Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Situación: Había una vez un tanque...
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5.- Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Tecnológico de Monterrey
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Modelo Cúbico
Abordaremos el estudio del Modelo Cúbico como el modelo polinomial en el cual la razón de cambio se representa con un modelo cuadrático. A través del análisis de sus gráficas podremos ampliar nuestro conocimiento incluyendo un nuevo tipo de comportamiento. El conocimiento de modelo cúbico se integra con el del cuadrático y del lineal, y con esto apreciaremos en el Cálculo el estudio del cambio, posible a través de las sucesivas derivadas de una función.
与讲师见面
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Hemos decidido regresar al contexto
de esto del llenado de recipientes porque el llenado de recipientes,
créanme es una situación real en la que se presta mucho para descubrir
cómo la matemática representa gráficamente diferentes eventos en la naturaleza.
Ustedes se recuerdan ahorita,
podría jugar con mis manos y recordarles cómo tuvimos ya identificados cuatro tipos
de comportamientos en las gráficas de funciones, ¿no?, si pongo mis manos así,
esta mano está manifestando un crecimiento con concavidad hacia abajo y esta otra
mano estaría representando un decrecimiento con concavidad hacia abajo.
Si yo pongo mis manos de esta manera,
esta mano está representando un decrecimiento con concavidad
hacia arriba y este sería un crecimiento con concavidad hacia arriba.
Yo he hablando, de concavidad, de crecimientos y decrecimientos y aquí
nuestro tanque se está llenando, es mucho más agradable de lo que yo pueda decir,
pero bueno yo lo que quiero decirles es que si estudiamos el nivel de agua de un
tanque, podriamos pensar en que ese nivel sube o ese nivel baja, ¿no?
Pero cuando sube, puede subir cada vez más lento, cada vez más rápido,
cuando baja puede bajar cada vez más lento o cada vez más rápido.
Esos son los cuatro tipos de comportamientos de los que les hablaba.
Yo les invito a que empecemos a considerar a las matemáticas dentro de este
contexto y entonces tengo aquí en mi papel un tanque, ¿no?,
un tanque que va a tener aquí la acción de tres llaves, y con estas tres llaves
vamos a jugar lo suficiente para conocer estos comportamientos,
reconocer estos comportamientos y combinarlos en lo que van a ser
ahora nuevos aprendizajes que hablan sobre la problemática esta
de la predicción a través del análisis de las curvas, ¿no?, gráficas de funciones.
Entonces en este tanque, ¿no?, en este tanque vamos a suponer ahorita
que tenemos representado el nivel, o sea ahorita vamos a hablar del nivel,
este tanque digamos que tiene unos 100 centímetros,
unos 100 centímetros, ¿no?, de longitud desde un metro.
Pensemos que originalmente tenía aquí unos,
no se unos 15 metros, vamos a poner aquí un 15, 15 centímetros,
15 centímetros, perdón, 15 centímetros en su llenado, o sea allí estaba al inicio,
cuando yo le doy al cronómetro empiezo a analizar la situación y entonces el
comportamiento del nivel puede obedecer a distintas situaciones,
o sea según como sea la acción de estas llaves.
O sea para nosotros ahorita las llaves son la manera de meter, o sea de incluir
términos en la función polinomial que nos va a representar a esta situación.
Tengo aquí la expresión, o sea matemática, la voy a poner de esta manera,
ahorita regresamos sobre la otra filmina,
y aquí tengo ya una expresión matemática para ese nivel.
Vamos a analizarla.
Ahorita estábamos en el caso de una función de grado tres,
aquí estamos con la variable t, ¿no?,
y esta función polinomial de grado tres se llama una función cúbica,
¿no?, estamos trabajando con una función cúbica que estamos
suponiendo que nos modela lo que pasa con el nivel de agua en este tanque y este
nivel original era 15 y tenemos aquí tres llaves actuando,
dos que llenan una que vacía y entonces eso va a provocar aquí cambios en
el nivel que vamos a estudiar a través de esta función, ¿no?
Una cosa que hemos aprendido en este curso es que si queremos
hacer afirmaciones de esta función, tenemos que sermucho más precisos que lo
que sucede cuando tenemos un acercamiento muy de tabulación, en las funciones.
