[ЗАСТАВКА] На сегодняшней
лекции мы поговорим про координаты векторов в базисах и обсудим базисы.
Какие бывают базисы, зачем менять базисы,
как переходят от одного базиса к другому базису и зачем это бывает нужно.
Давайте для начала докажем некоторую теорему, рассмотрим некоторую ситуацию,
в которой окажется важной, в доказательстве которой окажется важной,
каким базисом мы пользуемся.
Казалось бы, когда у нас есть линейное пространство, в нем есть много базисов.
Как разница, каким базисом пользоваться?
Оказывается, разница есть.
Разница есть, в разных ситуациях нужны разные базисы,
из-за этого возникает вопрос о переходе от одного базиса к другому базису,
о соответствиях базисов — как один базис соответствует другому.
Если бы можно было пользоваться всегда одним и тем же базисом,
такой вопрос бы не встал.
А мы сейчас увидим,
что бывает нужно в разных ситуациях пользоваться разными базисами.
Итак, пусть у нас есть линейное отображение из одного конечномерного
пространства L в другое конечномерное пространство M.
f — линейное отображение, отображающее L в M.
Давайте определим, что такое ядро отображения.
Ядро отображения — это подмножество множества L,
состоящее из тех векторов, которые при отображении f переходит в 0.
То есть из таких векторов l маленькое, что f от l маленькое равно 0.
Множество таких векторов составляет ядро линейного отображения.
Утверждение: ядро линейного отображения является линейным
подпространством пространства L.
Еще раз,
смотрите: ядро линейного отображения — это некоторое подмножество множества L.
Сейчас мы докажем, что это подмножество обладает структурой линейного
пространства, что оно само по себе является линейным пространством.
Что нужно сделать, для того чтобы доказать, что какое-то подмножество
линейного пространства является линейным подпространством?
Что оно само по себе является линейным пространством?
Мы это обсуждали.
Для этого нужно всего лишь доказать, что если два вектора принадлежат
этому подмножеству, то и сумма этих векторов принадлежит подмножеству.
В нашем случае, если векторы l1 и l2 принадлежат ядру линейного отображения,
то и их сумма тоже принадлежит ядру линейного отображения.
Кроме того, нам нужно доказать, что какой вектор l1 из ядра мы ни возьмем,
и какое число лямбда (λ) ни возьмем, вектор λl1 снова будет лежать в ядре.
Если мы докажем эти два утверждения, мы и докажем,
что ядро отображения f является линейным подпространством пространства L.
Ну давайте докажем прежде всего утверждение про сумму.
Пусть вектор l1 лежит в ядре отображения f.
Что это значит?
Ну, это в точности значит, что f от l1 равно 0.
Пусть вектор l2 лежит в ядре отображения f, что это значит?
Это в точности значит, что f от l2 равно 0.
Теперь мы воспользуемся тем, что f — линейное отображение.
Если f — линейное отображение, то чему равно f от l1 + l2?
Из линейности отображения следует, что f(l1 + l2) = f(l1) + f(l2).
Это свойство входит в определение линейности отображения.
Хорошо.
f(l1) — это 0, потому что вектор l1 лежит в ядре.
f(l2) — это тоже 0, потому что вектор l2 лежит в ядре, 0 + 0 — всегда 0.
Это значит, мы доказали, что f(l1 + l2) = 0.
Что это значит?
Это значит, что вектор l1 + l2 при действии отображения f переходит в ноль.
Хм, это и значит по определению ядра, что вектор l1 + l2 лежит в ядре отображения f.
Итак, мы доказали, что если вектор l1 лежит в ядре отображения f,
и вектор l2 лежит в ядре отображения f, то и сумма векторов
— вектор l1 + l2 — снова лежит в ядре отображения f.
Разберемся с умножением на число.
Давайте рассмотрим вектор λl1,
если вектор l1 лежит в ядре отображения f, и число λ — это просто какое-то число.
Чему равно f(λl1)?
Давайте смотреть.
f — линейное отображение.
Если бы f было не линейным отображением, все наши рассуждения были бы неверны.
Важно, что f — линейное отображение.
По линейности f(λl1) = λ*f(l1).
Мы можем выносить множитель за линейное отображение.
Хорошо, чему равно f(l1)?
Вектор l1 лежит в ядре, это в точности значит, что f(l1) = 0.
И получаем, что λ умножить на f(l1) =0, λ умножить на любой вектор равно 0.
В результате этого несложного вычисления мы получили, что f(λl1) = 0.
Что это значит?
Это значит, что вектор λl1 при действии отображения f переходит в 0.
Значит, вектор λl1 тоже лежит в ядре, просто по определению ядра.
Итак, мы доказали, что ядро отображения f
является линейным подпространством пространства L.
Важно, что ядро отображения f лежит внутри пространства L.
Давайте введем еще одно определение.
Что такое образ линейного отображения?
Образ линейного отображения — это подмножество множества M.
У нас линейное отображение f действовало из линейного пространства L в
линейное пространство M,
так вот образ линейного отображения — это некоторые векторы, некоторые...
множества некоторых элементов пространства M.
Какое именно множество?
Каким характеристическим свойством обладают элементы множества M, должны
обладать элементы множества M, чтобы попасть в образ линейного отображения?
Вот каким.
