Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Tres parábolas bien derivadas
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2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
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Función cuadrática y su derivada lineal
Hablaremos del Modelo Cuadrático desde la perspectiva del Cálculo, considerando su derivada. Con esto podremos retomar el tema de la parábola vertical y reconocer su utilidad para la identificación de puntos máximos y mínimos en una gráfica. Hablaremos de la construcción y optimización de funciones como aplicación de lo que hemos aprendido.
与讲师见面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Jugamos un rato más con Graphmática, vamos a poner algunas
parábolas que he preparado especialmente para que, observemos otras cosas más, ¿sí?
Esto que les voy a mostrar es algo que
ha surgido cuando hemos hecho este tipo de ejercicios con
los estudiantes en, en nuestra clase, y me gustaría
ahora compartirlo con ustedes porque como les digo, o sea,
he observado que usando los graficadores eh,
muchos estudiantes you ven las cosas, ¿no?
Ven las cosas e incluso han visto cosas que yo no había visto.
Entonces, este tipo de retroalimentación que me ha dado, ¿no?
de parte de los estudiantes el software, y el software mismo, ¿no?, lo que
me ha dado, es algo que, yo quisiera que pudiéramos vivir aquí en este curso.
Entonces yo eh, tengo preparada, aquí en esta diapositiva, unas eh, funciones
particulares que quisiera que hiciéramos, que tecleáramos en Graphmática.
No sin antes recordar, o sea, que tratemos de
que eh, se cumpla esto del orden en los colores.
Eso es algo que ayuda mucho en la organización de nuestra, mente.
Entonces, vean ustedes las expresiones, you están un poquito
más cambiadas.
Ahora tengo un orden donde primero está el
término cuadrático, luego el lineal, luego el constante.
Me atreví a meter algunos eh, quebrados o algunos números
racionales, no pasa nada, y aparte tienen signo negativo los
primeros términos, lo que va a hacer, verán, como consecuencia,
que la concavidad sea ahora hacia abajo en las parábolas correspondientes.
Entonces, vamos a traer gra,
a Graphmatica, vemos desde el inicio una hoja
nueva y, este, sobre ella comenzamos a teclear.
Eh, en esta parte, o sea, aquí como lo tengo, espero que esto, a
ver, ayude un poquito, yo you tecleé la primera, me les adelanté un poquito, ¿sí?
Y quisiera mostrarles, quisiera mostrarles otra ven, otra
menú, de Graphmática que nos va a ayudar.
Como yo you hice
estas gráficas, ¿um?
eh, luego ustedes van a poder también hacer estas acciones, ¿no?, conociendo
bien las gráficas va me, me gustaría que eh, hiciéramos un cambio en la ventana.
O sea, con esta menú que se llama en Vista, en View, Grid Range, ¿sí?
Si ustedes accionan esto, va a aparecer esta
ventana, ¿no?, donde nos dice, nos da oportunidad
el software de poner la zona de x y la
zona de y donde queremos que esté el gráfico, ¿okay?
Entonces, como yo you vi estos gráficos, se los voy a proponer, y al mismo tiempo
les estoy mostrando que Graphmática tiene este menú,
y que vale la pena, este, también utilizarlo, ¿no?
Sobre todo you cuando empecemos a hacer cosas algebraicas, van a ver cómo
vamos a venir a este menú rápidamente a poner la ventana ideal, ¿okay?
Entonces, ahorita yo
les digo que en la parte de la izquierda, en lugar
de ese menos ocho, ese es el que yo tengo, ¿no?
Supongo que es el de por default que nos muestra
el, el paquete, vamos a ponerle un menos 14, ¿ok?
O, sí, no, un menos 13, porque luego la gente no
quiere el número 13, vamos a poner el número 13, ¿no?
Menos 13 y en la derecha le ponemos un 3, ¿ok?
Y vamos a tratar de hacer una
ventana cuadrada.
Claro que eh, no nos va a dejar Graphmática, porque Graphmática como que
tiene su ventana rectangular, pero bueno verán ahorita a lo que me refiero.
Le ponemos aquí abajo también menos 13, en bottom, y el top le ponemos 13, ¿no?
Entonces, según nosotros you tendríamos la misma medida, ¿no?, de largo y de ancho.
Entonces, le damos a okay, y nos puso esta ventana, ¿sí?