Miren yo les quería enseñar, ahorita que estuve ensayando con esto,
yo les quería enseñar esta expresión puesta aquí en este graficador.
Entonces hay ciertas actitudes o tendencias, ¿no?,
ahorita en los estudiantes de evaluar una función,
producir una tabla en donde tenga distintos valores de la función.
Entonces aquí se le escribí con la ventaja que tengo ahora de estos recursos,
para que ustedes digamos vivan el proceso de tabulación de una manera bueno,
más digital.
Si aquí en lugar de esa x le hubiéramos puesto un uno, sí,
entonces aquí nos quedaría en esta x también,
le vamos a poner un uno y entones nos va a quedar algo como ya me van
a quedar los paréntesis para después volverlos a utilizar, déjenme bajar aquí,
ponemos nuestro uno y le decimos igual.
Tenemos un 16, okey.
Entonces podríamos nosotros empezar aquí a decir cuando el tiempo era cero,
la altura era 15, cuando el tiempo es uno, ya va en 16, ¿no?
Vamos a ponerle ahora que ya no fueran dos, que fueran, en qué tenemos esto,
creo que lo teníamos en minutos, el caso este, vamos a hablar del nivel
en centímetros, pensemos en que sea centímetros por minuto.
Entonces aquí a los dos minutos, o a los dos segundos,
pondríamos aquí un número dos, acá un número dos, acá un número dos,
no aquí no, acá número dos y entonces nos da un 19, ¿no?
Después de este número 19 podríamos decir bueno vamos a ver qué
pasa a los tres minutos o a los tres segundos, según lo que sea la unidad ahí.
¿Qué estoy haciendo?
Esta es una mecánica muy, digamos convencional para calcular valores
de funciones, producir una tabla numérica que aquí nos diría que a los tres
nos da un 30 y aquí en el cuatro, bueno pues vamos a hacerlo primeramente,
ya en este cuatro tenemos todo acomodado y nos va a quedar tanto como 55, okey.
Vamos a suponer que estuviéramos hasta los cuatro minutos o cuatro segundos.
Yo quiero que observen algo en esta tabla, es una tabla muy inocente.
¿Por qué?
Porque metí valores enteros, no me atreví aquí a poner en el
paréntesis un 1.574 o un 4.271,
o sea uno realmente está habituado a usar siempre los naturales y realmente los
naturales son bien poquitos para todos los números que hay.
Vean ustedes como igual, aun y cuando tomáramos esto,
de en un segundo o en un minuto el nivel cambió,
digo, sí, el nivel cambió un centímetro.
En un segundo, en el siguiente cambió tres centímetros,
en el siguiente cambió cuántos, ya están viendo lo que estoy haciendo,
estoy haciendo aquí restas, cierto y aquí nos quedarían 11, ¿no?,
y en otro segundo cambió, cuánto, 25.
Tengo esos números, uno, tres, 11, 25 que si yo los recorro así me
está dando el nivel de agua en el tanque, entonces uno podría decir ese tanque se
está llenando cada vez más rápido porque cada vez entran más, ¿no?
O sea es mayor la cantidad y la razón de cambio es algo que está creciendo,
okey, según esta información, okey.
Podríamos tener entonces esa idea de que está creciendo y entonces bueno,
pues vámonos ahora a usar un graficador.
Ya tenemos la idea de que está creciendo y nos podemos ir a un graficador,
aquí tenía ya uno medio preparado, y le decimos ahorita ya lo tenía aquí,
¿se fijan?, esta es la expresión 15 más dos x menos dos x
cuadrada más x cúbica la voy a dibujar con el color rojo,
okey, y al dibujarla me salió esto, ¿no?,
en esta expresión del comportamiento de esta función, se puede ver,
bueno, se puede ver lo negativo pero o negativo no lo vamos a ver,
es como si yo lo hiciera así o me puedo quedar en el medio y les tapo con la mano,
¿no?, porque realmente el negativo no importa.
Ahora estoy considerando esta función me está modelando, ¿no?,
lo que pasa en el nivel de agua en el tanque.
Entonces si le ponemos así y vemos esta parte de la curva,
igual podemos coincidir que sí es cierto, o sea si me voy para arriba,
para arriba, para arriba, este tanque se está llenando ciertamente, ¿no?
