Это стандартный курс линейной алгебры, содержащий все необходимые для статистики и многомерного анализа приложения и алгоритмы, но не всегда содержащий подробные доказательства. Данный курс пригодится вам для того, чтобы изучить азы линейной алгебры и ознакомиться с базовыми определениями, понятиями и алгоритмами, научиться решать задачи, в которых необходим данный инструментарий. Многие пространственные задачи требуют знания линейной алгебры, а так же ряд задач экономики находит более простое решение, если владеть механизмами решения таких задач; эта наука находит себе применение во всех направлениях математики и ее приложениях, которые только можно представить. После прохождения данного курса вы научитесь корректно использовать понятия вектора, базиса, линейного пространства и линейной зависимости, оператора и матрицы, а так же овладеете несложными инструментами для решения и анализа задач линейной алгебры, научитесь оперировать матрицами и находить максимально подходящие условия для поиска ответа; ознакомитесь с классическими теоремами и узнаете красивые задачи данной науки, а также научитесь проверять свои решения на корректность, а результаты на адекватность, а еще мы обсудим теорему Перрона-Фробениуса и ее приложение к индексированию страниц в интернете. Внимательно смотрите лекции и вовремя выполняйте все необходимые задания. Удачи!
4.1. Системы линейных уравнений
Loading...
来自 National Research University Higher School of Economics 的课程
Линейная алгебра (Linear Algebra)
151 个评分
从本节课中
Системы линейных уравнений
Эти лекции дадут нам понять, как привычные нам системы линейных уравнений с многими неизвестными связаны с пространством, функциями в нем и разными фигурам, а так же обсудим разные методы решения таких систем.
与讲师见面
Irina KhovanskayaSenior Research Fellow, Lecturer
International Laboratory for Institutional Analysis of Economic Reforms
[ЗАСТАВКА] Сегодняшняя лекция называется «Система линейных уравнений.
Метод Гаусса».
Мы сегодня обсудим, действительно, как решать системы линейных уравнений,
обсудим, что такое метод Гаусса,
как методом Гаусса решаются системы линейных уравнений.
Что такое линейное уравнение, это понятно.
Линейные уравнения — это уравнения, в которых все переменные входят не больше,
чем в первой степени, никаких не бывает ни квадратов, ни кубов, ни корней.
Например, уравнение x + y = 4 — линейное, или уравнение x + 3 = 2 — линейное.
А уравнение x^2 − 9 = 0 — уже не линейное, это квадратичное уравнение.
Мы будем рассматривать систему линейных уравнений,
то есть набор из нескольких уравнений от нескольких переменных.
Единственный вопрос, который возникает,
когда мы приступаем к решению системы линейных уравнений — в чем же дело?
Мы систему линейных уравнений решали еще в школе, что здесь сложного и зачем еще
вводить какой-то непонятный метод Гаусса, для того чтобы их решить.
Действительно, кто из нас не может решить, например,
такую систему уравнений: x + y = 10 x − y = 2.
Ну, конечно, эта система решается.
Мы скажем, что x = 10 − y,
подставим это 10 − y во второе уравнение — у нас получится уравнение относительно y,
линейное уравнение относительно y, которое мы решим.
После этого полученный y подставим в первое уравнение, решим первое уравнение,
и вот мы получили решение уравнений: x = 6, y = 4.
И действительно — x + y = 10, x − y = 2.
Системы линейных уравнений решаются просто, мы их решать умеем,
и что еще можно здесь сказать, непонятно.
Итак, что мы сделали, решая систему линейных уравнений,
какой у нас план решения системы линейных уравнений?
Во-первых, мы выразили первую переменную из первого уравнения.
После этого мы подставили выражение для первой переменной в следующее уравнение.
Из второго уравнения мы нашли y,
после этого подставили найденный y в первое уравнение.
Это решение выглядит как хороший план на любой случай для
системы линейных уравнений — не важно, сколько было переменных, не важно,
сколько было уравнений.
Из первого уравнения выражаем первую переменную.
Подставляя выражение для первой переменной во все остальные уравнения,
если мы забудем про первую строчку, мы получим систему из меньшего
количества уравнений с меньшим количеством переменных,
ведь первая переменная нигде кроме первого уравнения не участвует.
Теперь с этой меньшей системой от меньшего количества неизвестных
можно действовать также.
Первую...
выражаем из первого уравнения первую переменную и так далее.
В конце концов мы получим одно уравнение от одной неизвестной, мы выразим
из этого уравнения — одно уравнение от одной неизвестной уж как-нибудь мы
решим — мы найдем решение последнего уравнения, выразим последнюю неизвестную.
После этого подставим значение не выражения для последней неизвестной,
а значение последней неизвестной во все предыдущие уравнения.
Как мы действовали, когда решали систему?
Мы нашли, что y = 4, и подставили это значение в первое уравнение.
После этого мы получим выражение для предпоследней переменной,
найдем ее значение и так далее и так далее — будем подставлять все
следующие переменные в предыдущие уравнения.
Итак, мы придумали замечательный план решения любой системы линейных уравнений.
Очень жалко, что этот прекрасный план совершенно нереалистичный — нам могут
встретиться разные трудности, с которыми непонятно, как обходиться.
Например, мы хотели первую неизвестную выразить из первого уравнения.
А вдруг в первом уравнении нет первой неизвестной?