O sea,
a lo que yo me refería es que a comoquiera, aquí la escala, vean
ustedes este 5 que tiene Graphmática aquí no es la misma longitud acá arriba.
Eso es algo bien importante que pasa con los graficadores también.
Que uno comienza a tener retroalimentación sobre las unidades que ut,
se utilizan en cada eje, y eso es bien, bien útil.
Las unidades es algo que uno también
tiene que visualizar cuando, está haciendo una interpretación
de un gráfico.
Entonces, si you teclearon, les doy oportunidad si no de que lo hagan, tecleen
menos x al cuadrado, menos 17 medios de x menos 21 medios.
Y entonces, haciendo ese tecleo, ¿Lo tengo bien?
Sí ¿Lo tengo bien? Sí Le voy a dar graf, que, que grafique.
Puede ser aquí, Draw graph, y you tenemos nuestra
gráfica, ¿ok? Vamos ahora a teclear la siguiente
expresión, que sería, menos un tercio de x al cuadrado, o sea, ¿cómo podemos hacerlo?
Podemos utilizar esta misma o, o volver a teclear.
Vamos a poner y igual a menos un tercio, vamos a poner signo negativo,
abre un paréntesis, no vaya a ser, menos un tercio,
de x al cuadrado. Luego seguiría más diez tercios de x,
ponemos un más, un paréntesis, diez tercios, de
equis, y luego es un menos 28 tercios, ¿no?, o sea, un menos, 28 tercios, ¿ok?
Y ahora sí, checamos que esté bien tecleada, y le vamos
a poner a Graphmática que nos la grafique, ¿ok?
Entonces es en este lapicito.
Ahí está la gráfica.
you observaron una diferencia, en ambas expresiones, supongo que sí.
Vamos a teclear la última, que sería y igual a y igual a menos cuatro
x cuadrada, esto está más fácil, menos cuatro x al cuadrado,
más ocho x, más ocho x, menos cuatro, ¿no?, menos cuatro.
Y le decimos a Graphmatica que nos la grafique.
Okay, you tenemos nuestra imagen con tres parábolas: una azul, una
roja, una verde, y ahora hay diferencias con respecto a nuestra sesión anterior.
Si lo habrán notado, bueno, sí, hay varias
diferencias, ¿ok?
Ahora las parábolas son cóncavas hacia abajo.
Y ahora estas parábolas, este, observan eh, una diferente anchura.
Les voy a decir una cosa, yo realmente cuando hice, construí este
ejercicio, yo quería que se observara cómo las parábolas, la
primera, la azul corta dos veces el eje horizontal, corta dos veces,
¿no?, la segunda parábola, la verde, como que viene, toca y luego se
regresa, y la tercera, la roja, es una parábola que no llega al eje horizontal.
Esa era mi intención.
Más, por otro lado, los estudiantes observaban ahí que
unas eran más angostas, otra era más ancha, ¿no?
Estaba la gorda y la flaca y la del medio, ¿okay?.
Entonces, son dos cosas que salieron
a relucir en el salón.
Entonces, ambas cosas vamos a tratar de interpretarlas, ¿no?
La primera de ellas, la que les decía yo acerca de las intersecciones
con el eje horizontal, eso es lo que tiene que ver ¿con qué?
Pues con nuestras soluciones de la ecuación cuadrática, ¿se acuerdan?
Si ahorita usamos la fórmula general, vamos a tratar
de encontrar ahí qué es lo que va a pasar.
you con el aprendizaje que hemos tenido, pues espero que ustedes digan la,
este, la azul, va a tener, la ecuación, va a tener un discriminante, ¿qué?
Positivo.
La verde va a tener un discriminante, ¿qué?
Igual a cero.
Y la roja va a tener un discriminante, ¿qué?
Negativo, ¿cierto?
Eso hace que las soluciones de la azul sean dos soluciones reales distintas,
las soluciones de la ecuación verde van a ser una solución que
se repite, y las soluciones de la ecuación roja va a ser, ¿qué?
Dos soluciones, complejas, ¿ok?
Pero por otro lado, vamos a usar a Graphmatica
en el sentido de eh, eh, encontrar la derivada.
Y vamos a observar algo con esto, ¿no? Entonces, tomemos la azul.
¿La azul cuál era?