Sí se está llenando, pero otra cuestión es si se llena cada vez más rápido.
En todo el tiempo.
Yo estoy segura que aquí sí, pero no se si ustedes si lograron percibir que
aquí hay algo, ¿no?, en esta situación, en esta parte de aquí,
déjenme centrarla, esta zona de aquí del gráfico, okey,
pudiera ser que esté cóncavo arriba y entonces
estaríamos de acuerdo que se llena cada vez más rápido o pudiera ser que aquí
haya pasado algo y que haya una especie de concavidad hacia abajo, es como si con mis
manos hubiera juntado una concavidad hacia abajo con una concavidad hacia arriba,
¿se fijan cómo se pueden juntar estas partes de las curvas?
Y entonces a lo mejor ahí eso nos haría cambiar de opinión en cuanto a cómo
se está llenando el tanque.
O sea moraleja, ¿cuál es la moraleja?
Quieres decir cosas, bueno aparte de los números que tú quieras considerar,
estos de aquí, no dejes de considerar lo que viene siendo su razón de cambio,
o sea su derivada, porque ella es la que nos va a decir si realmente está
pasando lo que estábamos intuyendo con esos números o con el gráfico que hicimos.
Entonces vamos a calcular la derivada, la razón de cambio de esta función,
la razón de cambio del nivel de agua aquí, y recuerden ustedes
en nuestra mecánica que ya hemos aprendido, este 15 se va a desaparecer,
este más dos t nos va a quedar solamente un dos, la derivada de dos t es dos,
la derivada menos dos t cuadrada es un menos cuatro t, ¿qué hice?
Bajé este número dos, este que está aquí,
lo bajo multiplicando menos dos me da menos cuatro y a la t el
exponente dos le quito uno que me queda t a la uno que no se escriba aquí.
Finalmente la derivada de t cúbica sería un tres t cuadrada, ¿no?
¿Por qué?
Porque bajé este tres y al tres le quité uno, al exponente,
entonces ya tenemos nuestra derivada.
Esta es la derivada y con esta derivada podríamos nosotros saber diferentes cosas,
por ejemplo miren, ahorita decíamos que se ve que se está llenando,
sí, si el tanque se está llenando todo el tiempo, cosa que también lo veíamos con
el graficador, pues la derivada tendría que ser positiva, ¿cierto?
O sea tendríamos que, podríamos nosotros estar pensando que r de t,
o lo que es lo mismo h prima de t es mayor que cero, siempre.
Esto sería en el caso de que siempre se estuviera
llenando el tanque, no siempre estuviera aumentando allí el agua en el
tanque y el nivel estuviera aumentando, ¿no?
Entonces pensar si esto ocurre siempre es pensar en esta expresión de acá,
y para saber si esto es positivo pues una técnica sería decir cuándo da cero,
¿será posible que en algún momento de cero esa expresión de ahí?
Ahorita lo que está haciendo en mi cabeza es llevarame a un procedimiento algebraico
de igualación a cero y de generación de una ecuación cuadrática, okey.
Como nosotros estamos casi, casi seguros de apostarle a que ese nivel
siempre está subiendo, podríamos decir para mi que esta ecuación que está aquí no
tiene soluciones reales.
¿Por qué no las tiene?
Porque si las tuviera estuviéramos encontrando un número t que satisface esto
igual a cero y eso entonces permitiría que se tomaran valores positivos y negativos
y si hubieran negativos entonces el nivel estaría bajando, pero esta tabulación de
aquí me dice que eso no pasa y el dibujo que hicimos acá me dice que tampoco, okey.
Entonces, apostemos y digamos que no tiene soluciones reales,
¿y cómo vamos a saberlo.
cómo saberlo?
Para eso lo que tendríamos que hacer es traernos acolación aquí
a nuestro compañero, el discriminante, el discriminante de una ecuación
cuadrática viene siendo lo que está dentro del radical en la formula general,
o sea el b cuadrada menos cuatro a c, lo que queda dentro de la fórmula general.
Si este discriminante es negativo, eso estaría garantizando que las
soluciones son imaginarias y por tanto ya tenemos digamos ganada la apuesta, okey.
Entonces vamos a hacerlo, b cuadrada menos cuatro a c, ¿quién es nuestra b?
