Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Aplicación: Entre peces y fósiles
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5.- Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Modelo Exponencial
La estrategia numérica del Método de Euler será aplicada para construir el Modelo Exponencial. Para esto, asociaremos la problemática de predicción con situaciones reales cuya particularidad se establece en términos de la relación entre la magnitud y su razón de cambio, lo que matemáticamente se conoce como una ecuación diferencial.
与讲师见面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues en este video
de aplicaciones sobre la función exponencial que hemos estado estudiando,
bueno les he puesto estas imágenes de estos peces ¿no?
tan hermosos que bueno me van a permitir aclarar con ustedes situaciones acerca
de lo que hemos hecho o hemos visto sobre el crecimiento de poblaciones.
Ustedes coincidirán conmigo en que el modelo que preparamos
para construir la función exponencial es el modelo más sencillo de todos.
Dónde pensamos que no hay restricciones,
no hay limitaciones y todo suena muy bonito pero la realidad es que no es así.
O sea, estamos conscientes de que la cantidad ¿no?
de digamos ahorita de peces o de las bacterias ¿no?
en determinado momento hace que pues haya una lucha por espacio, porque no hay,
hay limitaciones en el espacio, en los recursos, hay enfermedades ¿qué sé yo?,
tantas cosas que intervienen en nuestra realidad que no hacen posible que
nuestra especie, sean los peces, seamos nosotros, sea las bacterias ¿no?
Se reproduzcan ¿no?
sin limitación alguna.
O sea, esa tendencia que dijimos límite cuando x tiende a infinito de A a la k x
igual a infinito.
Pues es algo que realmente no se da así.
Entonces en el estudio de poblaciones, ¿también?
O sea, los modelos matemáticos han estado avanzando se hacen otras propuestas y pues
ahorita solamente me gustaría mostrarles una de esas propuestas ¿no?,
que nos llevan a una imagen distinta.
Imagínense nada más ustedes,
esa gráfica que vimos creciente y cóncava hacia arriba tenemos que afectarla,
porque no es posible que esto siga así hacia el infinito ¿no?
O sea, ¿cómo vamos a hacer para que ese gráfico se modifique?,
¿cómo se va a hacer también algebraicamente?
Los invito entonces aquí a mi papel para que ustedes vean esa
propuesta de Verhurst, es una propuesta de ya un tiempo atrás.
Pero en este modelo ya se están considerando otras condiciones ¿no?,
para que la población en su razón de cambio y su rapidez de cambio se
vea afectada con la población y con cierta, de cierta manera una medida ¿no?
de la distancia hacia al máximo de esa población posible.
Total esta expresión es una ecuación diferencial,
que no vamos a resolver ahora pero que si les voy a dar la solución porque me
gustaría que gráficamente intuyamos ¿no?, ¿qué es lo que debemos hacer?
para que el modelo sea más parecido a lo que nos ocurre en la realidad.
Y entonces les propongo que conozcamos a esta función,
esta función el modelo que les voy a escribir aquí, es un modelo que tiene que
ver con la función exponencial pero afectado de otras maneras.
Vamos a tener un recíproco de un uno más e a la menos x ¿Sí?
Ya estoy poniendo el tiempo como x, la magnitud no es p es y simplemente.
Y este modelo matemático ustedes ya saben como deben derivarlo,
yo les invito a que justamente ¿no?, con esas reglas de derivación que ya
conocemos pues calculen la derivada, hagan estos productos y van a ver que tomando la
r igual a uno aquí nos da justamente esta como su solución ¿no?
de la ecuación diferencial.
Yo lo que quiero ahora es mejor mostrárselas,
mostrárselas en un gráfico en este graficador ya al tenía aquí preparada,
para que ustedes vean lo que a lo mejor ya pensaron ¿no?
Vean ustedes como en el gráfico,
en este gráfico de aquí ya se cambió la concavidad.
O sea, este gráfico se observa aquí una concavidad
hacia arriba y después una concavidad hacia abajo ¿cierto?
Esta concavidad hacia abajo es un muy especial,
porque si me voy sobre el gráfico como le estaba haciendo hace ratito ¿no?
Vean ustedes que esto, sigue creciendo pero crece a estabilizarse en un valor.