La azul era la que tenía el menos x cuadrada, ¿no?, ¿se acuerdan?
Vamos a poner la del menos x cuadrada, se la
ponemos aquí a Graphmática, y le decimos, encuentra la derivada, ¿no?
Y ahí está.
La derivada nos salió en el tono azul también.
Vean ustedes, ahí está.
Este punto de intersección me da justo aquí el máximo, ¿no?
En este caso, es un máximo de esta parábola que también coincide
con su vértice.
Y luego, vamos a tomar, ahora a la que tiene el menos un tercio.
Vamos a traernos la de menos un tercio, es esta, ¿okay?
Y le decimos a Graphmática, derívala.
Y nos salió eh, la roja, ¿verdad? Era la roja y aquí está.
Creo que había dicho la verde, no lo sé, a
lo mejor porque me fui por el orden aquí, ¿no?
Pero primero habíamos dibujado la
roja, ¿no? Y aquí está su derivada.
you aquí se nota algo con respecto a que
eh, aquí como que la intersección estuvo como que dentro
de la parábola, dentro, entre comillas, y acá está como
que afuera de la parábola, eso lo observan los estudiantes.
Vamos a ver la última, que es la que tiene el menos cuatro.
Es esta, y la decimos a Graphmática, derívala, ¿no?
Y vean
lo que pasó, ¿okay?
Entonces, con esas derivadas ahorita you en
la pantalla podemos hacer otras observaciones, ¿no?
Otras observaciones con respecto a la posición, ¿no?
la posición de la, de la recta que es la derivada.
¿Qué podemos notar?
Bueno, las mismas observaciones que you habíamos hecho la vez
pasada: todas estas rectas, que son las derivadas, cruzan el eje.
Donde cruzan el eje, yo creo que voy a hacer la ventana grande, esta, que al cabo
you vimos las expresiones, ¿no?, para que mejor
tengamos una visión más, más amplia de los gráficos.
Entonces, todas cruzan los ejes, el eje horizontal, perdón,
justo donde tenemos el máximo de la, parábola, ¿no?
Y, por otro lado, ¿qué es lo que tenemos? Como les decía, algunos estudiantes
me decían, es que esta cruza dentro de
la parábola, y esta cruza justo en el vértice.
O sea, coinciden en el vértice la derivada y la función.
Y esta no, no coinciden, o sea, están afuera, ¿no?
Y vean como eso tiene relación con la soluciones, ¿no?, de las
ecua, de la ecuación cuadrática, que se construye cuando igualamos a cero, ¿no?
Eso lo vamos a poder comprobar algebraicamente.
Pero, por otro lado, vean ahorita las inclinaciones
de las rectas, las rectas que son las derivadas.
Y traten de hacer una asociación entre la inclinación
de esa recta y la forma de la parábola.
No van a tardar en darse cuenta de que, de que cuando, por ejemplo en la verde,
¿no?, ahorita que lo estoy yo viendo, ¿sí? La verde tiene
una inclinación más eh, digamos más vertical, ¿sí?
Tendría yo que ponérselas, al otro lado, así, vertical.
Y esa inclinación más vertical, o sea, hacia el eje de
las yes, coincide con que la parábola es más angosta, ¿ok?
Váyanse ahorita, para hacer la diferencia bien,
con la parábola roja, y la recta roja.
Ahora esa recta está como que más inclinada, bueno tendría que hacerlo
al otro lado, ¿no?, más inclinada hacia la horizontal, o
sea, iii estar está mal, más inclinada hacia la horizontal.
Y entonces, esa inclinación hacia la horizontal coincide
con que la parábola es más ancha, ¿ok?
¿Y la mediana?
Pues ahí you está entre, entre las dos, ¿no?
O sea, en la de una forma, la inclinación de la recta, ¿no?
que es la derivada me informa de la abertura,
la apertura, ¿no?, de la parábola correspondiente, ¿no?
De tal manera que, con esto yo diría, esa recta, la
derivada, you me está diciendo cómo van a ser las cosas.
Podríamos idear desde esta perspectiva una, método, una
estrategia, una estrategia, digamos, para graficar una por,
parábola, partiendo de la información de su derivada, ¿ok?
O sea, igual, o sea, Graphmática nos está ayudando a dar con esa estrategia,
pero esa estrategia va a ser válida sin Graphmática, ¿no?
