Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Parábola y derivada juntas
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2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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Función cuadrática y su derivada lineal
Hablaremos del Modelo Cuadrático desde la perspectiva del Cálculo, considerando su derivada. Con esto podremos retomar el tema de la parábola vertical y reconocer su utilidad para la identificación de puntos máximos y mínimos en una gráfica. Hablaremos de la construcción y optimización de funciones como aplicación de lo que hemos aprendido.
与讲师见面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Continuamos entonces utilizando nuestro software Graphmática
y viendo gráficamente lo que ocurre con
diferentes expresiones algebraicas que vamos a
interpretar desde el punto de vista gráfico.
Entonces si me acompañan otra vez a Graphmática.
Yo les pediría que borraran...
No, no, que borraran no.
Que cerraran el archivo, si hicieron un archivo con el video anterior,
ciérrenlo.
Y mejor desde el menú de inicio empiecen con un nuevo archivo de
Graphmática para que se conserven ahí el orden de los colores que habíamos dicho.
Estaríamos esperando que cada vez que tecleemos una función y la grafiquemos,
van a ir apareciendo los colores azul, rojo, verde, azul, rojo, verde.
Y creo que este orden nos permitirá de
una manera más clara organizar en nuestra cabeza
la información.
Si me acompañan en la pantalla lo que
haríamos en este archivo en blanco es graficar primeramente
o expresar primeramente la función y igual a 2 más 3 x más punto 2 x cuadrada.
Es la misma que you les había dicho antes, sí es cierto.
Pero allá la derivamos, yo no quiero que la derivemos ahorita.
yo quiero que notemos algunas cosas antes no, de hacer las derivadas.
Espero que ustedes you hayan podido encontrar también en la tecla para poner
este signito y poder elevar al cuadrado. Y si no pónganle por x.
x por x es lo mismo que x cuadrada y Graphmática sí lo sabe, you.
Me consta que lo sabe.
Entonces al hacer la gráfica ahí tenemos esta primera imagen.
Recuerden que, en la vez pasada, hicimos un zoom out y con un solo zoom
out tuvimos una imagen más clara.
Entonces yo creo que esta ventana nos
acomoda muy bien para ver completamente el gráfico.
Y observemos ahorita fíjense que que este número 2 que esta aquí.
No sé si puedan ver mi cursor, o sea ahorita lo estoy subiendo.
Este número 2 en alguna forma lo encuentro acá.
¿Dónde lo voy a encontrar?
Si hacemos la relación
con el contexto del movimiento, de donde venimos,
por eso estamos en matemáticas y el movimiento.
Recordarán que eso tiene que ver con el valor inicial de la posición.
¿Cierto?
El valor inicial de la magnitud que esté estudiando en general.
Claro que cuando hacemos estas preguntas de predicción, el pasado...
you lo pasado, pasado, no nos interesa.
Entonces por eso muchas veces allí o sea, lo que, los gráficos en su
parte negativa no están siendo considerados.
Más sin embargo, ahorita, teniendo en cuenta esa interpretación yo diría
que aquí está el 2, no sé si vieron mi cursor, mírenlo aquí está aquí está el 2.
Este 2 que se ve aquí en el gráfico, digo
perdón, en la expresión algebraica aquí lo veo en el gráfico.
Estoy haciendo una identificación otra vez.
¿Se fijan?
El otro coeficiente, este más 3 que está aquí
de alguna manera está por acá.
Si ustedes hicieran ahorita memoria y recordaran que tiene que ver ese más 3 en
aquella expresión del movimiento habrá quien sí recuerde
que tiene que ver con la velocidad inicial.
Y esa velocidad inicial quiere decir pues qué pasó con esa partícula o con ese chico
que iba a la derecha o iba a la izquierda. Ahorita al menos,
recordando eso, podríamos decir que este más 3
me está diciendo que este gráfico empieza creciendo.
Pero vean, digo empieza y lo estoy haciendo a partir del eje vertical.
¿Cierto?
Porque el tiempo, o sea ahorita estaría interpretando el eje
horizontal el tiempo, y entonces él empieza, quiere decir, aquí.
Como si la gráfica empezara aquí. Claro que no.
Esta gráfica matemática tiene como extensión todos
los reales. Su dominio son todos los reales.
Pero, haciendo esa interpretación del movimiento, puedo interpretar que este
gráfico comienza aquí creciendo porque la velocidad inicial era 3 y es positiva.
Okay.
Este punto 2 tiene que ver ahora con la razón
de cambio de la velocidad, o sea con la aceleración.
El hecho de que sea positiva algo me está diciendo aquí en este gráfico.
Espero que algunos you lo hayan notado. Tiene que ver con la concavidad.
Tiene que ver con esa concavidad porque es justamente al ser
positivo es como la razón de cambio de la velocidad es positiva.
Y si la razón de cambio de la velocidad es positiva, la velocidad crece.
Y si la velocidad crece, entonces este gráfico
de la posición tenía que ser cóncavo hacia arriba.
