Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real del movimiento en línea recta será el marco con el cual asociamos un primer significado y recapitulamos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Lineal. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx . Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Cuando la Razón de Cambio es Constante.
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1.- El Cálculo - Modelo Lineal
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Generalizando para hacer matemáticas
Hablaremos del importante proceso de generalización cuando aprendemos Matemáticas. Vamos a recorrer diferentes contextos reales que nos preparen mentalmente para realizarlo. El fruto de ello será la simbolización de la función lineal.
与讲师见面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Ahora que hemos llegado al terreno de las x y de las y.
Es necesarios que hagamos algunas aclaraciones acerca de este contenido
matemático, que es el modelo lineal o la función lineal, la ecuación lineal porque
probablemente you ustedes han tenido contacto con este contenido con
anterioridad, puede ser que un curso de geometría analítica lo hayan visto, y me
gustaría precisar algunas cosas sobre esto.
Fíjense que en mi diapositiva, que la titulé "En Geometría Analítica", les
estoy haciendo la representación de una recta y les estoy poniendo ahí la
representación algebraica típica en un curso de este estilo.
La letra m tradicionalmente se utiliza para la pendiente de la recta, y la letra
b para la ordenada al origen. ¿A qué nos referimos con la letra b, con
la letra m, pues la letra b viene siendo justamente este valor, o sea, la ordenada
al origen viene siendo la y cuando la x vale cero.
O sea, si yo sustituyo en esta x el cero, si pongo aquí un cero, entonces me va a
quedar solamente la letra b, ¿cierto? Entonces, ahorita, esta letra b está
representando la ordenada al origen que para nosotros tuvo un cierto significado,
y por otro lado la pendiente que está aquí, ustedes recuerdan de geometría
analítica que está expresándonos la tangente del ángulo de inclinación de la
recta. Una tangente que puedo calcular con
cualquiera de los triángulos, por ejemplo, que les tengo señalados en la
diapositiva. O sea, cualquiera, el color que ustedes
quieran, tomen cualquiera de esos triángulos, y si yo divido el cateto
vertical del triángulo verde, el vertical del triángulo verde, dividido entre el
horizontal del triángulo verde, lo que me va a quedar es un número que sería la
tangente del ángulo que está por aquí. No sé si se note donde lo dibujé, si lo
hago con el rosita también, si yo dibujo...
perdón, divido la vertical, la longitud vertical, cateto opuesto entre la
horizontal, que sería el cateto adyacente, lo que obtendría sería la
tangente de ese ángulo. Como todos estos ángulos son iguales,
cualquier triángulo que ustedes tomen, siempre que se divida el vertical entre
el horizontal, lo que obtenemos es un número.
Y ese número es justamente la tangente del ángulo alfa que es el ángulo de la
inclinación, alfa es éste pero también es éste, pero también es éste, ¿no?
O sea, todos esos valores numéricos son el mismo y ésta tangente de alfa es
justamente lo que se denota con la letra m, y que se bautiza como la pendiente de
la recta. Entonces, la pendiente es algo que
caracteriza a nuestra recta, pero esta recta, así como lo vimos en geometría
analítica, está representada en esta expresión que tenemos acá abajo, más sin
embargo, en la expresión, vean como, digamos, domina una organización.
Primero aparece m, después aparece x, luego el más, luego la letra b, que es la
ordenada al origen. Cuando nos vamos a nuestro enfoque, que
estamos ahorita desarrollando, es un enfoque más en apego al cálculo, y en ese
sentido nuestra expresión, la expresión que hace rato pudieron haber visto en
otra, en el pasado vídeo. Nuestra expresión trae un y paréntesis x
igual a y subcero más r subcero por x, porque así nos está representado a la
función lineal. Una función lineal es una función tal
donde la razón de cambio es constante, la frase razón de cambio aparece en nuestro
contexto, ustedes lo tienen aquí visto en la diapositiva como he escogido un
triángulo rectángulo, vamos a escoger este triángulo rectángulo, en donde
señalamos un delta x y un delta y, y al hacer la división del delta y entre el
delta x lo que obtenemos es el valor de la razón de cambio constante.
Entonces esa razón de cambio r subcero igual a delta y entre delta x, nos está
significando lo que en geometría analítica teníamos bautizado, digamos,
como la pendiente. Pero en nuestro caso, al verlo como una
razón de cambio, nos permite hablar del cambio que sufre la magnitud y en
términos del cambio que experimenta la magnitud de x de la cual depende.
El orden también está, este, diferente, la organización de la expresión, noten
ustedes que está aquí primero el y subcero y después está la multiplicación
de r subcero por x, ¿por qué? Porque para nosotros y subcero es el
valor inicial de la magnitud y r subcero es la razón de cambio, ¿no?
