Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. Se propone la reinterpretación de los contenidos matemáticos relativos a Modelos con Radicales y Exponentes en términos de nociones y procesos del Cálculo Diferencial. Esto servirá como puente para el desarrollo de un pensamiento matemático avanzado con el que se trabajará en la Matemática Universitaria. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Derivamos y comparamos con tecnología
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4.- El Cálculo - Otros Modelos
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Reglas de derivación
Hablaremos de las Reglas del Producto, Cociente y Cadena para dar cabida al estudio de otros modelos matemáticos en cuya representación algebraica aparecen exponentes negativos y/o fraccionarios. Practicaremos con las Reglas y apreciaremos los aportes de tecnología especializada en este proceso.
与讲师见面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues you hemos avanzado algo en esto de
las reglas de derivación, hemos visto las tres
reglas que pienso son las más importantes para
que podamos con ellas trabajar y manipular, ¿no?,
algebraicamente sin tener dificultades, ¿no?
Cuando entr, ingresemos a nuestro curso de matemáticas uno.
Entonces, yo quisiera ponerles sobre esta pantalla las reglas,
pero en su versión, digamos, expresada con el lenguaje matemático.
Si ustedes se fijaron, en el papel nunca hice esto, ¿okay?
Traté de que fuera una remembranza de a lo mejor algo que ustedes conocían, o
bien utilizar un lenguaje más coloquial para evocar,
digamos, que eso quede en su mente, ¿no?,
grabado porque este tipo de práctica es
una práctica así, o sea, muy de automatización,
de algoritmia, diría yo, ¿no?
de aprendizaje, en cierta forma con algo de memoria, ¿no?,
de seguir las reglas pues, ¿no?
Y eso es lo que vamos a hacer: seguir las reglas, ¿okay?
Entonces si ustedes ven dentro de mi eh, expresión, dice "Regla de la Cadena".
Si yo se los leo, ¿no?,
como matemático diría: Si y es igual a f de x a
la n, entonces y prima es igual a n f de x
a la n menos 1 por f prima de x, ¿okay? Eso lo puedo repetir en mi mente,
pero por otro lado es importante que en mi mente se esté viendo esa acción, ¿no?,
algorítmica de que bajo la n, ¿no?
Vamos a ponerle aquí con el lapicito si me deja un tantito.
O sea, vean ustedes que en el momento en que
voy a derivar voy a ponerle aquí esta derivada, ¿qué es
lo que hago? Bajo esta n, ¿sí?,
la bajo, luego dejo la función que tenía, la dejo, pero al exponente que
tenía n, le quito 1, n menos 1, y multiplico por la derivada, ¿no?,
la derivada, de lo que está dentro del paréntesis, ¿okay?
O sea esto es lo que hicimos cuando derivamos, por
ejemplo: y igual a x cuadrada más 1 al cuadrado, ¿no?,
que bajábamos el 2, por x cuadrado más 1 por, por 2x, ¿no?
La segunda regla dice "Regla del Producto" si se las leo con el lenguaje matemático
diría: Si y es igual a f de x por g de x, entonces y prima es igual ¿a qué?
A f de x por g prima de x menos g, más g de x por f prima de x, ¿no?
O sea, estoy hablando de la derivada
del producto. Aquí estas primas, ¿no?,
no se veían muy bien, ¿no?
Ahorita en mi mente yo lo que quisiera es evocar más
el proceso de poner eh, la primera función, ahí está, por
la derivada de la segunda, ahí está, más la segunda función,
ahí está, por la derivada de la primera, allí está, ¿no?
Esa sería la mecánica, la algoritmia para
derivar un producto como lo hicimos nosotros en un caso en particular.
Finalmente, "la Regla del Cociente" diría: si y es igual a f de x entre g de x,
entonces y prima es igual a g de x por f prima de x menos f
de x por g prima de x entre g de x al cuadrado, ¿no?
Otra vez, esto es dicho, digamos, con ese lenguaje pero más valdría
la pena que afianzáramos en nuestra mente que para derivar un cociente necesitamos
colocar la función abajo por la derivada de la función que está arriba, luego
sigue el negativo de la función de arriba por la derivada de la función que
está abajo y después todo eso entre el denominador al cuadrado, ¿no?