O sea, realmente el gráfico vamos a ver si lo podemos hacer más chiquito,
aunque si se hace más chiquito se va a achicar todo ¿no?
Vamos a hacerle así.
Ven ustedes lo que pasa, o sea, ¿cómo se ve aquí esta horizontal?
Con estos modelos matemáticos lo que se está suponiendo es de que la población
a la larga se va a estabilizar en un cierto valor.
Y bueno, pues a lo mejor eso es más creíble ¿no?
O sea, no sé si uno puede pensar, ¿qué está pasando con nosotros en el mundo, no?
Que ya cada vez es menos, ¿no?
El hecho de estar teniendo hijos, estamos viendo que hay complicaciones y demás.
Y entonces como que si fuera una cosa natural la tendencia a que las
poblaciones ¿no?, lleguen a una cierta estabilidad ¿no?,
en dónde bueno ojalá que sea en dónde todo sea fácil para todos ¿no?
y todo sea bueno para todos ¿no?
Pues yo lo que quería era mostrarles este gráfico porque si es cierto que con
lo que hemos visto en el curso a lo mejor no resolvemos la ecuación diferencial,
pero si podemos intuir ya cosas.
O sea, ¿de qué debía pasar con el gráfico para que no sea aquel
hecho tan fantasioso no, de que la población tiende a infinito?
Este es un modelo mucho más creíble ¿no?
Y claro, hay muchos modelos mejores ¿no?
Y ahí es donde ya se especializa la matemática en ciertas áreas en particular.
Hablando ahora de la función exponencial todavía me gustaría que en lugar de
pensar en crecimiento, consideraramos el caso del decrecimiento exponencial.
Si ustedes recuerdan aquellos gráficos que habíamos visto la vez pasada,
voy a ocultar este, voy a poner este de aquí.
O sea, en estos casos ustedes vieron ¿no?
que teníamos casos de un crecimiento, el rojo sería un crecimiento exponencial y el
azul sería un decrecimiento exponencial.
O sea, los vemos en el tiempo, vamos a dejar que el pasado ya lo pasado,
pasado y nada más nos fijamos en esta zona.
Entonces tenemos el caso de crecimiento exponencial pero también de decrecimiento
exponencial.
Este gráfico e a la menos x es algo que tiende a cero, ¿se fijan?
Y otra vez es el mismo caso, si ustedes creen que ya llegó a cero, pues no.
Estos graficadores también tienen tanta potencia ahora como para poder
hacer y con esta gestualidad ¿no?
que la gráfica se separe del eje.
Entonces vamos a estudiar este caso del decaimiento exponencial, porque también
tiene muchas aplicaciones en muchos sobre todo en estas cuestiones de los isótopos
radiactivos, hay muchas cuestiones que si son útiles en la realidad.
Hay un término que me gustaría compartir con ustedes se llama la vida mitad,
que tiene que ver con este decaimiento exponencial y que hace a las cosas útiles.
El término vida mitad a veces también se confunde con vida media,
pero trata sobre tener una cantidad ¿no?
de un isótopo radioactivo digamos.
Y pensar en el tiempo que tarda en llegar a reducirse a la mitad.
Por eso es como vida mitad, o sea, tengo una cierta cantidad y ese isótopo
radioactivo tiene una rapidez de decaimiento,
pero quiero pensar, ¿qué pasaría o cuánto tiempo pasaría para que llegue justamente
a la mitad de la cantidad original que tenía?
Esto les digo tiene varias aplicaciones pero en particular
la que me gustaría con ustedes retomar es la aplicación sobre arqueología.
Cuando se tiene un fósil,
se puede estudiar digamos la edad que tiene este fósil pensando
en la cantidad de un isótopo que es el carbono 14.
El carbono 14, vamos a escribir aquí el carbono 14 este isótopo
tiene una vida mitad fíjense de 5730 años.
O sea, eso tarda para que si yo tenga una cierta
cantidad pasen 5730 años y ya va a tener la mitad.
O sea, es tan digamos tan despacio ¿no?
que pasa esto que ni les permite a los arqueólogos,
esto es como una medida un ¿qué les diré?, como un parámetro,
como un cronómetro ¿no?, que les dice cuál es la edad de ese fósil ¿no?
¿Cómo le vamos a hacer nosotros para poder aplicar ahorita
nuestra función exponencial aquí?
