторов, и квадратичную форму на векторе x.
Она будет записана, как x транспонированное * матрицу A * x.
Квадратичная форма — это очень важна вещь.
Почему важны квадратичные формы?
Мы говорили, что любая функция вблизи какой-то...
в маленькой окрестности, очень похожа на линейную.
Если мы возьмем какую-нибудь окрестность точки,
глобальные функции бывают очень сложные, а локальные, около точки, хорошие функции,
гладкие дифференцируемые функции, очень похожи на линейную.
А что бывает, если линейная часть нулевая?
Около, например, максимума или около минимума,
или около другой экстремальной точки линейная часть обращается в 0.
Как только линейная часть обращается в 0,
становятся важны члены следующего порядка — это бывает квадратичная форма.
Если квадратичная форма не вырождена, то эта квадратичная форма целиком определяет
поведение функции около точки, такой точки, где линейная часть функции равна 0.
Ну кроме этого, конечно, квадратичные формы возникают и совершенно в других
контекстах, в других областях математики и прикладной науки.
Итак, если у нас вектор с координатами x1, …,
xn, мы хотим найти значения квадратичной формы от этого вектора.
Мы сейчас запишем значение квадратичной формы в координатах.
У нас записана матрица билинейной формы, коэффициенты a11, a12, …, ann.
Они все вписаны в эту матрицу.
Мы знаем, что это за коэффициенты.
Это значения билинейной формы,
из которой мы построили квадратичную форму на парах базисных векторов.
Когда мы перемножим вектор-строку,
матрицу и вектор столбец, мы получим число.
Это число будет состоять из суммы слагаемых такого вида.
Будут попарные произведения координат вектора xi * xj
и рядом с таким произведением, произведение xi * xj будет
соответственно стоять с коэффициентом aij, которое возникает из матрицы.
Кроме того, надо вспомнить, что эта матрица была симметричной.
Мы ставили соответствие симметричной билинейной форме квадратичную форму,
а симметричной билинейной форме соответствует симметричная матрица.
Это значит, что коэффициенты будут такие: диагональные элементы матрицы a11,
a22, …, ann, они будут стоять, соответственно,
с квадратами соответствующей координаты — a11x1 в квадрате + a22x2
в квадрате + … + annxn в квадрате, но это только начало истории.
Потом будут идти всевозможные попарные произведения несовпадающих координат,
у каждого из них будет стоять коэффициент 2 и коэффициент aij.
Коэффициент 2 получается ровно от того, что aij = aji.
В принципе, не 2 * aij, а aij + aji * xixj.
Ну такое выражение для квадратичной формы в координатах.
Давайте посмотрим на конкретную квадратичную форму в трехмерном
пространстве.
У нас у вектора x три координаты, x1, x2, x3.
И вот перед нами квадратичная форма.
Мы видим,
сумма квадратов координат с какими-то коэффициентами и попарные произведения.
Что можно сказать про эту квадратичную форму?
Вообще говоря я вот так на первый взгляд ничего почти не вижу,
если просто посмотрю на это выражение.
А если я хочу обдумать — ну, что это такое за выражение?
Например, если все координаты обращаются в 0,
то будет ли здесь максимум или минимум.
Как это понять?
Я не вижу, просто глядя на квадратичную форму, что здесь такое будет.
Как она ведет себя, если мы немножечко поменяем координаты,
немножечко отодвинемся от 0?
Уменьшится значения, увеличатся значения?
В какую сторону надо двигаться, чтобы значения увеличились больше всего?
Если бы я хотела… Вот мне именно эта квадратичная форма интересна,
как бы я стала действовать?
Я бы выделила полный квадрат.
Я возьму сначала x1 в квадрате с тем коэффициентом,
который у него есть, возьму все попарные произведения с x1.
Я хочу представить себе, что есть такое… Представить себе такой квадрат.