Estas son las reglas que hemos visto
en su, digamos, versión más formal, ¿no?
en, de las matemáticas, igual los, les recuerdo, ¿no?,
que vale la pena evocarlas de otra manera.
Yo tenía por aquí otra hoja, déjenme sacarla, ¿no?,
aquí había puesto las funciones que you habíamos
derivado: x cuadrada más 1 al cuadrado, x cuadrada
más 1 por x cuadrada menos 1, y x cuarta menos 1 entre x cuadrada más 1.
Podríamos aquí derivarlas
usando nuestras reglas eh, que tenemos en el, en
la hoja anterior, pero por otro lado eh, yo quería
ahorita en este momento mostrarles una gran ventaja que
tenemos en la actualidad para que aprendamos a derivar bien.
O sea, no es solamente, digamos, la
cuestión de memorizar reglas sino aplicarlas, ¿no?,
en casos en particular como son estos.
Entonces, les voy a mostrar esta ventaja que tenemos, se llama Wolfram Alpha, ¿no?
Wolfram Alpha lo tenemos en la red, libre, ¿no?,
claro, hay su versión Pro, yo tengo la Pro, claro, pero eh, no
importa que no la tengan, lo que voy a hacer es independientemente de eso.
Ustedes pueden con Wolfram Alpha estarle solicitando, ¿no?,
derivadas.
Ahorita yo lo que puse aquí fue esa palabra "derivative", ¿sí?
O sea, si ustedes accionan el software, habría que teclear en él, déjenme
ver si lo puedo volver a a escribir, bueno, no, vamos a dejarlo aquí.
Le ponemos "derivative", y aquí le voy a poner la
función que tenemos, x cuadrada más 1 al cuadrado, ¿les parece?
Entonces lo que tecleamos es x cuadrada más 1 al cuadrado, ¿no?
Esta es la manera de expresarse con él, hay que usar esta,
este acento, ¿no?,
y hay que usar la palabra "derivative", ¿no?
Entonces, esa es la familiaridad que nos ofrece, porque no nos
dice la notación de derivadas y nos dice poner la palabra "derivative".
Cuando yo le doy enter, ¿no?,
lo que ofrece Wolfram Alpha (miren, ahí
está haciendo las operaciones necesarias) es esta expresión.
Yo quería mostrárselas porque, porque tiene esta notación
de la derivada, ¿no?,
dice: Deriva con respecto a x, x cuadrado más 1
al cuadrado, vale la pena que nos familiaricemos con esa notación.
¿Por qué esa notación?
Eso es curso de matemáticas uno, eso tiene
ve, que ver también con el sistema conceptual, ¿no?,
lógicamente estructurado.
La presencia de esos diferenciales es algo que, que ha marcado, ¿no?,
a la historia, ¿no?, del desarrollo del cálculo, y bueno, no,
me podría pasar you ahorita hablando mucho de esto, pero no es el punto, ¿no?
Lo que quería era que vieran esa notación para estar familiarizados con ella
también, la trae Wolfram Alpha, entonces al estar expuestos ante este tipo, ¿no?,
de productos, ¿no?,
tendremos que eh, manejar esas notaciones también.
Vean que apareció el 4x por x cuadrada más
1, que es lo mismito que nosotros habíamos obtenido,
como incluso podemos hacer la matemática mentalmente.
Bajen este 2, 2 por x cuadrada más 1 a la 1 por 2x, ¿no?,
el primer 2 con el 2x es un 4x por x cuadrado más 1, ahí está.
Hicimos lo que hizo Wolfram Alpha, también pensando, ¿no?,
como él, ¿no?,
en nuestra cabeza y aplicando la regla de la cadena.
¿Qué otra función pusimos? Este producto: x
cuadrada más 1 por x cuadrada menos 1.
Nos vamos a Wolfram Alpha y le vamos a poner x
cuadrada más 1, le quitamos esta parte, voy a hacer un
copy de esta expresión, es lo más fácil, por x cuadrada
menos 1, vamos a ponerle aquí en lugar del más un menos.
Y ahora sí, accionamos el sof, el paquete
y nos dice, sí nos entendió bien, ¿se fijan?