Посмотрите, какая система написана.
Первое уравнение — y + z.
В этом уравнении не участвует переменная x.
Другая проблема, которая может нам встретиться: а что если уравнения
кончились раньше, чем неизвестные?
У нас в последней строчке участвует не одна переменная, а две, три или пять.
Мы не можем найти из одного уравнения значения сразу нескольких переменных,
только для одной переменной можно решить одно уравнение.
Могла произойти и другая сложность — могли переменные кончиться раньше,
чем уравнения.
И с последней переменной осталось не одно уравнение, а несколько уравнений.
Что делать в этом случае?
Наш алгоритм этого не говорит.
Попробуем исправить.
Попробуем посмотреть, что можно сделать с нашим алгоритмом,
для того чтобы разобраться со всеми этими сложностями.
Что делать, если в первом уравнении нет первой переменной?
Нам никто не сказал, какая именно переменная первая.
Нам нравится считать x или, скажем, x1 первой переменной,
но запросто мы можем считать первой переменной какую-нибудь другую y, a, z,
ξ и именно ее выразить из первого уравнения.
Другой подход может быть такой: мы можем просто переставить уравнения.
Какая разница, в каком порядке записаны уравнения в системе — мы можем поставить
первым уравнением то уравнение, в котором есть та переменная,
которую нам нравится считать первой.
А если такого уравнения не найдется, значит, эта переменная вообще не
присутствует в системе, и никак мы не можем вычислить переменную,
относительно которой нет ни одного уравнения.
Например, в этой системе у нас в первом уравнении не содержится переменная x,
мы могли переставить уравнения так.
Вот, смотрите, теперь в системе на первом месте стоит уравнение, содержащее x.
И уже теперь решать эту систему уравнений — здесь все получится.
В последнем уравнении может остаться несколько переменных.
Эту проблему так просто не решить.
Ну например, давайте посмотрим на самый-пресамый простой случай.
Пусть у нас была система из одного уравнения, а переменных там было две.
Например, у нас было уравнение x + y = 4.
Как мы не будем переставлять это уравнение, как мы не переставим слагаемые
в этом уравнении, мы не получим однозначного решения такого уравнения.
Если мы рассматриваем уравнение x + y = 4,
мы неминуемо сталкиваемся с тем, что у этого уравнения много решений.
Действительно, любая пара вида (x; 4 − x) является решением этого уравнения.
С этой проблемой можно справиться так, как, на самом деле, мы только что и
справились — можно выразить переменные, которые можно выразить,
через некоторое количество переменных, которые мы можем назначать любыми.
Это переменные мы будем назначать свободными.
Например, решая предыдущее уравнение,
мы x назначили свободной переменной, а y выразили через x.
У нас получилось решение: x — свободная переменная и принимает любые значения,
4 − x — это уже не свободная переменная, это зависимая переменная,
она получит такое значение, которое ей предпишет x, а именно 4 − x.
Это можно сделать, такое же решение можно провести и в более сложной системе,
если уравнений много и неизвестных тоже много.
Давайте посмотрим на систему, которая перед вами.
Эта система содержит три уравнения и четыре неизвестных.
Нет никаких шансов, что мы найдем однозначное решение этой системы.
Но смотрите, что нам удается сделать в результате решения системы.
Мы все переменные x, y и z, мы выражаем через переменную t.
Переменная t у нас будет свободной, а переменные x, y и z будут зависимые.
Мы можем назначить для переменной t какое-то значение, и после этого уже
однозначно вычисляются значения других переменных x, y и z.
Теперь любой набор чисел вот такого вида будет решением системы уравнений.
Решение, еще раз, решение определено неоднозначно — таких решений много, целое,
как говорится, семейство решений.
И вот стоит нам задать переменную t, чему равна переменная t, мы тут же можем найти,
чему равны все остальные переменные.
Другая проблема, с которой мы можем столкнуться, которую мы обсуждали,
что с последней переменной может остаться несколько уравнений.
Эта проблема не решается ни перестановкой уравнений,
ни перестановкой неизвестных — это такая глобальная проблема,
она может даже привести к неразрешимости системы уравнений.
Например, если мы будем решать вот эту систему уравнений, мы получим в конце,
после некоторых преобразований, мы получим в конце два уравнения: y = 5 и y = 6.
Два этих равенства не могут выполняться одновременно.
Фактически мы получили в конце системы два противоречащих друг другу уравнения на y.
Ну что же, они не могут одновременно решаться.
Такая система не имеет решений.
Что делать в таком случае?
Что делать, если мы решали сложную систему,
и в конце концов получилось несколько противоречащих друг другу уравнений?
Ну, ничего не делать.
Мы получили ответ — такая система не имеет решения.
Это и есть ответ к задаче — система не имеет решения, ничего не сделаешь.
Могло получиться так, что уравнений слишком много,
но они друг другу не противоречат.
В конце концов это сведется к тому, что мы в конце получим два одинаковых уравнения,
например: y = 3, y = 3.
Про одно из этих уравнений можно просто забыть, и тогда система будет решаться
или не решаться в зависимости от того, как устроено предыдущее уравнение.
Если у нас есть два одинаковых уравнения, одно просто можно вычеркнуть,
оно никак не повлияет на решение системы.
[ЗАСТАВКА]
[ЗАСТАВКА]