Bueno, acuérdense que nuestro modelo siempre o sea ahorita está siendo
de esta manera.
Vamos a pensar en c de t igual, pensé en c por carbono bueno ahí se quedó.
C de t igual, ¿a qué sería?
Pues hay una cantidad inicial c sub cero por e a la k por t.
Pensemos que la t son años ¿no?
Aquí está nuestro modelo exponencial, pero seguramente que esta k ha de ser como que,
como que negativa para que el caso sea de decaimiento ¿sí?
No piensen que necesito poner un signo negativo ahí para que este pensando en
decaimiento, esto puede representar crecimiento o decrecimiento ¿no?,
en la función exponencial.
Supongamos que entonces la cantidad
de carbono está modelada por una expresión así ¿okey?
Yo no sé cuánta cantidad tenía originalmente ¿no?,
de carbono 14 este fósil ¿no?
Pero ya cuando está dentro de una, de un cristal en
crecimiento la cantidad de carbono 14 ya empieza ya a disminuirse ¿sí?
observando este tipo de comportamiento.
Y entonces supongamos que nos encontrábamos este, somos arqueólogos y
nos encontramos este fósil y de alguna manera ellos tienen forma de darse cuenta
de que hay un 15% digamos de la cantidad original que había de carbono 14 ¿no?
Eso es lo que encuentran en el fósil.
Entonces con este dato se va a poder predecir ¿cuánto tiempo,
no?, ¿de dónde data este fósil, no?
o esta piedra ¿no?, lo que se esté analizando vamos a ver como juntar
estos elementos para poder contestar esta pregunta de predicción.
Entonces si se fijan ustedes ahorita nuestra
pregunta es t igual a cuánto, ¿no?, esa es mi pregunta,
cuánto tiempo ha pasado para que la cantidad del carbono
sea el 15% de la cantidad original,
esto es tanto como decir o sea 0.15 de c sub cero, ¿no?,
el 15% de la cantidad original.
Esto me estaría llevando a trabajar con la expresión matemática de acá arriba, ¿no?
entonces pondríamos c de t, fíjense tenemos esto y esto, entonces si los dos
son iguales a lo mismo entonces vamos a poder igualar y generar una ecuación,
una ecuación medio rara, no son las que estamos acostumbrados,
pero vamos a ponerla ahorita ys ería, estaría diciendo c cero,
c sub cero por e a la k t es igual a 0.15 por c sub cero, ¿cierto?
Y en este momento dado que c sub cero es esa cantidad original que había en el
fósil y bueno pues lo podemos quitar, no es un cero, lo quitamos y nos quedó la
expresión e a la k t igual a 0.15, ¿cierto?
Y ahorita lo que necesitaríamos nosotros es pues dos cosas,
necesitamos conocer cuánto vale esta k y necesitamos despejar esta letra t,
y estamos ante un gran problema, ¿no?, ¿cómo se despeja una t de ahí?
¿Cómo calculamos ese valor de k?
Me gustaría hacer un paréntesis nada más con ustedes,
porque para poder manipular estas funciones exponenciales uno tiene que
tener bastante cuidado, más que con las polinomiales.
Entonces me gustaría que si ustedes tienen por ahí alguna calculadora, la que sea,
sí, bueno que sea científica eso sí.
La pongamos ahorita sobre la mesa y que pensemos en operaciones yo
quiero mostrarles algo a ver si resulta con la suya o no.
Vamos a poner aquí la calculadora, vamos a traernos a otro personaje aquí,
y entonces los voy a invitar a que hagamos un jueguito,
sí, o sea vamos a meter un, bueno ustedes tienen su calculadora científica y
ustedes notarán que tienen su calculadora seguramente una función exponencial,
una función logaritmo natural, okey.
Entonces lo que vamos a decir es por ejemplo,
vamos a elevar el número e a la cinco, entonces lo que tendría que hacer
en esta tecla, supongo yo que le digo cinco y le digo e a la cinco, ahí está.
¿Se fijan, qué fue lo que hice?
Va de nuevo, oprimí un cinco ahí está en la pantalla y luego le
dije eleva a e a la cinco y ya me dio este número, ¿de acuerdo?
Acuérdense que metimos un cinco.
Si ahora oprimo la tecla del logaritmo natural que está aquí,
me regresa el cinco, okey.