Deriva x cuadrada
más 1 por x cuadrada menos 1 y sale 4x cúbica.
¿okay?
Hacer esta 4x cúbica, esta, esta derivada, bueno,
nos costó un poquito de trabajo con la regla
del producto, pero ahí la intención era que haciendo
la multiplicación comprobáramos que la regla del producto funciona.
¿Cómo lo hizo internamente Wolfram Alpha?
Pues no sé, aquí dice, vámonos a "Paso por Paso".
No sé si él eh, multiplica o si realmente eh, va a hacer la regla del producto.
¿Y qué sorpresa nos damos aquí? Está haciendo la regla del producto.
O sea, Wolfram Alpha no dijo, pues esto es cue,
x cuarta menos 1, como lo hicimos nosotros hace rato.
Si vemos x cuarta menos 1 decimos la derivada es 4x cúbica.
Aquí estaríamos viendo cómo Wolfram Alpha está
poniendo el primero por la derivada del segundo,
más el segundo por la derivada del primero.
Notamos también aquí que tiene eh, una no sé, como que un
un afán por escribir x cuadrada más 1 como 1 más x cuadrada, ¿se fijan?,
como poniendo primero el numerito, y luego las potencias, ¿no?
También x cuadrada menos 1, le cambió. Puso menos 1 más x cuadrada, ¿no?,
como que los ordena, pero los ordena
poniendo siempre que, la potencia menor, ¿sí?
Parece ser que es algo que internamente así lo está manejando, ¿no?
Entonces, you vimos que aplicó la regla del producto, ¿se fijan?,
y entonces llegó al valor de 4x cúbica, ¿no?
Entonces, si, vámonos atrás otra vez, déjenme ver cómo le voy a hacer
para irme para atrás, quisiera regresar a nuestro caso y ahora
derivar la tercera que teníamos, x cuarta menos 1 entre x cuadrada más 1.
Para eso eh, yo aquí le modificaría un 4, le ponemos un menos, ¿sí?,
le quitamos este cuadrado que está aquí. Y bueno, ¿qué les parece si nos copiamos
esta expresión, ponemos una eh, este, una división, la pegamos y le
ponemos aquí x cuadrada?
y ahora le diríamos menos 1 más 1, aquí hay que ponerle más 1, ¿verdad?
Estamos en lo que teníamos nosotros, a ver, x cuarta
menos 1 entre x cuadrada más 1, aquí está exactamente,
le damos enter y veram, veremos que nos dice Wolfram
Alpha, ahí está pensando y pensando, ¿y qué nos dijo?,
sí, nos interpretó bien
y nos dio un 2x, ¿okay?
¿Qué fue lo que hicimos nosotros con anterioridad?
Bueno, operamos algebraicamente para llegar a ese 2x y
comprobar la regla del cociente, ¿qué hace Wolfram Alpha aquí?
Parece ser que en el siguiente paso nos
vamos a dar cuenta, sí, ahí está, ¿se fijan?
O sea él no es tampoco capaz de decir que es x
cuadrada menos 1 y decir que la derivada va a ser 2x,
sino que aplica justamente la regla del cociente con esta acerbidad, ¿no?,
que les decía de andar poniendo, este, siempre eh,
los términos primero el constante y luego las potencias.
Curiosamente también aquí me da la impresión de
que empieza en, este, en el negativo, ¿se fijan?
O sea, realmente eh, cuando ponemos el denominador, es este,
por la derivada del numerador, menos el numerador por la
derivada del denominador, los puso al otro lado, ¿se fijan?
O sea, aún y cuando aquí la expresión sí le está dando con
el signo negativo entre los dos, aquí cuando lo expresó, puso ese negativo.
Bueno, esos son detalles que tendremos que considerar, esto pasa siempre cuando uno
está usando una nueva tecnología, hay
que aprender como está, digamos, construida, ¿no?,
y cómo
nos va a dar la respuesta, para saber interpretar.
Entonces, you con esto, lo que yo quería era mostrarles esta herramienta, ¿sí?,
mostrarles esta herramienta para ayudarles a aprender a derivar con soltura, o
sea que ¿cuáles sería el uso que yo le vería a esto?