O sea, estamos tratando aquí de transmitirles una idea, una idea
paradigmática en la propuesta de Newton, en el surgimiento del cálculo, acerca de
concebir que un valor final de una magnitud, el valor que busco de una
magnitud, no es más que el valor inicial que tenía de ella más el cambio que
sufrió la magnitud, en ese, en esa variación de la variable independiente,
eso se los puedo transmitir mejor acá, digamos, si les digo: ésta es mi
magnitud. Estoy estudiando a y que es una magnitud
y esa magnitud y tenía un valor inicial, yo you sabía un valor inicial de ella y
lo que estoy agregando aquí es el cambio que sufrió esa magnitud, cuando hubo una
cierta variación de la x, con lo que la x esté representando.
Entonces, en ese sentido nos conviene mantener esta organización en la formula,
primero y cero, primero ¿cuánto vale antes?
Y a eso le sumo ¿cuánto cambió? Para obtener el valor que ando buscando.
Esta organización obedece a nuestro enfoque en cálculo, entonces estando you
claros de esto y trabajando con x y con y, me gustaría que pasáramos a un
software que tengo aquí un paquete, un programa que he bajado, realmente es algo
que ustedes van a encontrar en todos lo de nuestros recursos adicionales, ahí les
hemos puesto los nombres de este, de lo que usamos aquí, que es algo libre,
ustedes pueden bajar con toda confianza entonces vamos ahorita a ejemplificar
algo que me interesa hacer con ustedes acerca del uso de este tipo de
graficadores. Miren aquí tengo yo la oportunidad de
declararle una función y subuno de x, una primera función, vamos a poner a esta
función que fuera simplemente x. O sea, vamos a poner nuestra letra x.
Ahí lo que estoy haciendo entonces es tomar ahorita que y de x es igual a x más
cero, o sea, o y de x igual a cero más uno por x.
O sea, realmente le estoy dando una, ahorita aprovechando que tengo, o sea en
nuestro molde que es y igual a y cero más r cero x, lo que estoy haciendo yo es
poner y igual a cero más uno x, o sea, me queda y igual a x.
Entonces estaría pensando ahorita valor inicial cero y razón de cambio uno.
Y ésa es mi expresión y de x igual a x. Vamos a resolverla, vamos a declarar otra
de ellas que va a ser un dos x, vamos a hacer una variación común, ordinaria, y
digamos que ahora ésta va a ser dos x, en este caso que fue lo que hice, a y cero
le sigo dando el valor cero y r subcero le voy a dar el valor dos, con esta
salvada vámonos haciendo lo mismo con y subtres de x, entonces aquí le vamos a
poner tres x, la salvamos, y con esta cuarta que nos da oportunidad grafiquemos
cuatro x. Una vez que you están salvadas, fíjense
como en nuestra mente los números unos, dos, tres y cuatro están igualmente
distanciados, si yo los dibujo en la recta numérica, yo los pondría uno, dos,
tres, cuatro a la misma distancia. Cuando estoy en la presencia de un
graficador y estoy graficando estas rectas, lo que se observa es algo así,
vean ustedes esta variación, voy a tratar de acercarlo un poco, vean ustedes como
los gráficos, no están a la misma "distancia", entre comillas, realmente la
manera en que varía aquí el uno, dos, tres, cuatro, me está hablando de la
inclinación de las rectas. Y entonces, ese uno yo lo debería de
interpretar como si yo pusiera aquí mi marcador, en el eje x y luego tendría que
subir uno para llegar al rojo. El número dos que está aquí, me haría
tomar mi marcador, y tendría que utilizar dos marcadores, para llegar hasta topar
con la gráfica azul. El número tres que está aquí en la verde,
sería como tomar mi marcador como una unidad de medida en el eje x, y tener que
avanzar tres marcadores para poder completar hasta donde se prolonga aquí la
gráfica tres. No sé si me expliqué, el cuatro igual.
O sea, yo lo que quería es mostrarles que con un producto como este, uno puede
también avanzar un poco, profundizar en estas percepciones visuales.
La variación uno, dos, tres, cuatro es una variación muy común.
La vemos igualmente espaciada, pero cuando la interpretamos como una razón de
cambio, esto me está diciendo algo que no obedece a lo que yo hago por ejemplo con
un transportador. En un transportador, cuando yo varío los
ángulos, uno, dos, tres, cuatro, si hay una variación, digamos, en ese sentido de
la misma longitud, de la misma abertura, en cada grado.
Aquí no es así. Me gustaría ahorita que estamos en el
graficador, cambiarle un poquito y ahora decir en lugar de, éste, x, vamos a poner
los signos negativos para que vean ustedes también lo que ocurre en ese
sentido. Vamos a ponerle aquí también el menos dos
x, rápidamente menos dos x, lo salvamos, nos vamos al tercero que sería un menos
tres x y nos vamos al cuarto que sería un menos cuatro x finalmente.
Entonces al salvarlos a todos sin graficar, ¿qué vamos a obtener?