A la mejor fue casualidad dicen ustedes, a ver vamos a ponerle un 8.2, ¿no?
Le digo eleva e a la 8.2 y luego le digo calcula el logaritmo
de lo que está allá arriba y entonces me dijo 8.19999,
si ya han estado conmigo antes ustedes saben que eso es 8.2.
No necesariamente porque ahorita no lo cortó pero la calculadora nos está dando
las cifras decimales que puede, sin embargo nosotros sabemos que un 8.19 con
infinitos nueves es lo mismo que un 8.2.
Que bueno que salió ese número ahorita para recordar estos infinitos,
también en los números, ¿no?, que hemos visto.
Vamos a hacerlo con otro número, primero vamos a poner un siete, se me viene un
siete a la cabeza y le digo eleva e a la siete, ya salió esa cantidad grandísima
que está ahí, luego le digo calcula el logaritmo y ya se fue a un siete.
Okey.
Podemos hacerlo manualmente ahora con el lápiz,
fíjense lo que estamos haciendo, voy a hacer la traducción,
este número siete lo pusimos ahí, okey, aquí está el número siete escrito.
En el momento en que oprimo la tecla de exponencial,
lo que está haciendo la calculadora es elevar e a la siete, ¿de acuerdo?
Entonces este número es el que tengo aquí en la pantalla, ¿de acuerdo?
En el momento que oprimo la tecla logaritmo natural vuelve a aparecer el
siete, el oprimir la tecla es como haberle dicho calcula el logaritmo
natural de e a la siete y la respuesta que me da la calculadora es el siete, sí.
O sea la calculadora está haciendo un proceso en donde el mismo número
siete lo puedo escribir lo puedo escribir como logaritmo de e a la siete.
Es algo como lo que les he platicado en otras ocasiones es que pues yo puedo decir
que un número, el número siete es siete por tres entre tres, okey.
Es otra manera de escribir el siete, siete por tres entre tres,
21 entre tres es siete, sí.
Acá también este número se puede escribir como el logaritmo natural de e a la siete,
esto me habla de lo inverso de estos dos procesos,
de operaciones matemáticas, calcular una exponencial a un logaritmo,
y también lo podríamos hacer nosotros si ahora lo vemos al otro lado,
o sea podríamos pensar que le decimos primero toma el siete,
vamos a borrarle, vamos a ponerle otro número mejor, toma el cinco, ¿no?,
y oprime primero logaritmo natural,
vamos a oprimir el logaritmo natural de cinco y ya nos dio una cantidad.
Tuvo que aproximarse, se fijan, entonces a lo mejor vaya a haber aproximaciones
ahorita en lo que corresponda, vamos a ver qué hace la calculadora si ahora le
decimos eleva e a ese número, y si miren ustedes, qué pasó, 4.9999,
es realmente y ese seis de ahí me está diciendo ese efecto de esa aproximación
que hizo cuando calculó e a la cinco, ¿no?, no, logaritmo de e a la cinco.
Pero, pensemos este es un cinco y entonces otra vez que fue lo que pasó.
Vamos a poner un cinco oprimimos ahora logaritmo natural,
notamos que aquí una aproximación, bueno no importa, tomamos en cuenta en nuestra
mente, oprimimos la tecla exponencial y nos sale prácticamente el cinco, ¿no?
Vamos a hacerlo con nueve a ver si me sale con un nueve, metemos un nueve,
le decimos logaritmo natural y elevamos la exponencial
y ahí si salió el nueve exactito, ¿no?
¿Qué pasa si meto un menos dos?
Abusado, ya me imaginaba yo que pudieran pensar en números negativos,
o sea si hay un menos dos y le digo, no se cómo cambiarle el signo,
si aquí, un menos dos, vamos a poner un dos negativo y le digo calcula
el logaritmo y me va a decir error, verdad, tiene que ser.
¿Por qué?
Porque ahorita cualquier logaritmo tendrá que ser de un valor positivo,
porque lo que estamos haciendo es justamente lo que vamos a escribir aquí,
fíjense ahora de manera general lo que estaríamos diciendo es primero calcula
para el número siete o el número que sea, calcula el logaritmo,
sí, y después calcula e a la logaritmo de siete,
la respuesta va a ser un siete, ¿no?
