В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Тензор инерции
Loading...
来自 Moscow Institute of Physics and Technology 的课程
Динамика
9 个评分
从本节课中
Основные определения и динамические характеристики механических систем
与讲师见面
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
Итак, мы с вами ввели основные динамические характеристики
механических систем и почти научились их считать.
Я говорю «почти», потому что считаем мы их в плоском движении для твердого тела,
а для того чтобы научиться вычислять кинетическую энергию и кинетический
момент в пространственном случае, нам необходимо поговорить о распределении масс
и ввести такое понятие, которое называется «тензор инерции».
Ну давайте обо всем по порядку.
Итак, тензор инерции.
Это то, к чему мы стремимся сейчас.
Давайте для начала предположим,
что у нас в некоторой области G пространства E3
как-то расположены материальные точки.
Содержатся материальные
точки (ri, mi).
Вот такой парой мы договорились обозначать материальную точку.
И кроме того, давайте рассмотрим на этом пространстве
действие некоторой билинейной положительно определенной симметрической формы.
Билинейная положительно определенная
симметрическая форма
B (x, y), x,
y у нас — трехмерные векторы,
а B мы определим следующим образом: это ∑ по всем точкам mi,
(ri * x)
и потом скалярно (ri * y).
mi, ri — это, соответственно, характеристики материальных точек,
которые у нас введены, а x и y — некоторые трехмерные векторы из E3.
И давайте обратим внимание вот на какой факт: если x и
y совпадают,
и, скажем, x и y — это какой-то орт e,
то давайте посмотрим, что у нас эта форма дает.
B (x, y) = ∑
mi (ri * e) *
(ri * e).
Это ровно то, что мы договорились считать моментом инерции относительно оси e.
[БЕЗ СЛОВ] Да, когда вычисляли
кинетическую энергию, у нас возникала такая конструкция, и мы убедились,
что вот такая сумма по всем точкам — это фактически
∑ mi * ρi²,
где ρi — это расстояние от точки до оси, квадрат,
соответственно, квадрат этого расстояния.
Или в континуальном случае, если у нас не набор точек конечный,
а какое-нибудь твердое тело, в котором точек континуум,
момент инерции относительно оси e будет вычисляться,
как интеграл, ∫ρ² dm,
интеграл по всей области G, которую мы рассматриваем.
Вот ввели такую форму, понимаем, что в некотором случае эта форма
дает нам осевой момент инерции относительно оси e, и идем дальше.
Дальше.
Для того чтобы определить значение этой формы в R3,
ну то есть на том пространстве, на котором она введена,
нам достаточно задать значение этой же формы на парах базисных векторов.
Нужно знать значение B (x,
y) на парах
базисных векторов.
То есть нужно знать, назовем это I (p,
q) = B (ep,
eq).
pq, пробегают значения 1, 2, 3.
И тогда у нас B (x, y),
от произвольных x и y,
будет определено, как ∑ pq от 1 до 3,
вот эти самые коэффициенты базисные i, p, q, xp, yq.
Тут важно отметить одну вещь, которой мы в курсе пользоваться не будем,
но она, по крайней мере, объяснит название, откуда взялся «тензор инерции».
По определению этой формы вот эти коэффициенты i, p, q… Нет,
точнее даже не так, не коэффициенты p, q, а по определению формы нужно сказать:
значение формы на паре векторов не зависит от преобразования базисных ортов.
И поскольку это так, значение формы не зависит
от базисных ортов и их преобразований, то вот набор коэффициентов i, p,
q образует
так называемый «тензор второго ранга».
[БЕЗ СЛОВ] Именно
этот тензор и принято называть «тензором инерции».
[БЕЗ СЛОВ] И
поскольку эти коэффициенты у нас образуют тензор инерции,
давайте посмотрим на них поближе, как они, в общем-то, выглядят.
Итак, давайте я подставлю вот что в
форму: B (ep, eq).
Это у нас сумма,
по определению, масса… Так,
мы определяли, как (ri * ep),
(ri * eq), сумма по i.
И давайте немножко преобразуем вот это вот произведение скалярное.
На самом деле, что тут у нас стоит?
Вот этот вектор r * ep скалярно умножается на ri, вектор на eq.
Это смешанное произведение, которое, как мы знаем, перестановочно и поэтому
мы можем написать, что эта сумма равна вот чему: mi,
eq, eq теперь будет скалярно
умножаться на ri, ep * ri.
И дальше вот это векторное произведение двойное раскроем
по известной вам формуле «БАЦ минус ЦАБ».