Vean ustedes lo que hemos obtenido. Ahorita que puedo mover esto, me gustaría
ponerles la zona, digamos que también nos está siendo a nosotros propicia para
nuestro análisis. Voy a jalar el sistema coordenado para
que esté en esta parte superior, de tal manera que ustedes puedan observar la
variación de x en la horizontal y la variación de y en la vertical.
Y la respuesta de los signos negativos de esta parte de aquí, en la expresión de
las funciones que obedecen también aquí al decrecimiento de las gráficas.
Un decrecimiento que está expresado por el menos uno, sería un cuadro bajo un
cuadro. Aquí como se pueden ver esos cuadros,
bueno you los afecté, déjenme hacer un poquito más grande.
Y traerlo para acá. Es que luego vuelven a aparecer más, aquí
si sería un cuatro cuadros con cuatro cuadros que baja, al siguiente si fuera
con la azul serían cuatro cuadros en x, serían ocho cuadros hacia abajo en la y,
en la verde sería cuatro cuadros en x, tendría que irme con doce cuadros hacia
abajo y con el menos cuatro, la que está como en morado, tendría cuatro cuadros me
muevo en x y entonces me movería menos dieciséis cuadros hacia abajo.
Entonces, con éste también aberturas, que se ven distintas, yo los invito a que
veamos en mi pantalla una presentación que tengo en donde con una animación les
voy a transmitir esta sensación de la variación, de las pendientes que ahora
para nosotros reconocemos como las razones de cambio.
Entonces si vemos aquí, tenemos ahí la determinación de distintos valores para
la razón de cambio, están viendo ustedes la animación, esto estuvo hecho con un
software de graficación, aquí fíjense que hice una variación distinta, primero fue
el un cuarto, un medio, o uno tratando de que más o menos se vieran mejor
espaciados con respecto a lo que vimos ahorita, en la tablet o en la tableta.
Después de eso, tendríamos una variación, por ejemplo, como esta, menos cuatro,
menos dos, menos uno, menos un medio, menos un cuarto, pendiente igual a cero,
todas estas m que están viendo aquí, nosotros, en nuestro discurso las hemos
llamado r, ¿por qué? Porque están significando la razón de
cambio. Si yo pensara en términos del movimiento,
por ejemplo aquí tendría un movimiento con velocidad cero, aquí tendría un
movimiento con velocidad menos un cuarto, o sea que va hacia la izquierda, va un
poco lento. Después tendría un movimiento de menos un
medio, seguiría siendo un movimiento de otro personaje que va a la izquierda, un
poco lento, después, éste sería un movimiento hacia la izquierda un poco más
rápido, éste estaría más rápido y éste estaría más rápido.
Lo que quiero yo con esta presentación es mostrarles una variación, una variación
de las pendientes en donde se observa, fíjense en lo que está pasando, o sea, un
cambio de razón de cambio desde menos cuatro, menos dos, menos uno, menos un
medio, etcétera. Visto como pendientes, visto como números
que representan a la razón de cambio, son números que, ustedes lo vieron,
estuvieron creciendo, ¿si? Están creciendo, el menos cuatro está más
a la izquierda que el menos dos, está más a la izquierda que menos uno, recuerden
siempre en nuestra recta numérica lo que está a la izquierda es menor que lo que
está a la derecha. Entonces, como pendientes, como razones
de cambio son razones de cambio que están creciendo, ¿de acuerdo?
Si por otro lado, lo hago, la animación en el otro sentido, vean ahora empiezo en
cuatro, dos, uno, un medio, un cuarto, cero, todos estos números que están
apareciendo como números reales son números que están decreciendo.
Las pendientes están decreciendo y eso da ésta sensación de un movimiento, ¿qué
sería esto? A favor de las manecillas del reloj.
A favor de las manecillas del reloj, ¿no? Que no sea digital, eso si.
Aquí, por ejemplo, yo me inclinaría por pensar en distintos movimientos, todos
los que estarían representados gráficamente arriba serían movimientos
hacia la derecha. Y este movimiento que se representa con
esta recta sería el más rápido de todos estos.
Por otra parte, todos los movimientos que estarían representados aquí abajo, serían
movimientos hacia la izquierda. Y de todos ellos, el movimiento que fuera
más rápido de todos sería el que tiene el correspondiente valor de la razón de
cambio de menos cuatro. En este momento, estoy viendo un gráfico
que estaría representado al gráfico de posición en nuestro contexto inicial, del
movimiento, donde la posición inicial es cero, y estoy interpretando los
diferentes valores de la velocidad al observar la inclinación de las rectas,
las rectas que me representan a la posición.
Entonces con esta animación los dejo ahora, hemos visto como los valores de la
razón de cambio están hablándonos de una inclinación en la recta y a la vez nos
están dejando esa sensación de un cambio que puede ser para crecimiento, a para
decrecimiento, y que puede ser a veces algo lento, algo que cambia poco cada
vez, o a veces, algo que cambia más rápido.
Nos vemos en la próxima presentación para seguir con nuestro discurso,