Todas estas cosas las vamos a ir refraseando
a medida que vayamos avanzando.
Ahorita lo que quiero poner atención con ustedes es
en un cambio mínimo que podríamos hacer en esta expresión.
Vean ustedes, tengo ahorita la expresión seleccionada.
Y yo les pido que en lugar de este más 3 le pongamos un menos 3.
Estoy afectando el valor inicial de la velocidad.
Y entonces puedo estar esperado distintas cosas.
Yo no sé qué puedan ustedes imaginarse en este momento.
Pero ahorita que le demos un clic, obtenemos la gráfica que tenemos ahora.
¿Era lo que estaban ustedes esperando? ¿O no lo era?
En ese sentido, los graficadores son una gran ayuda para nuestro cerebro.
Nos informan algo.
Y nosotros tenemos que penar. Ay caray, ¿qué pasó aquí?
¿Qué es lo que está pasando para que haya hecho esto el gráfico?
O el software, perdón.
En este caso esta velocidad inicial negativa veanla aquí está
bien representada, va decreciendo el gráfico a partir del eje vertical.
Esta intersección en el 2 es por el mismo número 2.
Y el punto 2 en el, en la, en el coeficiente de x cuadrada nos sigue dando
un gráfico que es cóncavo hacia arriba. Vamos a hacer otro cambio.
El otro cambio que les propongo ahora es
cambiémosle el signo al valor inicial al 2.
Le pongo un menos.
¿Ya se imaginan qué es lo que va a estar pasando?
Lo vamos a hacer con respecto al gráfico
que acabamos de hacer, o con respecto al primero.
Si lo hacemos ahorita como lo tengo en la pantalla,
sería con respecto al gráfico que acabamos de hacer.
O sea son dos signos de menos.
No quisiera meter esos dos signos. Prefiero que sea sobre el gráfico primero.
En esta ventanita de acá, a lo mejor no la alcanzan ustedes a ver.
Pero ¿pueden abrir esto?
Y entonces ahí puedo escoger en la primera de las expresiones.
Es esta primera expresión, que tiene el más, allí
es en donde voy a meter un signo negativo.
O sea, la afectación que hicimos en la expresión algebraica
es un inocente menos que lo ponemos detrás del 2.
Estábamos afectando esta gráfica, la azul pero le pusimos un negativo en el 2.
¿Qué es lo que va a pasar?
¿Ya se lo esperan?
A lo mejor esto you coincidió con lo que ustedes esperaban, ¿qué fue lo que pasó?
Podríamos interpretar aquí que el valor inicial bajó
al menos 2.
Y entonces la gráfica verde que están
observando es la mismita que teníamos azul.
Nada más que se trasladó dos, este, cuatro unidades hacia abajo.
Porque estaba con posición inicial 2 y ahora bajó a la posición inicial menos 2.
Pero toda la demás forma de la gráfica es la misma.
Embonan las gráficas si yo las pusiera las tres que
tenemos embonan si las juntamos una encima de la otra.
Ahora sí pasemos
a derivar.
Tomemos nuestra primera gráfica que es la azul.
La azul cuál es, la que tiene los tres signos positivos.
Allí estamos, la tengo escogida la azul.
Y entonces le digo al software, deriva.
Y you me puso ahí su derivada en el mismo color azul.
Y, pasaron las cosas que esperábamos.
Vean ustedes aquí cómo y dónde corta en la gráfica recta azul, es donde
acá tengo el mínimo, en la parábola.
Vean ustedes que la gráfica azul es negativa
en esta zona y positiva en esta otra.
Y eso me recuerda que este gráfico decreció y luego creció.
Y por otro lado esta gráfica es creciente.
La gráfica azul recta.
Y la gráfica azul parábola es cóncava hacia arriba.
Vamos a escoger
ahora la expresión de la roja.
La roja es donde metimos el signo negativo en el 13.
¿recuerdan?
Es esta.
you que la tenemos ahí seleccionada le decimos a Graphmática, derívala.
Y vean la gráfica que nos quedó. Nos quedó una recta.
De hecho está paralela a la otra.
Y acá ahora vino a interceptar justamente donde esta parábola tiene su mínimo.
Conservamos el mismo conocimiento.
El valor negativo en la derivada coincide con
el decrecimiento en la gráfica de la parábola.
El valor positivo en la derivada coincide con
el crecimiento en la gráfica de la parábola.
Finalmente, vamos a tomar ahora nuestra tercera opción que
era esta, donde metimos el símbolo negativo en el 2.
Y a ella le decimos
a Graphmática: derívala. Fíjense lo que va a pasar.
Derívala y ¿observaron lo que pasó?
Lo que pasó fue que la gráfica que teníamos recta en azul cambió de color.
Cambió al color verde ¿por qué? Porque era necesario.
Porque la derivada de ambas gráficas es la misma, coincide.