Bueno, pues poner otras funciones, inventar la mía, hacerlo en el papel,
ver a lo que llegué, irme a Wolfram Alpha y comprobar que lo hice
bien o que no lo hice bien, ¿no?
En dado caso que no fuera así, bueno pues, reflexionar
sobre mi procedimiento y encontrar cuál fue el error, ¿okay?,
cuál fue el error que cometí eh, que
tal vez sea un error de corte aritmético, ¿no?,
muchas veces eso es lo que pasa en estos problemas con derivadas.
Bueno, you les he mostrado cómo funciona el software,
yo quisiera acá regresar sobre nuestras derivadas y proponerles otras.
you les había dicho que esta práctica la vamos a estar
haciendo por un ratito, entonces me gustaría sacarles aquí una fu, unas
funciones que you tengo y que avancemos un poco en este video
el, mientras el tiempo nos rinda, hasta la derivada que podamos hacerlo.
Me gustaría que en estas derivaciones, o sea, tomemos en
cuenta también qué regla es la que vamos a aplicar.
Fíjense ustedes en el primero de los casos.
En este primer caso lo que tenemos es una expresión elevada a una
potencia, entonces eso dice Regla de la Cadena, ¿okay?
En este otro caso tenemos un producto, ¿sí?
En ese sentido vamos a irnos a la Regla
del, Producto, y en este caso tenemos un cociente, ¿sí?
Tendremos que aplicar la Regla del Cociente.
Las tres primeras funciones que les he puesto
son funciones para que apliquemos las reglas directamente, ¿no?,
Cadena, Producto y Cociente, ¿okay? En eh, en el momento, ¿no?,
en que hagamos esa aplicación, ¿sí?,
vamos a poder hacer las simplificaciones algebraicas necesarias, ¿no?,
que nos permitan ver a la expresión de una manera más compacta, ¿no?
Por ejemplo, ¿no?, empecemos con la primera ¿no?,
y eh, al derivar aquí ¿qué es lo que haríamos nosotros?,
la derivada es igual a este un quinto queda como
una constante ahí que se va a conservar, ¿se acuerdan?,
como nos ha pasado desde el modelo lineal cuadrático y cúbico.
Después este número 15 que está aquí lo vamos a pasar dividiendo, ¿sí?,
después tendríamos
eh, perdón dije dividiendo, multiplicando realmente, you estaba pensando
en otra cosa, luego dejaríamos 3 más 2x más x
cuadrada a la 14, porque le quité 1, y multiplicaríamos
por la derivada de esto, ¿no?, que sería un 2 más 2x, ¿cierto?,
2 más 2x, ¿okay? Uno puede dejar las cosas así, se ve
desde el punto de vista algebraico horrible, ¿sí?,
¿por qué?,
porque las cosas no están ordenadas u organizadas.
Ese es el pasito extra, ¿no?, que necesitamos eh, ser capaces de dar.
¿Qué vamos a hacer?
Este 15 de entre este 5 me va a dar un 3, ¿de acuerdo?
Este 2 más 2x está multiplicando y me lo puedo traer acá al principio, ¿no?,
para dejar
hasta el final el término 3 más 2x más x cuadrada a la 14, ¿no?
Finalmente, podríamos aquí factorizar un 2 que nos lo vamos a
traer por 1 más x, se va a multiplicar con el 3 de afuera,
¿verdad?, y nos quedaría todo esto a la 14, ¿no?
Finalmente sería un 6 por 1 más x por 3 más
2x más x cuadrada a la 14, ¿okay?
Hicimos un ejercicio y lo que yo les
haría, les pediría es que, bueno, sigamos adelante, pero
cada vez que hagamos uno de estos vámonos a
Wolfram Alpha y le tecleamos esta función, veamos entonces
cuál va a ser la respuesta que Wolfram Alpha nos da.
Si les parece mientras, este, terminamos
este video, bueno, este, les aconsejo, ¿no?,
que entren a la página de Wolfram Alpha y que
se familiaricen un poquito con él eh, que introduzcan esta función,
yo lo voy a hacer también y los espero en
el próximo video en donde compararemos nuestras soluciones y seguiremos adelante.