Nuestra b viene siendo este número menos cuatro,
nuestra a es el tres y la c es el dos, ¿no?
Entonces b cuadrada menos cuatro a c sería menos cuatro al cuadrado
menos cuatro por tres por dos y esto nos
va a dar un 16 menos 24 y esto nos va a dar un menos ocho y ya está.
Es menor que cero.
Es cierto, ¿no?
La apuesta está ganada,
o sea esta ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.
Y si no las tiene, quiere decir que toda esta expresión matemática
independientemente del valor de t que yo le ponga va a ser una expresión que
conserva su signo, ¿cuál signo, positivo o negativo?
Pues el signo positivo porque justamente en cero vale dos,
si en el cero en t igual a cero ya valió dos, es positivo,
en todos los t reales va a valer siempre algo positivo.
Entonces efectivamente esta llave que está aquí sí
está arrojando agua pero lo está haciendo de tal manera,
que junto combinada con estas dos no va a provocar que el nivel
de agua baje, siempre va a estar subiendo, okey.
Para tener esa idea más clara, a ver voy a enseñarles otra vez aquí a la gráfica,
vean eso que estamos diciendo ahorita nos está diciendo
que esto siempre va a estar creciendo, siempre, siempre.
Pero estamos ahora con la duda de que lo que pasa por aquí si todo esto
es cóncavo arriba o si hay una concavidad hacia abajo, ¿no?,
que nos diga que el nivel está creciendo, sí creciendo, pero cómo está creciendo.
Entonces lo que vamos a hacer ahora es analizar un poquito a nuestra razón
de cambio, ¿no?, nuestra razón de cambio que es esta función cuadrática
me parece que ya la traigo yo graficada aquí, se las voy a enseñar,
me vine preparada con esta pero no me voy a poner a hacer las gráficas yo,
prefiero que mejor usemos el graficador,
pero sí les voy a graficar esta la de dos menos cuatro t más tres t cuadrada.
Esta expresión dos menos cuatro t más tres t cuadrada tiene esta gráfica,
es una parábola, okey.
Y si pueden ustedes ver esta parábola, como que aquí hay una zona, ¿no?,
que habría que ver qué es lo que está pasando en ella,
lo que sí es que tiene que ver con el vértice de la parábola entonces miren,
aquí sería sencillo que nosotros coincidamos en el comportamiento
de esta gráfica, sí, analizamos algebraicamente su expresión,
dos menos cuatro t más tres t cuadrada, sí.
Yo se que esto es una parábola, yo se que aquí se le ve un
valor mínimo por ahí que es justo en el vértice y para calcular el valor
mínimo de esa parábola, pues yo lo que necesito es sacar la derivada de ella,
o sea qué es lo que voy a hacer, voy a derivar la derivada,
o sea voy a hablar de r prima de t que si nos vamos a considerar el nivel,
sería como las veces de una segunda derivada del nivel del agua, okey.
Para encontrar esta derivada lo que tenemos que hacer es derivar aquí
arriba el dos desaparece me quedó menos cuatro más este dos
baja aquí por dos por tres son seis, nos quedan menos cuatro más seis t, okey.
¿Para qué queríamos esta?
Porque ella nos va a decir donde está el mínimo de este gráfico,
si nos atrevemos a hacer una acción algebraica,
esto es hacer álgebra, pero un álgebra bien pensada, ¿no?
Igualo a cero, seis t igual a cuatro o sea que t es igual a cuatro sextos que
es lo mismito que dos tercios, ¿no?
Entonces ahorita lo que se es que este punto que está aquí,
o sea voy a señalarlo acá, este que está por aquí, sí,
en su primera coordenada tiene un dos tercios, okey,
y si quiero sacar su segunda coordenada, lo que tendría que hacer es evaluar la r,
sí, en el dos tercios o sea vamos a evaluar r en dos tercios,
yo creo que nos sale rápido aquí para no usar la calculadora, vamos a ver,
sería un dos menos cuatro por dos tercios más tres por dos tercios al cuadrado, sí.
O sea nos quedaría, voy a ponerle aquí r de dos tercios para ser más correcta,
¿no?, r de dos tercios es igual a dos menos ocho tercios más,
sí, aquí este dos tercios al cuadrado serían cuatro novenos, ¿cierto?