Сколько-то x1 плюс сколько-то x2 плюс сколько-то x3, все в квадрате, чтобы
после… Кроме вот этого квадрата, чтобы больше нигде не содержалась переменная x1.
Смотрите, как это делается.
Я возьму x1 в квадрате, я возьму все попарные произведения x1x2 и x2x3.
Этого недостаточно для полного квадрата.
Для полного квадрата, что еще нужно?
Нужно соответствующее количество x2 в квадрате, x2 в квадрате с
соответствующим коэффициентом, x3 в квадрате с соответствующим коэффициентом и
попарное произведение x2x3, тоже с нужным коэффициентом.
Итак, нам дано: коэффициент при x1 в квадрате, коэффициент при x1x2,
коэффициент при x1x3, а все остальные члены в этих скобках я допишу так,
как нужно, чтобы получился полный квадрат.
Дописала так, как нужно, вот выражение в скобках — это полный квадрат.
Но ведь этих чисел не было здесь.
Здесь не был полный квадрат.
Мы что-то добавили, что-то отняли,
хотя выражение этого совершенно не предусматривало.
Давайте все, что мы добавили, и все, что мы отняли, давайте вне скобок еще раз
отнимем или добавим, чтобы получилось равенство верное.
Чтобы общее количество x2x3 не изменилось.
Чтобы общий коэффициент в скобках и вне скобок при члене x2x3 остался прежним.
Хорошо.
Первая скобка — это полный квадрат.
Вне этой скобки ничего с множителем x1 нет,
осталось только выражение с множителями x2 и x3.
x2 в квадрате с коэффициентом,
x3 в квадрате коэффициентом и попарное произведение x2x3 с коэффициентом.
Возможно, это не полный квадрат.
Так и есть, это не полный квадрат.
Но мы сделаем то же самое.
Мы возьмем x2x3… Мы возьмем выражение x2 в квадрате с коэффициентом,
коэффициент вынесем за скобку.
У нас получится коэффициент умножить на x2 в квадрате и осталось
попарное произведение x2x3 такое, какое есть.
Добавим сюда столько x3 в квадрате, сколько нужно,
чтобы получился полный квадрат.
У нас вторая скобка тоже стала полным квадратом, после этого
осталось сколько-то x3 в квадрате, ну столько, сколько подсказывает коэффициент.
Мы сделали это вычисление, посмотрите.
И вот получили выражение, 3 квадрата с какими-то коэффициентами.
Как понять, будет у функции здесь максимум или минимум?
Ну очень просто.
Если перед всеми квадратами стоит плюс, то 0 — это самое минимальное значение,
которое может принимать такая функция.
Сумма квадратов, она никак не бывает отрицательной.
Если перед всеми квадратами стоит минус, то в нуле будет максимум.
Потому что такое выражение всегда будет отрицательным и только в
нуле будет нулевым.
Если перед некоторыми скобками стоят плюсы,
перед некоторыми скобками стоят минусы, как в нашем случае, значит,
здесь не будет ни максимума, ни минимума, такая точка называется седловой точкой.
А в матанализе здесь ни максимум, ни минимум, хотя никакой линейной части нет.
Такой случай тоже бывает.
Мы разобрали какой-то конкретный пример.
Взяли конкретную квадратичную форму в случае трех переменных.
А если переменных было очень много?
А если была другая квадратичная форма?
Можно ли действовать так же, по тому плану,
который мы составили в том конкретном примере?
Вообще говоря, да, можно.
Можно снова собрать все члены, содержащие x1 в одни скобки,
после этого добавить все квадраты других координат, и все попарные произведения
других координат, которые требуются, чтобы в первой скобке был полный квадрат.
После этого мы вычтем то, что добавили, чтобы общая сумма не изменилась.
В первой скобке получился полный квадрат,
а все выражение вне скобки не содержит переменной x1.
Что это значит?
Это значит, что мы вне скобки получили квадратичную форму,
снова квадратичную форму.
Ведь мы не добавляли никаких выражений другого вида.
