Итак, теперь у нас есть всё, чтобы начать писать уравнения движения механических
систем в дифференциальной форме.
Мы ввели все основные определения, мы ввели три основные динамические
характеристики механических систем: это у нас количество движения,
момент количества движения и кинетическая энергия.
И относительно них мы сейчас напишем дифференциальные теоремы,
которые будем называть «основные теоремы динамики».
Итак, основные теоремы
динамики.
Теорема первая.
Теорема об изменении момента импульса.
Нет, давайте первая теорема будет об изменении количества движения.
[БЕЗ СЛОВ] [БЕЗ
СЛОВ] Все теоремы
мы будем записывать в той форме,
о которой говорили, в той форме, в которой второй закон Ньютона был записан ещё.
То есть слева стоит изменение некоторой величины, справа стоит причина,
по которой изменяется эта величина.
Теорема об изменении количества движения у нас будет записываться вот
как: d по dt от количества движения,
то есть количество движения механической системы изменяется почему?
Потому что на систему действуют силы.
И справа будет стоять в качестве причины изменения количества
движения главный вектор всех внешних сил системы.
Как вы помните, внешние силы у нас (external) обозначаются индексом e.
Вот такая теорема.
Ну давайте посмотрим, как её можно доказать.
Возьмём и продифференцируем просто определение количества движения.
d по dt от количества движения — это у нас полная
производная по времени от такой суммы: mi‐тое,
Vi‐тое — сумма по всем точкам тела.
Заносим производную под сумму, масса у нас считается постоянной пока.
Задачи про системы с переменной массой нам ещё
предстоит освоить потом, значит, сейчас пока масса постоянна.
∑ mi d по dt от Vi Это у нас,
по определению, ускорение i‐той точки.
И дальше, в силу второго закона Ньютона для
каждой точки мы здесь получим: ∑ Fi.
Ну можно расписать Fi‐тое внешнее плюс Fi‐тое внутреннее,
внутренние силы — с индексом i (internal).
И, как вы помните, в силу третьего закона Ньютона,
все внутренние силы в этой сумме друг друга взаимно уничтожают,
и остаётся сумма внешних сил, действующих на элементы системы,
что по определению и есть главный вектор внешних сил.
Теорема доказана.
Эта теорема допускает другую форму записи.
Вот если приглядеться к формулировке...
Ну что такое импульс, как мы его считали?
Это у нас масса умножить на скорость центра масс.
Если дифференцировать вот такое выражение для импульса, то получится формулировка,
эквивалентная: (m *
Wc = главный вектор внешних сил системы).
В таких скобочках.
Эквивалентная формулировка той же самой теоремы.
Иногда, часто, всегда вот эту теорему в книжках называют «теоремой
о движении центра масс», потому что тут в явном виде ускорение центра масс выписано.
Так, первая теорема.
Теперь дальше.
Теорема № 2.
Теорема об изменении
момента количества движения.
Он же — кинетический момент.
Та же самая форма записи: момент количества движения
относительно некоторого полюса A, dKA по dt,
у нас меняется потому, что, опять же, есть внешние силы,
действующие на систему, и есть момент этих внешних сил,
который они создают относительно полюса A — главный момент внешних сил,
приложенных к элементам системы, относительно полюса A.
Но на этом теорема не заканчивается, есть ещё добавка, которая сюда попадает в силу
некоторых арифметических особенностей вывода теоремы.
Масса, скорость центра масс, скорость выбранного полюса.
Ну, конечно же, все обычно выбирают полюс таким образом,
при записи этой теоремы, чтобы либо A была неподвижная точка,
и тогда этого слагаемого нет, либо A совпадает с центром масс,
и тогда скорость центра масс умножить на скорость центра масс векторно тоже 0.
Либо скорость точки A коллинеарна просто скорости центра масс.
В общем, все стараются выбрать полюс для записи этой теоремы так,
чтобы этого слагаемого не было.
Поэтому многие вообще не помнят о его существовании.
И в некоторых книжках эта теорема сразу записывается относительно хорошего полюса
вот в таком усечённом виде.
Ну, давайте просто напишем это слагаемое, поймём, что оно есть, а в задачах, когда
мы будем их решать, чаще всего мы будем делать так, чтобы оно нам не встречалось.
Итак, теорема такая, давайте попробуем посмотреть, как она может быть доказана.
Тоже берём и дифференцируем определение момента количества движения.
dKA по dt — это у нас d по dt от вот такой
суммы: rAi * miVi
— определение момента количества движения.
Дальше мы понимаем, что здесь стоит произведение,
которое дифференцируется следующим образом: d по dt
(rAi) * miVi
+ ∑ по всем
точкам rAi *
mi d по dt (Vi).
И давайте смотреть, что у нас получается в первом слагаемом, и что во втором.
В первом слагаемом вот это — производная, это — скорость
от точки i минус скорость точки A.
Когда мы будем брать, вычислять векторное произведение, вот скорость точки
i в каждом из этих слагаемых умножится на скорость точки i, опять же, и даст 0.
Значит тут останется − VA * mivi.
Минус скорость точки A, как постоянный множитель, мы вынесем за знак «суммы»,
под суммой останется у нас фактически определение импульса,
или количество движения системы,
и поэтому мы вот из этого слагаемого получим то, что здесь написано.