Pero un tres de aquí se va a ir con uno de los acá, que se vayan, ¿no?,
y entonces nos va a quedar un cuatro que es el dos al cuadrado,
este tres ya se fue con uno de los de acá y nos va a quedar aquí un tercio, ¿cierto?
De aquí menos ocho tercios más cuatro tercios nos queda que,
bueno pues nos queda dos menos cuatro tercios, ¿no?
Y si a dos le quito cuatro tercios, cuántos tercios tiene el dos,
dos unidades vendrían siendo seis tercios, entonces le quito cuatro tercios
me va a quedar tanto como dos tercios, qué bonito, salió igual, ¿no?
Pero este número dos tercios no es igual a este,
y no es porque este es verde y este es rojo, no es esa la razón.
La razón es que este fue el valor del tiempo y este es el valor de la razón de
cambio, okey, pero estamos viendo que es una razón de cambio que está positiva,
o sea aquí este gráfico no llega a tocar al eje t, okey.
Valdría la pena que lo viéramos por acá, vamos nosotros a poner aquí en nuestra
gráfica, si nos regresamos acá tantito vamos a poner en este lugar,
vamos a poner la derivada que es un dos,
vamos a quitar este de aquí, sería que un dos a la x,
la quitamos, también la quitamos y aquí sería un menos cuatro x,
¿cierto?, vamos a ponerlo aquí quitamos este y ponemos un
cuatro y a la x le quitamos ese cuadrado que tiene aquí,
y luego más tres x cuadrada, ¿no?, o sea que aquí le vamos a poner un
número tres y aquí en lugar de este número tres le ponemos un cuadrado, ¿no?
Ya tenemos nuestra función, ¿no?, dos menos cuatro x más tres x cuadrada, sí.
Ellos no entienden de t, ¿de acuerdo?
Entonces le hablamos en su idioma y le decimos sálvala y grafícala,
ya ahí tenemos la gráfica.
Vean ustedes lo que pasó.
Si ustedes se fijan ahorita si se fijan ahorita, en esta zona sí se nota y si no
se nota se va a notar porque le puedo hacer así, si me deja,
ahí está clarísimo, clarísimo,
que esta gráfica azul no corta el eje horizontal, ¿cierto?
Si no corta el eje horizontal ahí está demostrado lo que decíamos,
la razón de cambio siempre es positiva, ese nivel está aumentando siempre,
siempre, está aumentando, ¿no?
Pero ahora si podríamos decir que algo ocurre distinto antes de
los dos tercios de minuto y después de los dos tercios de minuto,
porque antes de los dos tercios que viene siendo más o menos por aquí,
antes la razón de cambio y después ya crece, okey.
Eso lo que provoca es que acá arriba, vamos a traer para abajo,
baja, baja, baja, hay una concavidad hacia abajo hasta los
dos tercios y después hay una concavidad hacia arriba, sí.
Creo que traigo graficado aquí,
yo les había graficado estas con una software especial.
Este software que les estoy mostrando aquí como que da una muy buena sensación,
¿no?, cuando uno lo usa también, nada más que ahorita no lo tenía disponible, okey.
Tiene, respeta muy bien las escalas y los acercamientos y el gráfico miren
como se ve aquí, cuando yo los quise poner juntos pues me quedó así,
pues es algo como lo que estábamos viendo acá,
nada más que le cambié los colores porque aquí está en azul el nivel y
en rojo la razón de cambio y acá lo teníamos al otro lado,
ya me está gustando más este nada más que le hubiéramos cambiado el color.
¿Se fijan?
No se confundan con eso por favor,
fue un error mio debí de haberlo tomado en cuenta, esta es la azul y esta la roja.
Okey.
Ahora, nos vamos al dibujo que está impreso, ahí está el nivel,
y aquí está la derivada, sí, sin hacer este recurso yo dije
mejor le hago un acercamiento para que se vea más claro y entonces aquí, está, ¿no?
Y aquí se ve esto que está pasando en este lugarcito, déjenme usar otro
color en este lugarcito de aquí que es en el dos tercios, ¿verdad, se acuerdan?