Только квадраты, координаты и попарные произведения координат.
Но вне скобок уже нет никакого выражения не содержащего x₁, значит
снова можно выбрать первую переменную x₂ и снова с ней действовать так же.
Снова выделить полный квадрат, и потом, и потом, и потом...
И в конце концов мы, наверное, если все получится...
А что нам может помешать?
Получится некоторая сумма квадратов.
Таким образом, мы приведем...
квадратичную форму представим в виде суммы квадратов.
Ну не просто суммы квадратов,
а конечно суммы квадратов с какими-то коэффициентами.
То, что мы сделали, что-то напоминает.
Если выражение в первых скобках, которое в квадрате,
мы назовем y₁ и скажем, что это первая координата вектора, выражение во вторых
скобках назовем y₂ скажем, что это вторая координата вектора, то фактически речь
будет идти просто о замене координаты, переходе к другому базису.
В одной...
в одном базисе у нас записалась форма как какое-то сложное выражение,
где было n² ну или, может, немножко меньше коэффициентов.
А если мы привели форму как...
в каких-то координатах она записалась как сумма квадратов с коэффициентами,
у нас здесь всего лишь участвует n коэффициентов, что,
в общем-то, гораздо приятнее, чем n² коэффициентов.
Гораздо меньше коэффициентов, гораздо легче понять, что именно происходит,
хотя бы исходя из знаков этих коэффициентов.
Всегда ли такой план работает?
Нельзя ли придумать такую квадратичную форму, когда мы не сможем так сделать?
Ну вот, пожалуйста, приходит сразу в голову квадратичная форма,
где есть какие-то попарные произведения, но нет никакого квадрата.
Например, квадратичная форма 2x₁x₂ С такой
квадратичной формой невозможно действовать по нашему плану: а где же x₁²?
Нет никакого x₁².
x₂² нет, вообще нет никакого квадрата, только одно попарное произведение.
Как такую форму представить в виде суммы квадратов?
Для этого случая есть специальный трюк.
Для этого делают такую замену координат: говорят,
что y₁ — это x₁ + x₂, а y₂ — это x₁ − x₂.
Тогда оказывается, что квадратичная форма 2x₁x₂ в этих
координатах принимает вид ½(y₁² − y₂²).
И если квадратичная форма не содержит ни одного квадрата коэффициента,
можно поступить аналогичным способом.
Можно сделать...
прежде чем ее как-то изучать, прежде чем выделять полные квадраты,
надо сделать аналогичную замену переменных.
Просто x₁ + x₂ заменить на одну переменную,
а x₁ − x₂ заменить на другую переменную.
После этого в выражении возникнут квадраты.
Если мы делали, делали, делали замену переменных, и в конце осталось выражение,
не содержащее никаких квадратов, снова можно так поступить.
Это никак не повлияет на значения переменных, которые находятся в скобках.
Пожалуйста, сделали такую замену переменных и двигаемся дальше.
Здесь же не участвуют те переменные, которые мы уже раньше исключили.
Выделяя полный квадрат, мы получили какой-то ответ.
Получили квадраты каких-то новых координат с какими-то коэффициентами.
Однозначный ли ответ?
Идя разными путями, мы всегда бы получили один и тот же ответ,
или могли получить разные ответы?
Сразу видно, что ни на какую однозначность невозможно рассчитывать.
Например, выражение 4x₁² могло быть просто 4x₁², а могло быть (2x₁)²,
то есть сделав замену переменной, заменив x₁ на 2x₁,
заменив так координаты, мы бы поменяли выражение для квадратичной формы.
То есть, если мы не накладываем никакие требования на замену координат, нельзя,
невозможно рассчитывать на то, что ответ не будет зависеть от замены координат,
не будет зависеть от того, каким образом, каким путем мы выделяли квадраты,
каким путем мы шли, с какой переменной начинали и как дальше действовали.
[МУЗЫКА] [НЕТ ЗВУКА]
