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Hi,欢迎回来,我们现在接下来看看,我们定义了有序组以后
它可以用来做什么样的事情,那么我们说用有序组
可以用来定义一些更高级的一些结构,那么更高级的结构呢,就是我们这
要讲的笛卡儿积,那么笛卡儿积呢,实际上也是集合的一种 运算,那么它是说,对于任何的集合
A1,A2一直到An,那么把这个A1和A2的笛卡儿积
叉乘,用一个符号来做,叉乘,定义为这样的一个
A1A2叉乘,它们的笛卡儿积就定义为,一系列的这个二元组的集合
这些二元组的第一分量,统统来自于A1
第二分量呢,统统来自于A2,然后呢,它们的完全的组合,这就构成了
A1和A2的笛卡儿积,所以我们说,笛卡儿积呢,它是一系列有序组的集合
那么定义了两个集合的笛卡儿积之后呢,我 们还可以用来定义,更多的,就是n个集合的笛卡儿积
那么它可以递归的定义为A1到An减一个集合的笛卡儿积,再跟An
做这个笛卡儿积,比如说这个例子
A是1,2集合,B是a,b这个集合,那么它们都是两个元素的集合,那么
A和B做笛卡儿积,A叉乘于B,那么就等于1,a;1,b
2,a;2,b,那么反过来,如果是B和A做笛卡儿积
那么它就等于是,也同样是四个有序组二元组的集合,但是它变成了a,1;a,2
b,1;b,2,那么我们知道呢,1,a和a,1是不会相等的,所以
我们看到了这两个,结果,它实际上是并不相同,并不相同
那么进一步的看到更多的笛卡儿积的例子 那么所有的集合跟空集做笛卡儿积
那么它的,跟空集做,或者说空集跟任何的集合做笛卡儿积呢,它都等于空集
那么还有,就是如果我们用这个实数集合 那么xy都是来自于,第一分量第二分量都是来自于实数的话
那么就是R叉乘于R,那么就是作为一个 R的平方,那R的平方的这样的一个表示方法,其实我们挺熟悉的
就是作为一个平面的一个,平面直角坐标系,对吧
所以呢,我们知道R的平方是叫作笛卡儿平面,笛卡儿平面
那么R的立方,就是xyz了,那么xyz呢,都来自于实数 那么它就是一个三维的笛卡儿空间
当然,之所以我们把这个称之为笛卡儿积,或者说称之为笛卡儿空间 那实际上呢,就是数学家笛卡儿的贡献
那么他呢,是解析几何的这个创始人 那么他首次呢,用三元组来表示空间当中的一个点
那么这样呢,就统一了抽象的这个代数的运算,以及具象的
这个画图的这个集合,把它们统一在了一起,统一在了一起
这个是一个非常伟大的这个成就,你看啊,跟我们的这个元组是有关系的
那么一般来说,对于这个笛卡儿积来说 A和B做笛卡儿积,和B和A做笛卡儿积,是不相等的,刚才
我们已经看到了一个例子,对吧,也就是说,笛卡儿积这个运算
它是不满足交换律的,同样呢,它也不满足
结合律,也就是说,A和BC的笛卡儿积做笛卡儿积
以及呢,A和B先做笛卡儿积,然后呢,结果再跟C做笛卡儿积的话
它们最终的结果是不相等的,不相等,这个还是源于这个
有序组相等的这个定义,对吧 但是笛卡儿积虽然不满足交换律,也不满足结合律
但是呢,它对于集合运算的并,交,差 却满足分配律,却满足分配律,那么这个定理呢,就是说
假设呢,ABC是任意的集合,那么我们用$,$来表示并交差这些运算
那么这个定理说,满足分配律,也就是A叉乘于 B$C,那么这个$呢就是并交差
那么它是等于A叉乘于B,A和B做笛卡儿积,A和C做笛卡儿积,然后呢,再做并交差
那么当然这个是左边,是吧,A在左边,所以呢,是叫作左分配
而同样呢,还有右分配,右分配就是BC做并交差
再跟这个A做笛卡儿积,它是等于B和A做笛卡儿积 C和A做笛卡儿积的结果再做并交差
当然这个证明呢,还是相对比较容易的 我们就举一个例子,就是用并运算来做这个例子
也就是说A叉乘于B并上C,它是等于A叉乘于B
并上A叉乘于C,这是笛卡儿积对于并运算的左分配律,我们来证明一下
我们呢,当然还是用这个集合相等,这个定义来证明,我们从左边这个集合
抽取出一个元素,当然这个元素呢,它是xy,xy
那么很明显,x来自于A,那么y呢来自于B并上C
对吧,这是它的定义,那么我们把这个y属于B并上C呢
把它分,按照并运算的定义,变成了y属于B吸取上y属于C
那么接下来呢,就有可取运算,对于吸取运算的这个分配律
那么就有,x属于A合取上y属于B
再吸取上x属于A再合取上y属于C 那么这样呢,既然x从A来
y从B来,那么xy呢,就是属于A叉乘于B,A和B的笛卡儿积
那么后面也是x从A来,y从C来,那么xy呢,就是属于A叉乘于C
那么,既然是A叉乘于B然后又再吸取上A叉乘于C,那么也就是说
xy呢,是来自于AB的笛卡儿积和AC笛卡儿积的并集
这个呢,又是并集的运算 的这个定义,这样的话,我们就证明了
并运算,笛卡儿积对于并运算它具有左分配,具有左分配,那至于说
有对于有右分配,那么交运算,差运算对于
这个笛卡儿积呢,对于这两个运算呢,又有左分配也有右分配,那么同理都可以
证明,只不过我们按照交运算,差运算的这个定义 按照这个思路,重新来过一遍就可以了
那么,笛卡儿积呢,它显然 它是由两个集合生成一个更大的一个集合的一种
运算,只不过说,这个更大的集合呢,它的每一个元素
是,都是这个有序组,那么这个二元组呢,第一个分量来自于A,第二个分量来自于B
然后这样呢,如果是一个完全组合的话,我们显然会有这么的一个定理 也就是对于任意的有限集合A1,一直到An而言
那么A1到An的这个笛卡儿积,它们的基数 就生成的这个笛卡儿积,最后结果的这个基数
它是等于每一个集合的基数的连乘
的乘积,这个我们很容易理解,比如说我们刚才A等于1,2,然后
B呢,等于a,b,那么它的做笛卡儿积呢,就是最终有四个二元组,就是
2乘以2,当然如果类似的这样,如果A当中有1000个元素,B当中也有1000个元素- 的话,那
么它最终,如果做笛卡儿积的话,那么也就会有1000 乘1000就是有100万个元素,这么多