Allí estamos en el dos tercios,
t igual a dos tercios y aquí lo que está pasando es que si subimos para acá,
en este lugar, sí, tenemos antes una
concavidad hacia abajo y después una concavidad hacia arriba, ¿no?
La concavidad hacia abajo está en esta zona, pequeña zona, ¿no?,
y eso lo que nos está diciendo es que el nivel de agua está subiendo cada
vez más lento pero después siguió a subir cada vez más rápido.
Yo no estoy diciendo que se paró, ¿se fijan?,
en la situación modelada matemáticamente el nivel estaba subiendo cada vez más
lento y sin pararse siguió subiendo cada vez más rapido.
Pudiera haber sido el caso de que se parara, pero eso necesariamente me tendría
que llevar a que esta curva acá abajo hubiera tocado el eje horizontal,
como no lo tocó, la razón de cambio siempre es mayor que cero y entonces
el nivel hace algo como lo que yo quisiera simularles aquí, de los 15 que tenía está
subiendo cada vez más lento y sin parar, luego siguió cada vez más rápido, okey.
Eso que estamos simulando con la mano es lo que está ocurriendo con nuestro tanque,
¿no?, déjenme traerme el tanque, dónde quedó el tanquecito, acá está, ¿no?
Este tanque de acá, ya sabemos entonces que iba, era lo que estaba haciendo
con mi mouse, sube cada vez más lento y luego sube cada vez más rápido, ¿no?
y si sube cada vez más rápido se va a desbordar, ¿no, cierto?,
tiene que haber un momento en que se desborde por lo que estamos diciendo.
Y sí yo creo que sí ahorita sería mejor que nos traigamos nuestra herramienta,
¿no?, para pensar, ¿no?
esta herramienta de acá y que nos dice fíjate en lo rojo, ¿no?,
estamos viendo lo rojo.
Vamos a ver cuando se llena.
¿Cuánto mide el tanque?
Mide 100 centímetros,
entonces qué es lo que tendría yo que hacer en este graficador,
pues lo que tendría que hacer es buscar donde anda el 100, pero donde el 100,
no en la horizontal, no son los 100 minutos, son los 100 centímetros,
¿no?, y entonces pues lo voy a hacer chiquito, chiquito,
para bajar, baja, baja, uy yo creo que si se deja este así,
ya está muy padre, porque fíjense ustedes como ahorita que llego a 100,
que lo señalo, en este 100 si me voy al gráfico azul,
perdón al rojo, al rojo, estoy justo en la rayita del cinco, ¿se fijan?
O sea aquí donde sube el cinco, topa y es donde está la altura 100.
O sea realmente es que esta función está muy preparadita, ¿no?,
no se los puedo ocultar, o sea realmente está muy preparadita,
es una función cúbica que tiene una solución cuando se
iguala a cero tiene una solución bien bonita, la solución es cinco.
Comprobar que fuese cinco para nosotros sería tanto como meter aquí el cinco en
nuestra expresión.
15 más dos por cinco menos dos por cinco al cuadrado más cinco al cubo,
seguramente va a dar igual a 100, y entonces podríamos
predecir que ese tanque a los cinco minutos o segundos,
según como lo estemos hablando, se llenó y ya empieza a desbordarse, ¿no?
El gráfico matemáticamente sigue subiendo, no quiere decir que nuestro tanque tiene
una altura infinita, sino que también hay que tener la precaución que los modelos
matemáticos bueno, pues se aplican en una cierta zona, así como quité los negativos,
yo diría después de los cinco minutos o segundos ya basta, o sea ya no estaría yo
diciendo cosas apropiadas, ¿no?, si me estuviera refiriendo a ese tanque, ¿no?
Entonces me gustaría que en este video que ya analizamos, ¿no?,
esta nueva situación que la bauticemos.
Este punto que está aquí, este punto se va a llamar, ¿cómo se va a llamar?
Punto de inflexión, y un punto de
inflexión es un punto clave en muchos comportamientos,
¿no?, así como lo está diciendo ahorita en este nivel.
Es un instante en donde el nivel iba subiendo cada vez más
lento pero algo ocurre con las llaves que hace que se suba cada vez más rápido, ¿no?
O sea si lo aquí hago, ¿no?,
va subiendo cada vez más lento y luego sigue cada vez más rápido, okey.