Cuando estoy ahorita entonces pensando en un número, lo puedo ver como la operación,
¿no?, entre logaritmo y exponencial o entre exponencial y logaritmo, okey.
Estas dos son operaciones inversas, las volvemos a ilustrar aquí a la
mejor con un último ejemplo, pensemos en, quitemos este error,
yo pongo un ocho ya no pongo ningún número negativo, pongo el ocho,
pongo el logaritmo de ocho, le digo exponencial y me da prácticamente el ocho.
¿Qué quiero hacer con ustedes?
Inducción.
O sea en general qué podemos decir, en lugar de siete ponemos x,
¿no?, y acá también parecía que iba a poner el asterisco,
no pues para ese asterisco pones siete abajo, ¿no?
Aquí nos queda x y x, ¿no?
Vamos a volverlo a escribir con rojo para que nos quede bien grabado, ¿no?,
que el logaritmo como si fuera con sangre, que el logaritmo de e a la x es igual a x,
e a la logaritmo de x es igual a x, sí.
Estas dos son expresiones que nos muestran como se manejan los logaritmos
naturales y exponencial, logaritmo natural es la función inversa de la exponencial,
vamos a tener oportunidad de verla despuecito, pero ahorita para mi era
importante porque, si ustedes se fijan, esta es la manera de rescatar,
de rescatar la x, cuando la x anda ahí metida en logaritmos y exponenciales.
Si volvemos a nuestra filmina anterior,
teníamos aquí la letra t que va a ser las veces de la letra x,
entonces yo por ejemplo aquí les diría si yo quiero que k por t me quede despejado,
lo que necesito es aplicar esta, ¿no?, o sea necesito, como tengo e a la algo,
le voy a decir en la expresión logaritmo natural de e
a la k t es igual a logaritmo natural de 0.15, okey.
Y en este momento aplicamos esta propiedad, o sea esta que tengo justo
arriba, logaritmo natural, logaritmo natural, e,
e, lo k t es x, y acá tengo es igual a logaritmo natural de 0.15,
pero por otro lado acá, esto me permite despejar este exponente, ¿no?
Y entonces esta de parte de aquí es como si me fuera hacia atrás y
voy a poder gracias a la de arriba poner aquí k por t, okey.
Y entonces la expresión nos quedó mucho más simple, ¿no?
¿Cómo nos quedó la expresión?
Nos quedaría k por t, vamos a ponerle aquí k por t es igual
al logaritmo natural de 0.15, puse un paréntesis ahora,
sí, y finalmente la letra t que es la que andábamos buscando,
pues ya la encontramos entre comillas que es logaritmo de 0.15 entre k, ¿no?
Vamos a poner la k con verde, llegamos ya a un valor de un
logaritmo de 0.15 entre k pero ahora las cuestiones todavía no acaban,
porque nos falta un pequeño detalle, pequeño detalle, ¿verdad?
O sea quién es esta k, ¿no?
Okey, esa letra k seguramente tiene que ver entonces con este
patrón de comportamiento de la cantidad de carbono, o sea seguramente está
relacionada con este dato que tenemos sobre la mitad del carbono.
Entonces hagamos nuevamente nuestra práctica, ¿no?,
con logaritmos exponenciales e interpretemos algebraicamente
que la mitad del carbono son 5730 años, okey.
¿Qué quiere decir que sea la vida mitad?
Quiere decir que la cantidad de carbono 14
a los 5730 años, es igual a cuánto,
a la mitad de lo que había originalmente, okey.
Y esa mitad de lo que había originalmente,
al mismo tiempo se puede expresar si hacemos uso del modelo acá, ¿no?
O sea sería como sustituir, ¿no?, evaluar la función carbono
ahí cuando la t vale 5730, esta t es esta k, se va a poner aquí,
entonces acá nos va a quedar c sub cero por e a la k por t,
por e a la k por t, por 5730, ¿no, sí?
La cantidad de carbono 14 a los 5730 años, siendo este el dato
de la vida mitad del carbono es igual a la mitad de la cantidad original que había.
Y usando el modelo a su vez esto es igual a e sub cero por e a la k por 5730.
Con estas dos partes podemos nosotros trabajar estas,
¿cierto?, y de aquí pasa a cancelar ese sub cero y nos
va a quedar que un medio osea, 0.5 es igual
a e a la k por 5730, ¿no?