Значит, здесь −VA * mVc, или,
если поменять порядок в векторном произведении,
получится ровно то, что нам нужно для этой теоремы.
Теперь второе слагаемое.
Ну здесь стоит масса на ускорение, это, опять же,
в силу второго закона Ньютона, можно заменить на силу.
Внутренние силы здесь, как мы знаем, опять же, уйдут,
и останется момент относительно полюса A внешних сил.
Итак, главный момент внешних сил, действующих на элементы системы,
плюс вот такое векторное произведение, которое в силу дифференцирования здесь
возникает, объясняет нам изменение вектора момента количества движения.
И последняя из трёх основных теорем, теорема об изменении кинетической энергии.
Теорема об изменении кинетической энергии.
Эту теорему мы запишем в дифференциальной форме,
наверное, так привычнее.
dT — кинетическая энергия системы меняется,
потому что совершает работу внешние и
внутренние силы, действующие на элементы системы.
Это вот единственное место во всех этих трёх теоремах,
где у нас остаются внутренние силы, совершающие работу.
Ну так получается.
Ну давайте доказывать.
Давайте тоже возьмём и напишем определение
кинетической энергии и рассмотрим его дифференциал.
Дифференциал T — это у
нас dΣmiVi²
/ 2 масса i пополам константы,
дифференциал от V квадрат — это 2Vi * dVi.
Двойки сокращаются, получаем сумму по
всем точкам системы, mi — на месте,
здесь Vi
и d Vi, вот так.
[ШУМ] Поехали дальше.
Здесь мы имеем право разделить на dt и умножить на dt.
Σ mi * dVi /
dt * Vi * dt.
Вот это — опять же масса на ускорение,
то есть сила, F * V * dt — это у нас,
собственно, опеределение работы, так оно и вводилось.
И здесь мы пишем, что это дифференциал работы всех сил,
то есть это будет элементарная работа, то есть δA,
которую мы можем написать как сумму элементарная
работа внешних сил и элементарная работа внутренних сил.
Здесь внутренние силы, не знаю к сожалению или к счастью,
никуда не уходят, остаются с нами.
Теорема тем не менее доказана.
Вот три основные теоремы, в силу которых мы составляем некоторые дифференциальные
уравнения, которые нам позволяют понимать, как движутся механические системы.
Что тут еще можно сказать?
Ну давайте посмотрим на эти три теоремы вместе, я их напишу в таком виде.
Q с точкой — это главный вектор внешних сил системы,
KA с точкой — это главный момент внешних сил системы, плюс вот то самое слагаемое,
которое мы договорились, что оно есть, но ладно, пусть будет.
И dt — это работа внешних и
внутренних сил системы.
Итак, во-первых, конечно же,
в силу вот этих уравнений мы получаем три закона сохранения при некоторых условиях,
или три так называемых первых интеграла уравнений движения механических систем.
Если у нас система замкнута, как говорят,
то есть если на систему не действуют внешние силы, у нас сохраняется импульс.
Q с точкой = 0.
Это все векторы, надо подписать.
Значит, отсутствие внешних сил гарантирует сохранение количества движения.
Отсутствие внешнего момента гарантирует сохранение
кинетического момента относительно хорошей точки.
И вот здесь чуть хитрее закон сохранения выглядит.
Здесь мы говорим: если все силы, действующие в системе, и внешние,
и внутренние, потенциальные, если они потенциальны,
то элементарная работа — это у нас минус дифференциал потенциальной энергии.
δA — это − dP для потенциальных сил.
Так вот, если все силы — потенциальны,
мы получаем d(T + P) = 0, то есть закон
сохранения полной механической энергии — кинетическая плюс потенциальная энергия.
Это известные школьные законы, которые вам встречались в физике,
вот они являются простыми следствиями из тех теорем, которые мы написали.
Теоремы, естественно — более общие утверждения.
А теперь, наверное,
нужно еще сказать по поводу применения этих теорем.
Чаще всего смотрите, что происходит.
Если у вас есть набор материальных точек, то в качестве дифференциальных
уравнений вы записываете второй закон Ньютона для каждой точки.
И этого вам хватает, чтобы, чтобы описать движение системы в виде дифференциальных
уравнений, решить их, получить законы движения.
Если речь идет о твердом теле, то чаще всего не пишут, конечно же,
уравнения для всех его точек, а пишут теорему об изменении
количества движения, которая определяет движение центра масс.
У нас была эквивалентная формулировка: масса * ускорение центра масс —
это сумма внешних сил.
Итак, для центра масс пишется вот эта теорема.
И для вращательного движения твердого тела пишется вторая теорема.
Тут как раз если считать, что момент количества движения
связан с моментом инерции и угловой скоростью твердого тела,
появляется некоторая вращательная характеристика,
и отсюда мы получаем уравнение для вращательного движения твердого тела.
То есть вот это — движение центра масс, и K с точкой
= M — вращательное движение.
А теорема об изменении кинетической энергии чаще всего используется,
для того чтобы в этих уравнениях был первый интеграл, то есть какой-то закон
сохранения, которым мы могли бы пользоваться для понижения порядка системы
дифференциальных уравнений, например, или для проверки того,
что решения действительно удовлетворяют истинному движению твердого тела,
то есть что на решениях сохраняется энергия.
Ну а теперь, наверное, пора перейти к практическим примерам.