En este caso se ha deber
debido a que pues si ensayamos con nuestra función,
se acuerdan cómo estaba, decíamos que nuestra función se componía de un 15,
sí, luego era un qué, más dos t, ¿cierto?
No me vaya yo a equivocar, 15 más dos t,
luego un menos dos t cuadrada y luego un más t cúbica, ¿se fijan?
O sea todo esto tiene que ver con el nivel, se los puse así como en una tabla,
porque en mi cabeza ya estaba haciendo clic que,
que les dijera este número 15 está conectado con un 15 acá, ¿sí?
Y este número más dos t tiene que ver con una aportación en el nivel,
que seguramente tiene que ser con una de las llaves de arriba, okey.
Vamos a ponerle que esta de aquí sea la que aporta el dos t,
si ella aporta un dos t es porque su razón de cambio de
nivel está aportada por un número dos, que sería la derivada, ¿no?
O sea como que esta sería una primera razón de cambio, ¿no?
que va a aportar un cierto cambio en el nivel vamos a ponerle así,
a delta h sub uno, también tendríamos aquí menos dos t
cuadrada que esa tiene que ser la razón de esta llave, ¿no?
o tiene que tener digamos relación con esta llave,
que aquí el aporte del nivel está dado por un menos dos
t cuadrada que a su vez viene o proviene de una razón de cambio,
una segunda razón de cambio que sería un qué, un menos cuatro t, ¿de acuerdo?
Y finalmente este más t cúbica, este más t cúbica tendría que ver
con esta tercer aumento en el nivel,
que está dado con qué, perdón,
t cúbica y por otro lado este estaría correspondiendo con una tercera
razón de cambio que es el tres t cuadrada, se fijan.
O sea este contexto nos permite conectar la razón de cambio,
los términos de la razón de cambio que era qué,
dos menos cuatro t más tres t cuadrada con los términos acá del nivel
inicial y también de los aportes de las distintas llaves.
Esta llave está haciendo que el agua baje, digo salga,
si el agua sale nuestra mente dice nivel baja, ¿cierto?
Esa es una asociación así como que muy intuitiva pero a veces las
intuiciones, tenemos intuiciones que necesitan hacerse,
no hacerse más, de más conocimiento para poder ser más precisas, ¿no?
Realmente el nivel no bajó, acá lo tenemos, no bajó ya vimos el gráfico,
el nivel no baja, okey.
Lo que está provocando esta llave es justamente
este cambio de que está aquí, ¿de acuerdo?
Está haciendo que el nivel a pesar de que siempre está subiendo suba cada
vez más lento, ese es el cachito donde aportó pero ya después de eso ganaron las
llaves de arriba y siguió subiendo cada vez más rápido.
Entonces si les hago esto, les digo porque desde el punto de vista analítico es muy
importante, y así me gustaría terminar con este video mostrando distintas
posibilidades, ¿no?, por ejemplo en cuanto a la colocación de las llaves.
No voy a hacer recortes, y a subir esta llave acá y a bajar esa llave acá,
no voy a hacer recortes sino que mejor los invito a que lo veamos en el graficador
y pensemos un ratito nada más en qué cosas puede pasar, sí.
Entonces tenemos aquí, voy a borrar esta función,
tenemos aquí la función original, ¿sí?
Si ahorita la grafico ahí nada más la tenemos a ella,
ya ahí nos está diciendo como el nivel siempre sube, ¿no?
Primero cada vez más lento y luego cada vez más rápido, okey.
¿Qué pasaría si en este término de aquí, vamos a hacer algún cambio,
si esta que está aquí es la llave que tiene la razón de cambio dos,
la constante, ¿no?, la pusiéramos abajo que fuera la negativa,
la parte negativa y subimos la otra, o sea en la expresión,
o sea lo que les estoy invitando es a que este signo negativo que está aquí,
¿sí?, lo pongamos acá y este signo se va a quedar positivo,
entonces aquí para no entretenerme tanto con eso creo que es
esta que está aquí abajo, no, es exactamente la misma, ¿no?
Vamos a trabajar con ella entonces, vamos a poner en esta lo que les dije,
o sea este número dos que está aquí lo vamos a hacer negativo
y este número dos que está acá lo vamos a hacer positivo, okey, y entonces le damos
a salvar la vamos a graficar en un color verde, okey y la otra está en color rojo.