O en otra forma, vamos a hacer el espejo,
se los escribo de una vez, e a la 5730 k no me gustaba dejar la k primero, ¿sí?
esto es igual a 0.5, okey.
Tenemos la letra k en un exponente, y ahora,
¿qué haremos, quién podrá ayudarnos?
Nuestra expresión que hemos visto con ayuda de la calculadora porque
sabemos que para que aquí esto quede despejado,
necesitamos meter el logaritmo en ambos lados.
Y entonces vamos a poner aquí logaritmo, ¿no?,
de e a la 5730 k es igual al logaritmo de 0.5, ¿no?
En esta parte gracias a esta expresión, esta parte nos va a quedar como que,
como 5730 k nada más,
igual a logaritmo natural de 0.5.
Finalmente entonces la letra k es igual al logaritmo
natural de 0.5 entre 5730, okey.
Hemos calculado el valor del parámetro k, para el carbono 14,
ese parámetro es el que cumple o el que debe de cumplir este modelo,
aquí en el modelo que tenemos aquí, ¿de acuerdo?
O sea ese es el valor de k que nos estaba faltando acá,
k y acá para dar respuesta a qué edad tenía, ¿no?, este fósil.
Si habíamos encontrado el 15%, ¿no?,
de carbono 14 cuando lo descubrimos como arqueólogos.
Entonces qué es lo único que nos faltaría ahorita,
pues sustituir este valor de aquí acá en la k, entonces
vamos a irnos a un papelito aquí para que ya no nos quitemos
de la hoja y entonces voy a copiar esto con verde para que lo recordemos.
Esta t que andamos buscando es logaritmo natural de 0.15 entre k, pero ¿quién es k?
Es esta de aquí, entonces nos va a quedar logaritmo
natural de 0.5 entre 5730, vale la pena entonces en
esta operación recordar con ustedes las leyes de los extremos y medios, ¿no?
Esto está dividido entre un uno y entonces esto nos llevaría al logaritmo
natural de 0.15, esto estaría multiplicado por 5730, no me va a caber,
5730 y todo esto está dividido entre logaritmo natural de 0.5, ¿no?
Vamos a escribirla mejor.
Va a ser 5730 logaritmo
natural de 0.15 entre logaritmo natural de 0.5, okey.
Vamos a traernos nuestra calculadora, ¿dónde quedó la calculadora?
Ahí está.
Para terminar este video vamos a ver resolver esta incógnita,
a ver que nos queda.
¿Qué tendríamos entonces que hacer?
Pues tendríamos que calcular el logaritmo de 0.15, ¿no?,
0.15 logaritmo, allí está esa cantidad, sí,
entonces tendríamos nosotros aquí, vamos a anotarlo,
un menos 1.89711998 etcétera, ¿no?
aproximado, el logaritmo de qué nos falta,
de 0.5, que le pedimos logaritmo y entonces
tendríamos un menos 0.69314718, ¿sí?
Estos dos números deberíamos de dividirlos, verdad,
y entonces multiplicar por 5730, ¿no?
Y eso cuánto nos va a dar, bueno pues vamos a hacer aquí la división,
vamos a poner´entonces logaritmo, ay ya le puse mal, vamos a poner la cantidad aunque
sea aproximada ahorita, es un 1.897119985
lo dividimos entre punto, ¿quité lo negativo, se dieron cuenta?
Porque pues menos entre menos va a dar más 4718,
esto es igual y esto lo multiplicamos por 5730 y nos va
a dar tanto como 15682.81, ¿qué les parece?
Vamos a redondear en unos 15683 años
que tenía este fósil, ¿no?
de edad y esto fue calculado gracias a que el dato del carbono
14 de su vida mitad lo tenemos, o sea esa es una gran ayuda de la matemática,
¿no?, en el campo de la geología, verdad y gracias a que teníamos este
dato de lo que tenía presente en el momento en que fue descubierto.
Y bueno, con esto lo que acabamos este video de aplicación,
hasta arqueólogos nos hicimos ahora y bueno, pues espero que
hayan al menos con lo largo que es este tema de hablar del exponencial,
espero que al menos lo hayan disfrutado y pues nos vemos en la siguiente.
