[ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА] Давайте для начала обсудим вообще, что такое координаты вектора в некотором базисе. Что значит, что набор векторов (e1, ..., en) является базисом линейного пространства L? Это значит, что какой мы ни возьмем вектор l (маленькое), для него существует и единственное представление в виде a1e1 + a2e2 +... + anen. Вот этот набор чисел (a1, a2, ..., an) мы и назовем координатами вектора l в базисе (e1, ..., en). Часто удобно записывать координаты вектора в виде вектора-столбца. Вспомните, когда мы решали систему линейных уравнений, мы тоже решения записывали в виде столбца. Мы просто вводим такое обозначение, которым нам постепенно станет удобно пользоваться. Вместо того чтобы писать a1e1 + a2e2 +... +, мы будем просто писать столбец чисел (a1, a2... an). Кстати говоря, векторы (e1, e2, ..., en), базисные векторы, они сами являются элементами пространства L, они сами являются векторами этого пространства, и, конечно, эти векторы тоже имеют координаты в базисе (e1, ..., en), просто эти координаты очень простые. Разумеется, вектор e1 он единственным образом представим в виде линейной комбинации базисных векторов. Ну это элементарное представление e1 = e1, зато вектор столбец выглядет уже солидно. Это будет такой столбец, на первом месте в котором стоит единица, а дальше нули. У второго базисного вектора вектор-столбец в координате сначала стоит 0, на втором месте 1, остальные нули и так далее. Итак, мы для каждого базисного вектора тоже нарисовали вектор-столбец. Можно ли, зная координаты вектора, конкретного вектора в одном базисе, найти координаты этого же вектора в другом базисе? Честно говоря, нельзя, если мы не знаем, как эти базисы связаны между собой. Ну что мы можем сказать, зная координаты в одном никак не связанном с нашим базисом базисе. Однако если мы знаем, как базисные векторы связаны между собой, как два базиса связаны между собой, то по координатам вектора в одном базисе можно вычислить координаты вектора и в другом базисе. Давайте посмотрим, что это значит конкретно. Что значит «знаем, как связаны базисы»? Что значит «знаем координаты» и что значит «можем выразить эти координаты»? Итак, пусть у нас есть 2 базиса линейного пространства L: (e1, ..., en) и (h1, ..., hn). Хочу обратить ваше внимание, что количество векторов в обоих базисах будет одинаковое, мы это доказали. Хорошо. Давайте мы будем... Мы знаем, как связаны эти базисы между собой, а именно давайте знать вот что: давайте мы будем знать, как выражается вектор h1 через векторы (e1, ..., en). Ведь вектор h1 он такой же элемент линейного пространства L, как и все другие. Любой вектор в пространстве L выражается через векторы базиса (e1, ..., en), и вектор h1 здесь не является исключением. Его тоже можно представить как линейную комбинацию векторов (e1, ..., en). Мы обозначим эту линейную комбинацию так: мы скажем, что h1 = a11e1 + a12e2 +... + a1nen. Здесь появляются двойные индексы. Иногда кажется, что двойные индексы — это сложно. На самом деле двойные индексы — это очень просто. Мы же не можем каждый раз написать все 26 букв английского алфавита и 33 буквы русского алфавита, к тому же мы все равно не знаем, сколько букв нам понадобится. Вдруг у нас пространство было десятимерным? Тогда мы говорим... Смотрите: у нас вектор h1, мы представляем его как линейную комбинацию векторов (e1, ..., en). Индексы при коэффициенте a они говорящие. У нас a1a2, a1a3, что это значит? У нас вектор h1, значит первый индекс коэффициента всегда будет 1. Например, коэффициент при векторе e3 в разложении вектора h1 будет a13. Хорошо, давайте разложим все векторы базиса h через векторы базиса e1. h2 у нас будет равно a21e1 + a22e2 +... + a2nen. Вы видите, в этой строчке все индексы начинаются с двойки. Первый индекс коэффициента a всегда равен двойке. Ну и так далее, все векторы, не только вектор h2, вектор (h3, h4, ..., hn) тоже разложим по базису (e1, ..., en), и последний вектор hn у нас будет представлен таким образом: an1en + an2e2 +... + annen. Итак, когда у нас есть коэффициент aij-тое, i здесь означает, что это коэффициент в разложении вектора с номером i, в разложении вектора hi-тое, а j, что это коэффициент при векторе ej. Когда мы будем представлять вектор hi в виде линейной комбинации базисных векторов (e1, ..., en), при векторе ej будет коэффициент aij. Ничего страшного в этих двойных индексах, как вы видите, нет. Рассмотрим вектор l, некоторый вектор линейного пространства L (большое). Давайте разложим его по базису (h1, ..., hn). Рассмотрим координаты вектора l в базисе (h1, ..., hn). Пусть эти координаты будут (b1, ..., bn). То есть в базисе (h1, ..., hn) можно вектор l представить в виде такого вектора-столбца (b1, ..., bn) или, другими словами, то же самое: вектор l = b1h1 + b2h2 +... + bnhn. Мы разложили вектор l по базису (h1,... hn). А что бы мы хотели? А мы бы хотели, зная эти координаты и зная, как векторы базиса (h1, h2, ..., hn) раскладываются по базису (e1, ..., en), мы бы хотели, зная и то и другое, найти координаты вектора l в базисе (e1, ..., en). Мы знаем его координаты в базисе (h1, ..., hn), а хотели бы найти его координаты в базисе (e1, ..., en). Можем ли мы это сделать? Как это сделать? Конечно, можем. И это очень просто. Смотрите: мы знаем, как вектор l представляется в виде линейной комбинации векторов (h1, ..., hn). Про каждый вектор h мы знаем, как он выражается через векторы (e1, ..., en). Мы в самом начале написали это выражение. Что теперь нам нужно сделать? Всего ничего! Нам нужно подставить выражение для вектора l через векторы (h1, ..., hn), нам нужно в этой линейной комбинации вместо каждого вектора hi-тое подставить соответствующую линейную комбинацию векторов (e1, ..., en). Здесь это и написано. Для того чтобы получить координаты вектора в базисе (e1, ..., en), нам нужно собрать все числа, все коэффициенты с вектором e1 в одно слагаемое, с вектором e2 — в другой слагаемое, с вектором e3 — в третье слагаемое, вот что мы и делаем и получаем такую запись. Просто? Да, конечно, очень просто. Но невозможно громоздко! Делать такие вычисления и просто и так сложно, что невозможно через это продраться без ошибок. Для того чтобы упростить вычисления, для того чтобы вычисления были какими-то более человеческими, мы будем записывать все эти вычисления через матрицы. [ЗАСТАВКА] [ЗАСТАВКА]