∑ mi
eq (ep
* ri² −
cri −) − ri *
скалярное произведение (ri, ep)).
[БЕЗ СЛОВ] Так,
скобки… Скобки на месте.
Нет, не все.
И давайте теперь посмотрим во что это преобразуется при, скажем, p = q.
Если p = q,
то коэффициент с двумя одинаковыми индексами Ipp =… Смотрите, чему он равен.
Так, это не «минус», это у меня знак «=» тут такой.
Сумма mi никуда не девается.
Дальше, ep * ep — это 1, ri² получаем.
Здесь ep * ri
= − (ri, ep)².
Нетрудно увидеть, что это в чистом виде теорема Пифагора, то есть здесь
стоит под суммой квадрат расстояния до оси, которая задается ортом ep.
То есть это у нас осевой момент
инерции относительно оси, который,
еще раз повторюсь, задается базисным вектором ep.
Если у нас p и q не равны, то
коэффициент i с индексами pq — это ∑ mi,
и дальше давайте смотреть: eq * ep,
ну поскольку индексы не равны, это ортогональные векторы,
получается 0, «минус» выношу за сумму.
Под суммой остается (ri
* ep) (ri * eq).
Это, как видно,
соответствующие компоненты в разложении вектора ri по базису,
ну базисным веторам ep и eq, умножаются друг на друга и суммируются.
Вот такая комбинация символов обычно называется
центробежные моменты инерции.
И вот теперь зная,
как выглядят все эти коэффициенты, мы можем составить из них объект,
который называется матрица тензора инерции.
С которым мы и будем работать,
с которым мы будем производить нужные нам вычисления.
То есть нас не будет сильно волновать тензорность этого тензора,
нам нужно будет уметь работать с матрицей.
А матрицу я сейчас составлю.
В принципе, матрица составляется ровно из этих коэффициентов.
Ipp стоят на диагонали,
Ipq стоят на соответствующих местах матрицы тензора инерции недиагональных.
Но давайте сейчас поговорим о том, как эту матрицу можно будет получить по другому.
Эти другие соображения нам понадобятся в дальнейшем.
Смотрите, мы договорились, что момент инерции, скажем,
для тела это у нас ∫ ρ²dm.
Что такое ρ²?
ρ², можно посмотреть, как мы вводили билинейную форму,
это у нас (r * e)
и потом скалярно еще раз (r * e).
Я не пишу здесь индекс i, поскольку нам это под интеграл подставлять,
там это радиус-вектор до соответствующей массы dm.
Итак, вот такое произведение.
Дальше смотрите.
Если вы помните, как мы вводили вектор угловой скорости,
векторное произведение двух векторов r и e можно переписать в виде: некоторая
кососимметрическая матрица умножить на вектор e.
И здесь то же самое.
Я ее обозначу буквой R.
Равно.
(R * e) скалярно * (R * e).
Причем, поскольку это скалярное произведение,
это строка на столбец, здесь я ставлю транспонирование.
И окончательно получаю e транспонированное R
транспонированное Re.
И таким образом, момент инерции, в соответствии с данным определением,
может быть получен как e транспонированное *
∫ R транспонированное R dme.
Вот здесь у меня стоит интеграл от матрицы,
но я надеюсь, никого это не пугает.
Имеется в виду, что каждый элемент матрицы интегрируется по отдельности.
То есть тут на самом деле вычисляются 9 интегралов, поскольку матрица 3 х 3.
Давайте вспомним, что такое R.
Как у нас определяется кососимметрический оператор,
соответствующий матрице R для вот такого векторного произведения?
Если вектор r у нас имеет компоненты x, y, z,
то соответствующий кососимметрический оператор R = (0,
0, 0, −x, y,
−z, x, −y, z).
Не трудно убедиться, что если мы R транспонированное умножим на R,
то вот здесь под интегралом мы получим следующее.
Мы получим...
Вот сейчас я пишу то, что называется матрица тензора инерции.
Пусть она построена в каких-то осях, я сейчас не буду писать индексы,
I — это ∫ от следующей матрицы: R транспонированное * R.
Получаем здесь — (y² + z²,
здесь — −xy, −xz,
−xy, x² + z²,
−yz, −xz,
−yz, x² + y²).
Матрица закрылась.
И стоит dm.
Проинтегрировав эту матрицу,
мы получаем матрицу тензора инерции,
с помощью которой, уже потом зная некоторые направления e,
можем посчитать любой момент инерции относительно оси e.
Вот на этом я эту часть и закончу.