O sea, ¿cuál es esa estrategia, o esa técnica que vamos a utilizar?
Sería algo que podría parafrasearles así. Déjenme tomar una imagen,
para ponerla sobre la mesa, y you teniéndola sobre la mesa decimos en
qué consiste, y luego regresamos para hacer el álgebra correspondiente, ¿no?
Entonces, veámoslo con respecto a, la roja, ¿les parece?
Entonces, voy a escribir sobre la roja.
Entonces, voy a poner la pluma roja, y entonces, tengo la derivada, ¿no?
¿Quién es la derivada de la roja?
Bueno, tengo su derivada.
Al ratito la sacamos, ¿no?, y vemos qué hay que hacer con ella.
Para encontrar el vértice, o sea, el máximo.
Vamos a tener que encontrar este lugar, ¿sí?
Entonces, este lugar, lo vamos a encontrar cuando
hagamos que la derivada sea igual, a cero.
Para que esté sobre
el eje horizontal, ¿cierto? Entonces, la primera opción es,
vamos a ponerla aquí, primero, hacemos que la derivada sea
igual a cero, ¿okay? Y entonces, encontramos, x.
¿Cuál x? El x de aquí, ¿sí?
Ahora, con ese valor de x vamos a poder
encontrar el punto máximo, ¿no?, ¿sí? O sea, el vértice.
O sea, ¿cómo encontramos el máximo o vértice?
you tenemos el x acá donde la derivada es cero,
entonces, este x nos lo traemos y lo sustituimos
en el valor, ¿no?, de la función, o sea, lo metemos aquí.
Aquí, ¿no?, precisamente.
Y entonces nos va a salir aquí un número, ¿no?
una y. Una y del máximo.
Vamos a ponerle así una y del máximo, ¿sí?
A esta x le podríamos poner aquí esta es una x del máximo, ¿no?
Entonces, you evaluamos la función y lo que
vamos a tener son las coordenadas del máximo.
O sea,
vamos a tener una x del máximo, que juntamos con
una y del máximo y tenemos el vértice, ¿de acuerdo?
Entonces, o sea, ponemos nuestro punto, ¿okay?
Aparte de eso, ¿qué otra cosa
necesitaríamos como para saber la abertura, no?
O sea, you por la inclinación de la
recta diríamos, diríamos pues como que está muy abierta.
Pero fíjense que esa medida, de lo que se abre
me lo puede dar este punto que está por acá.
No sé si
se nota dónde estoy rayando, estoy tratando de ver dónde la parábola esta
corta, con el eje y, con el eje vertical, ¿de acuerdo?
¿Y ese punto cómo lo vamos a encontrar?
Este punto está en el eje y, en el eje vertical, y si
está en el eje vertical, entonces su x tiene que ser igual a cero,
¿no?
Entonces, ¿cómo vamos a encontrar ese punto?
Pues si you tengo su x, lo único que tengo que hacer
es meter ese cero en la x de aquí de la función.
Y you nos va a salir el y subcero.
O bien, ver el último término, o no necesariamente el último, ¿no?, el término
que no tiene la letra x, porque acuérdense que ese coincide con el valor inicial.
Entonces, ese sería, este sería nuestro segundo paso, nuestro tercer
paso sería encontrar el corte con el eje vertical, ¿cierto?
Y yo digo que, teniendo el vértice, ¿no?, y
teniendo ese punto ¿no?, que tendríamos, el, el que
está, digamos, sobre el eje vertical, vamos a ser
capaces de hacer el trazado de la parábola, ¿no?
Completamente, ¿no? Y todo eso
a partir de conocer la razón de cambio, o sea,
la derivada, y conocer el valor inicial de la magnitud.
Estaríamos haciendo uso de la, estrategia de Newton, ¿no?, con respecto
a eh, predecir valores de una magnitud, y la estaríamos poniendo en uso, ¿no?
ahorita en la graficación de parábolas.
Entonces, los ac, me acompañan en la siguiente presentación, en el siguiente
video donde estas eh, acciones visuales las vamos a
concretar algebraicamente para ver que vamos a ser unos expertos
en graficar parábolas, con conocer solamente su derivada y uno de
sus valores, el valor inicial de la magnitud.
Los espero entonces.