Vamos a ver las gráficas, verán ustedes lo que pasó.
¿Qué hicimos ahora?
Pensando así, el tanque, ¿no?
con este cambio que hicimos, con el cambio que hicimos el tanque entonces sí sufrió,
o el nivel de agua en el tanque sí sufrió un cambio importante.
¿Qué pasó?
Primero decreció y luego creció, ¿sí?
¿Y eso por qué fue?
Porque pusimos la llave abajo, la llave que tenía una razón de cambio constante
entonces como que ya estaba desde el inicio del fenómeno saliendo agua.
Entonces mientras las otras dos llaves empezaban a aportar en su tiempo cero,
ya había una baja en el nivel de 15, ¿no?
Por culpa de la llave de abajo que tenía una razón de cambio constante.
O sea esto es lógico que debió de haber ocurrido con este cambio que hicimos.
Hagamos uno más, hagamos uno más, ¿qué les parece si en esta morada de acá,
en lugar de tener el signo negativo en el menos dos se lo ponemos a la x cúbica?
O sea cambiamos el signo ahora, o sea esta es la que va a ir abajo,
ay perdón, es esta la que va a ir abajo y nos subimos la otra, ¿sí?
O sea eso qué vamos a hacer, lo que vamos a hacer es aquí en la expresión
tengo que seleccionarla a ella y aquí vamos
a dejar que los números sean positivos, quitamos este de aquí,
le pones un más y en ese lo dejamos negativo, ya lo tenía ahí negativo, ¿sí?
O sea ya estoy haciendo que la llave que tiene una razón
de cambio que crece más rápido esté abajo.
¿Qué intuyen ustedes de qué pasaría si eso hacemos?
A mi ya me está dando la curiosidad, o sea de que si esa llave que está abajo,
digamos que va a hacer que salga más agua de una manera más rápida,
pues como que va a terminar ganando.
Y entonces el nivel va a llegar a ser cero, bueno,
eso pienso espero no equivocarme.
Vamos a ver, le vamos a dar salvar y entonces me parece que ahorita,
vamos a graficarlas todas y si no ahorita se las borro.
Y sí, no se si vean bien los colores, si se alcanza a distinguir
pero vean ustedes, vean ustedes lo que pasó.
La morada subió el nivel de agua y luego
empezó a bajar hasta que se vació el tanque, ¿no?
Eso, ¿por qué fue?
Por haber cambiado este signo negativo acá, acá en esta otra cambiamos el signo
negativo en el término en x y vimos que sí el nivel bajó un ratito, ¿de acuerdo?
Y con la última lo que provocamos fue que ganara la llave de abajo
sacando agua de tal manera que el nivel llegó a ser cero.
Con esto yo creo que espero haberles ilustrado a ustedes suficientemente,
¿no?, la riqueza de este tipo de tecnología.
Porque no es nada más la tecnología,
es el contexto que estoy analizando, es un contexto de llenado de tanques
en esta ocasión y ese contexto lo escogimos especialmente porque en este
contexto podemos observar esas combinaciones entre los comportamientos
que hemos visto y generar lo que se llaman puntos de inflexión.
Además de los máximos como este que está aquí, ¿no?, en la curva morada.
Pero también lo importante es que con el graficador teniendo ese contexto en
la mente pudimos jugar con las expresiones algebraicas y decir
qué pasa si ese menos está aquí o está acá.
Y hacer todo un análisis de la nueva situación que siempre va a encontrar
en el terreno real una explicación que también
al mismo tiempo nos va a permitir intuir mejor las cosas.
No porque tengo dos llaves arriba y una llave abajo,
van a ganar las de arriba, ¿cierto?
No por eso se va a llenar el tanque, okey.
Puede ser, ahorita ya lo vimos, ¿no?,
que con una llave o con una salida de una razón de cambio, ¿no?,
prevista de antemano podemos hacer que el tanque se vacíe, okey.
Yo los invito a que adquieran este graficador y que sigan ustedes jugando,
había otras oportunidades pero ya ahorita es el momento de cerrar con este video y
mejor los encuentro en el siguiente.