Lo que hicimos en el cambio de la gráfica
azul y verde en parábolas fue el cambio en la letra c, en el valor inicial.
Y en el momento de derivar, si recuerdan
nuestro proceso algorítmico, la derivada va a coincidir.
Ambas gráficas tienen la misma derivada.
Dos gráficas distintas de parábolas, una misma derivada.
No les extrañe eso, eso va a ocurrir. Tiene que ocurrir, de hecho.
¿Por qué?
Porque la razón de cambio de la magnitud nos dice cómo es la magnitud,
pero a eso hay que agregarle un valor inicial de la magnitud.
Ese valor inicial de la magnitud es lo
que diferencia a un gráfico con respecto a otro.
Y el valor inicial es justamente ese tipo de traslación vertical.
Me gustaría que ahorita tomáramos una imagen de esto
para poderles hacer un recordatorio de esto que he estado hablando
y que a lo mejor no ha quedado del todo claro.
Yo veo en los estudiantes que hay todavía
algunas dificultades cuando uno hace estas interpretaciones gráficas.
Y es que está comprobado.
Cuando uno ve una imagen visual, uno ve mucho, ve todo todo todo.
Pero cuando uno quiere visualizar, uno necesita centrar su vista en algún lugar,
encontrar relaciones, hacer conjeturas, afirmaciones sobre lo que está pasando.
Ahorita déjenme hacérselos con respecto a la gráfica de la parábola azul.
Si yo observo la derivada.
Bueno vamos a tomar la verde porque you ven que
le cambió el color a la azul, se hizo verde.
Voy a tomar la recta verde y la parábola verde.
En la parábola verde you tengo ahí el mínimo señalado.
Y ese mínimo coincide con este lugarcito, se
los estoy señalando ahorita con e resaltador amarillo.
Hay un lugar donde la derivada es 0. Vamos a escribirlo, vamos a ponerle
con rojo aquí. Aquí y prima es igual
a 0. Y aquí, vamos a ponerle,
hay un mínimo. ¿De acuerdo?
Y si yo tengo buen pulso ahorita les hago una línea punteada, tengo que atinarle.
Debería de ser en la misma vertical. Otra cosa.
Cuando en la derivada veo esta zona.
Vean cómo se los estoy resaltando, este resaltador me está
diciendo que, voy a ponerle aquí. Aquí y prima es menor que 0.
¿Por qué es menor que 0?
Porque está debajo del eje horizontal. O sea el eje de las x,
vean el eje de las x horizontal y entonces vean que la gráfica que teñí con
el resaltador está abajo del eje. Eso quiere decir que es negativa.
Y entonces vámonos a la gráfica de la parábola.
¿Qué pasa en gráfica de la parábola verde?
Es esta, ¿no? Voy a hacerle así.
¿Qué está pasando con esa gráfica? De hecho cuando la dibujé
nos pasó que, tengo que decir aquí y decrece.
El dibujo iba hacia abajo. Finalmente
vamos a ver, el resaltador nos va a permitir aquí seleccionar
esta otra zona, esta otra zona de la recta verde.
Les estoy remarcando una zona sobre la que puedo afirmar ¿qué
puedo afirmar? Puedo afirmar que aquí, en todo
esto y prima es mayor que cero. ¿Por qué?
O es positiva ¿por qué?
Porque está arriba del eje horizontal ¿de acuerdo?
Y de manera correspondiente, con nuestro resaltador
tendríamos que decir aquí en esta zona.
Vean cómo lo estoy dibujando tengo que afirmar que en esta zona aquí
y crece. ¿De acuerdo?
Hubiera cambiado el color para diferenciar las zonas.
Ahorita you se repintaron de amarillo la recta y la parábola.
La recta que es la derivada de la parábola.
O parábola que es la anti derivada de la recta.
¿De acuerdo?
Pero, igual, independientemente de eso, lo que estoy tratando
de recordar junto con ustedes son aquellos hechos que
el movimiento rectilíneo nos ha permitido constatar y
que se convierten en resultados teóricos del cálculo.
Ahorita estamos en cierta forma trayendo esos resultados a
escena en nuestro curso utilizando el recurso de la
tecnología y utilizando el contexto real del movimiento que
nos permite, bueno pues, reconocerlos de una manera natural.
El último de esos resultados sería, me voy
a poner con otro color, para que vean ustedes.
you rellené toda la recta.
Entonces nomás le voy a poner así como que grandote aquí y prima
crece ahí se ve que la recta esa va
creciendo. ¿Y en la parábola qué decimos?
Aquí la gráfica de y es, voy a poner
mi abreviatura, cóncava hacia arriba. La
gráfica es cóncava hacia arriba, nuestra parábola se abre hacia arriba.
Hemos recordado estos hechos.
En uno de los casos particulares me gustaría que en el siguiente video hagamos
otra especie de señalamientos sobre los gráficos que también utilizarán en
la interpretación a la razón de cambio, o sea, a la derivada.
Los espero entonces.