Мы будем говорить, что вектор m маленькое лежит в образе линейного отображения,
если найдется вектор l маленькое из пространства L такой,
что f(l маленькое) = m маленькое.
Мы будем говорить, другими словами, что вектор m лежит в образе
линейного отображения, если найдется какой-то вектор в пространстве L,
который при действии оператора линейного отображения f переходит в этот вектор m.
Есть ли тут что-то?
Может быть, обязательно все пространство M является образом линейного отображения?
Ну, конечно нет.
Мы помним, например, что если мы отобразим...
Давайте рассмотрим такое линейное отображение.
Будет рассматривать, будем отображать двумерное векторное пространство (это у
нас будет пространство L),
давайте его отобразим в одномерное векторное пространство.
Отображение будет такое: все векторы переходят в 0.
Это отображение, безусловно, будет линейным, потому что у нас суммы переходят
в сумму, произведения на число в произведение на число,
но образом этого линейного отображения будет всего одна точка — точка 0.
А все остальные векторы одномерного векторного пространства
вовсе не будут лежать в образе этого линейного отображения.
Образ линейного отображения лежит внутри пространства M,
но не обязательно с ним совпадает, конечно.
Давайте докажем утверждение аналогичное тому, что мы доказали по поводу ядра.
Итак. Образ линейного отображения f сам по себе
является линейным подпространством пространства M.
Образ является линейным пространством.
Как доказать такое утверждение?
Ну, точно так же, как мы всегда доказываем, что какое-то множество
является линейным подпространством у другого линейного пространства,
нам надо действовать так же, как мы действовали, доказывая,
что ядро является линейным подпространством.
Что нужно доказать?
Пусть у нас два вектора, m1 и m2, лежат в образе этого отображения.
Нам нужно будет доказать, что сумма этих векторов лежит в образе
линейного отображения F, и нам нужно будет доказать,
что λ*m1, где m1 — вектор из образа,
а λ — любое число, снова будет лежать в образе линейного отображения.
Нужно доказать — давайте докажем.
Во-первых, давайте докажем утверждение про сумму.
Итак, что значит, что вектор m1 лежит в образе линейного отображения f?
Это значит, что найдется вектор l1 из пространства L такой, что f(l1) = m1.
Смотрите, я хочу что заметить — мы не говорим «давайте найдем такой вектор»,
может быть, таких векторов много, может быть,
такой вектор один — нам это вообще не важно здесь.
Нам важно, что такой вектор, хотя бы один — найдется.
Иначе бы вектор m1 не лежал в образе отображения f.
То же самое верно и для вектора m2.
Если вектор m2 лежит в образе отображения f, а мы предположили,
что он там лежит, то найдется вектор l2 из пространства L такой,
что f(l2) = m2, именно это значит,
что вектор m2 лежит в образе линейного отображения f.
Давайте посмотрим, куда при отображении f переходит сумма векторов l1 + l2.
l1 — это какой-то вектор, переходящий в вектор m1 при действии отображения f.
m2 — это какой-то вектор (может быть, один из многих),
который при действии отображения f переходит в вектор m2.
Чем мы можем воспользоваться, для того чтобы найти,
куда переходит сумма этих векторов?
Ну, только, только линейностью отображения f.
Ничего другого мы не знаем.
Пространства могут быть абстрактными, никакой картинки у нас нет,
но мы знаем, что отображение f — линейно.
Итак, f(l1 + l2) по линейности отображения
f — это f(l1)+ f(l2).
f(l1) + f(l2) — это и есть m1 + m2, согласны?
Ведь просто f(l1) — по определению это m1, мы так и нашли вектор l1.
Хорошо.
Что же это значит?
Смотрите.
Для вектора m1 + m2 мы нашли такой вектор из
пространства L (а именно — вектор l1 + l2),
который при действии линейного отображения f переходит в вектор m1 + m2.
Итак, мы доказали, что если вектор m1 лежит в образе линейного отображения f,
и вектор m2 лежит в образе линейного отображения f,
то вектор m1 + m2 тоже лежит в образе линейного отображения f.
Теперь давайте докажем,
что образ линейного отображения выдерживает умножение на число.
Что если вектор m1 лежит в образе линейного отображения f,
то какое мы ни возьмем число λ,
вектор λm1 снова будет лежать в образе этого линейного отображения.
Ну что же, давайте посмотрим, что значит «m1 лежит в образе линейного отображения»?
Это значит, что найдется вектор l1 из линейного пространства L такой,
что f(l1) = m1.
Это и есть определение того, что m1 лежит в образе линейного отображения.
Хорошо.
Давайте посмотрим, чему равно f(λl1).
Просто составим такой вектор, λl1.
Ведь вектор λl1 лежит в линейном пространстве L.
Мы опять воспользовались тем, что L — линейное пространство,
а не просто какое-то множество.
Хорошо.
Теперь мы воспользуемся линейностью отображения f.
f(λl1) = λf(l1).
Потому что это линейное отображение.
f(l1) мы знаем что такое.
f(l1) — это в точности вектор m1.
Значит λf(l1) = λm1.
Смотрите, мы для вектора λm1 предъявили,
явно предъявили вектор из линейного пространства l, а именно — вектор λl1,
который при действии линейного отображения f переходит в вектор λm1.
Значит мы доказали, что вектор λm1 лежит в образе линейного отображения f.
[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
